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O Triângulo de Pascal

O Triângulo de Pascal. Triângulo de Pascal, numa obra do matemático chinês Yang Hui, publicada em 1303.   Aceite para publicação em 19 de novembro de 2013. Versão de Pascal do triângulo. Blaise Pascal (1623 - 1662)

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O Triângulo de Pascal

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Presentation Transcript

  1. O Triângulo de Pascal Triângulo de Pascal, numa obra do matemático chinês Yang Hui, publicada em 1303   Aceite para publicação em 19 de novembro de 2013

  2. Versão de Pascal do triângulo Blaise Pascal (1623 - 1662) Na sua vida curta mas cheia de acontecimentos, o filósofo e matemático Francês trabalhou em muitos problemas e tópicos diferentes. Inventou uma máquina de calcular e produziu um tratado sobre secções cónicas. O triângulo que leva o seu nome era já conhecido na China por volta do ano 1300 a.C. e, provavelmente também o era na Europa. Mas foi o extenso trabalho de Pascal na teoria das probabilidades que levou a que lhe fosse dado o seu nome.

  3. 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 4 1 6 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 1 7 21 35 35 21 7 1 1 8 28 56 70 56 28 8 1 “O padrão é tão simples que uma criança de 10 anos o consegue escrever, no entanto, contém tantas ligações com tantos aspectos aparentemente não relacionados da Matemática, que é seguramente uma das mais elegantes construções Matemáticas.” MartinGardner 1 9 36 84 126 84 36 9 1 126 1 10 45 120 210 252 210 120 45 10 1 ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...

  4. Linha 1 n = 0 1 1 n = 1 1 2 1 n = 2 1 3 3 1 n = 3 1 4 6 4 1 n = 4 n = 5 1 5 10 10 5 1 n = 6 1 6 15 20 15 6 1 1 7 21 35 35 21 7 1 n = 7 … n … … …

  5. Propriedades do Triângulo de Pascal 1 • Todas as linhas começam e acabam em 1. • Efetivamente, • 2. O triângulo é simétrico, uma vez que , em cada linha, valores equidistantes dos extremos são iguais. 1 1 2 1 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 • A soma de dois números consecutivos de uma linha é igual ao número que se situa entre eles, na linha seguinte: 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 1 7 21 35 35 21 7 1 4. A soma dos elementos de qualquer linha n, com é 5. O número de elementos de uma linha n, com , é n+1. 1 8 28 56 70 56 28 8 1

  6. Uma aplicação!...

  7. CASA DA ANA E A B C S ESCOLA Quantos Caminhos diferentes tem a Ana para chegar à Escola, se andar sempre apenas para Este (E) ou para Sul (S)? Comecemos por contar o número de caminhos diferentes que ela tem para chegar à esquina A! (clica em A) B’ E até à esquina C?... (clica em C) E para chegar à esquina B?... (clica em B) E, finalmente, até à Escola?... (clica na “Escola”) E se fosse para chegar à esquina B'?...

  8. Contemos, então, o número de caminhos diferentes que ela tem para chegar à esquina A! E 1 1 (S , E) S (E , S) A 2 1 Número de maneiras diferentes de: Dos 2 troços a percorrer, escolher 1 desvio para Este e o outro para Sul! (clica aqui)

  9. Continuemos a contar caminhos! Agora para chegar à esquina B... E 1 1 (S , S , E) (E , S , S) 2 1 S (S , E , S) B 3 1 Número de maneiras diferentes de: Dos 3 troços a percorrer, escolher 1 desvio para Este (e os 2 restantes para Sul)! ou (clica aqui)

  10. E S C E até à esquina C!... 1 1 1 (E , E , S , S) (E , S , E , S) (E , S , S , E) 1 2 3 (S , E , E , S) (S , E , S , E) (S , S , E , E) 1 3 6 Número de maneiras diferentes de: Dos 4 troços a percorrer, escolher 2 desvios para Este (e os 2 restantes para Sul)! (clica aqui)

  11. C 2 1 1 1 1 1 1 2 3 3 3 1 0 1 3 2 4 2 C C C C C C C C 2 1 0 2 2 0 1 0 6 Sintetizando, sabemos que: A B C

  12. 8 C 1 1 4 3 2 7 4 7 8 7 7 3 8 8 7 7 8 8 8 8 4 4 7 6 6 6 6 6 6 5 8 3 5 5 5 6 2 5 2 3 4 5 7 0 C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C 1 4 1 7 0 2 0 1 1 0 2 3 3 4 2 1 2 3 8 0 5 0 4 1 4 2 5 4 3 0 0 5 1 6 2 7 0 1 2 3 5 6 3 6 1 0 1 1 2 1 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 15 6 20 15 6 1 7 1 21 35 35 21 1 7 28 8 56 70 1 56 1 28 8 E… retomando o esquema inicial com uma outra inclinação, podemos conjeturar: CASA DA ANA ESCOLA A Ana tem caminhos diferentes para chegar à Escola (dos oito troços a percorrer, escolher 4 desvios para Este e os 4 restantes para Sul).

