Számtani és mértani közép

1. Eddig tanult közepek: • Módusz: leggyakoribb adat. • Medián: páratlan számú adat esetén a rendezett minta középső eleme, • páros számú adat esetén a két középső átlaga. • Számtani közép vagy átlag: Számtani és mértani közép Példa: Módusz = 5 Medián = 5 (4. elem) Átlag = 5,43

2. Mintapélda1 Egy cégnél 8 ember 90 ezer, 1 ember 140 ezer, és 1 ember 500 ezer forintot keres havonta. Mennyi az átlagkereset? Megoldás: • Kiegészítésre szorul az átlag (a kiugró adatok elrontják): • szórás nagysága (122 246 Ft) • a dolgozók 80%-a az átlagkereset alatt keres • oszlopdiagram

3. a és b szám mértani közepe: G = Két pozitív szám szorzatának négyzetgyökét a két szám mértani közepének nevezzük. Mértani közép Mintapélda2 Számítsuk ki két szám: 2 és 8 számtani és mértani közepét, és ábrázoljuk számegyenesen! Megoldás:

4. A téglalap területe: ; A négyzet területe: , vagyis x = 12. Éppen , vagyis a négyzet oldala a téglalap oldalainak mértani közepe. Mintapélda3 Adott egy téglalap, amelynek oldalai 24 és 6 egység. Mekkora a vele egyenlő területű négyzet oldala? Megoldás:

5. Mintapélda4 Határozzuk meg azt a két pozitív számot, amelyek számtani közepe 10, mértani közepe 8. Megoldás: Jelöljük x és y-nal a két számot! } Ellenőrzés:   A keresett számok 4 és 16.

6. Mértani középpel kapcsolatos korábbi tételek Magasságtétel Befogótétel Érintő és szelőszakaszok tétele

7. Mintapélda5 Az ABC háromszög BC oldalának meghosszabbításán levő D pontra igaz, hogy az ABC szög egyenlő CAD szöggel. Bizonyítsuk be, hogy AD mértani közepe CD és BD szakaszoknak! Megoldás: A külsőszög-tétel miatt: ABD  ACD (szögeik egyenlők) A megfelelő oldalak aránya: 

8. 4 és 25 • 10 és 40 • 5 és 16 • és Mintapélda6 Számítsuk ki a következő számok számtani és mértani közepeit, és ábrázoljuk számegyenesen a számokat és a közepeket! Milyen összefüggést találunk két szám számtani és mértani közepe között? Megoldás: A=14,5; G=10 A=25; G=20 A=10,5; G=8,94 A=1,57; G=0,97

9. Számtani és mértani közép közötti összefüggés Két pozitív szám mértani közepe nem nagyobb, mint a két szám számtani közepe: Egyenlőség akkor és csakis akkor áll fenn, ha a két szám egyenlő.

10. A kör sugara a és b számtani közepe: A magasságtétel szerint: Bizonyítsuk be, hogy az (x>0) függvény 2-nél kisebb értéket nem vesz fel. A Thalész-tétel miatt derékszögű háromszögek keletkeznek. Mintapélda7 Megoldás: A számtani és a mértani közép közötti összefüggés szerint:

11. Mintapélda8 120 méter hosszú kerítéssel legfeljebb mekkora területű téglalap alakú telket lehet körülkeríteni? Megoldás: Legyen a és b a két oldal. Ekkor a kerület 2(a+b) = 120, vagyis a + b = 60. Teljesül az összeg állandóságának feltétele, ezért becsülhetünk a számtani és mértani közép közötti összefüggéssel: Tehát legfeljebb 900 m