  13. G A N E W S R E se a situação fosse esta: O Rui e a Ana, quando vão de casa para o ginásio, utilizam as ruas só nos sentidos WE e SN. R – Casa do Rui A – Casa da Ana G – Ginásio O Rui, numa deslocação de casa para o ginásio, escolhe o percurso totalmente ao acaso. A probabilidade de o Rui passar no cruzamento onde se situa a casa da Ana é: A figura representa parte da planta das ruas de uma cidade. ou

  14. “Tudo” o que há no Triângulo de Pascal

  15. 1 1 1+1=2 1+2=3 2+3=5 3+5=8 1 5+8=13 8+13=21 1 2 3 3 6 4 10 5 15 6 21 7 28 8 36 9 45 10 55 11 . . Triângulo de Pascal Sucessão de Fibonacci Números Naturais 1 1 Números Triangulares 1 . . . . . . . . . . . . . . 1 1 1 4 1 1 5 10 1 1 6 15 20 1 1 7 21 35 35 1 1 8 28 56 70 56 1 1 9 36 84 126 126 84 1 1 10 45 120 210 252 210 120 1 1 1 11 55 165 330 462 462 330 165 . . . . . . . . . . .

  16. Somas “rastejantes”! 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 1 7 21 35 35 21 7 1 1 8 28 56 70 56 28 8 1 1 9 36 84 126 126 84 36 9 1 1 10 45 120 210 252 210 120 45 10 1 1 11 55 165 330 462 462 330 165 55 11 1 . . . . . . . . . . . . . Adicionando os elementos de uma diagonal descendente, até uma certa linha, vamos obter o elemento da linha seguinte, por baixo do último elemento adicionado.

  17. Todos diferentes, todos iguais Números ímpares Números pares & 1 Diferentes procedimentos matemáticos podem conduzir-nos ao mesmo objeto, mesmo que os caminhos tomados sejam consideravelmente diferentes. 1 1 1 2 1 1 3 3 1 6 1 4 4 1 1 5 10 10 5 1 1º caminho diferente 1 15 15 1 6 20 6 1 7 21 35 35 21 7 1 1 1 8 28 56 70 56 28 8 1 9 36 84 126 84 36 9 1 126 1 45 45 1 210 252 120 10 120 210 10 1 11 55 165 462 165 55 11 1 330 462 330 12 66 220 792 924 792 220 66 1 495 495 12 1 78 286 1716 1716 286 78 1 13 715 1287 1287 715 13 1 1 14 91 364 1001 2002 3003 3432 3003 2002 1001 364 91 14 1 1 15 105 455 1365 3003 5005 6435 6435 5005 3003 1365 455 105 15 1

  18. Todos diferentes, todos iguais 2º caminho diferente Considera um triângulo equilátero qualquer e une os pontos médios dos lados. Obténs quatro triângulos mais pequenos. Em cada um dos triângulos exteriores repete o procedimento (isto é, só não fazes mais nada no triângulo que está no meio). Em cada grupo de quatro triângulos que obtiveres, repete o procedimento nos três triângulos exteriores.

  19. Todos diferentes, todos iguais Que padrão observas?

  20. Todos diferentes, todos iguais O jogo do Caos 3º caminho diferente C C C X1 X2 A A B B A B Considera três quaisquer pontos do plano A, B e C. Marca numa folha de papel esses três pontos assim como um quarto ponto X1. Pega num dado normal e lança o dado. Se obtiveres 1 ou 4, une X1 com A e toma X2 como o ponto médio desse segmento. Se obtiveres 2 ou 5, une X1 com B e toma X2 como o ponto médio desse segmento. Se obtiveres 3 ou 6, une X1 com C e toma X2 como o ponto médio desse segmento. Retoma o processo a partir de X2. Vai assinalando sempre os pontos médios obtidos X3, X4, etc. Repete o procedimento uma boa vintena de vezes. Se tiveres um computador ou uma calculadora gráfica podes programá-los para eles te traçarem os pontos médios sucessivos. http://demonstrations.wolfram.com/ChaoticItineraryButRegularPattern/

  21. Que padrão observas?

  22. Todos iguais O padrão que aparece neste três procedimentos tão diferentes é conhecido como Triângulo de Sierpinski. Foi descoberto em 1917 pelo matemático polaco WaclawSierpinski. Tem várias propriedades curiosas como a de ter tantos pontos como o do conjunto dos números reais, ter área igual a zero, e ser autossemelhante(isto é, uma pequena porção do triângulo é idêntica ao triângulo todo a menos de uma escala adequada). Quem diria que seria possível obter a mesma figura por processos tão diferentes! Ainda por cima este padrão aparece em vários fenómenos naturais, como por exemplo a formação das conchas de certos seres marinhos. Assim se vê a beleza e poder da Matemática. Jaime Carvalho e Silva (colaborador do Ciência com Todos e docente/investigador de Matemática/Educação Matemática na U. de Coimbra) http://www.mat.uc.pt/~jaimecs/pessoal/

  23. Aplicações Algumas questões de exames nacionais 1. a b c d e grepresenta uma linha completa do Triângulo de Pascal, onde todos os elementos estão substituídos por letras. Qual das seguinte igualdades é verdadeira? (A) (B) (C) (D) 2. Uma certa linha do Triângulo de Pascal tem quinze elementos. Qual é o sexto elemento dessa linha? (A) (B) (C) (D) 3. A soma dos dois últimos elementos de uma certa linha do Triângulo de Pascal é 31. Qual é o quinto elemento da linha anterior? (A) 23 751 (B) 28 416 (C) 31 465 (D) 36 534

  24. Aplicações Algumas questões de exames nacionais 4. No Triângulo de Pascal, considere a linha que contém os elementos da forma Quantos elementos dessa linha são menores do que ? (A) 8 (B) 6 (C) 5 (D) 3 O quarto número de uma certa linha do Triângulo de Pascal é 19 600. A soma dos quatro primeiros números dessa linha é 20 876. Qual é o terceiro número da linha seguinte? (A) 1275 (B) 1581 (C) 2193 (D) 2634 Numa certa linha do triângulo de Pascal, o segundo número é 2009. Quantos elementos dessa linha são maiores que um milhão? (A) 2004 (B) 2005 (C) 2006 (D) 2007

  25. O Binómio de Newton O binómio de Newton é tão belo como a Vénus de Milo. O que há é pouca gente para dar por isso. óóóó---óóóóóóóóó---óóóóóóóóóóóóóóó (O vento lá fora.) Álvaro de Campos

  26. Binómio de Newton Calculemos: Caso notável da multiplicação de polinómios ..…. ?

  27. Podemos escrever Binómio de Newton ..…. e observar que: Para cada valor natural de n, os coeficientes do desenvolvimento de são os números combinatórios que constituem a linha n do Triângulo de Pascal. A soma dos expoentes de a e b é sempre igual a n, diminuindo os expoentes de a de n até zero, enquanto os de b aumentam de zero a n. concluindo que (pode demonstrar-se recorrendo ao Método de Indução Matemática):

  28. Binómio de Newton Repara: O termo de ordem p+1, designado por com do desenvolvimento de , é dado pela expressão

  29. .......................... 1 ....................... 1 1 ..................... 1 2 1 ................... 1 3 3 1 ................. 1 4 6 4 1 .............. 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 1 7 21 35 35 21 7 1 1 8 28 56 70 56 28 8 1 Binómio de Newton

  30. Binómio de Newton Aplicações Algumas questões de exames nacionais • 1. Indique qual das equações seguintes é equivalente à equação • (A) (B) • (C) (D) • 2. Quantas são as soluções da equação ? • (A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4 • Um dos termos do desenvolvimento de é • Indique o valor de n? • (A) 10 (B) 12 (C) 20 (D) 21

  31. Bibliografia: • Infinito 12 • Matemática A -12º ano • Autores: Ana Maria Brito Jorge| Conceição Barroso | Alves Cristina Cruchinho • Gabriela Fonseca | Judite Barbedo | Manuela Simões • Novo Espaço • Matemática A -12º ano • Autores: Belmiro Costa | Ermelinda Rodrigues • Jaime Carvalho e Silva (colaborador do Ciência com Todos e docente/investigador de Matemática/Educação Matemática na U. de Coimbra) • Página pessoal do autor: http://www.mat.uc.pt/~jaimecs/pessoal/ • The joy of mathematics • Theoni Pappas Material publicado sob Licença Creative Commons da Casa das Ciências Maria José Guimarães Vaz da Costa

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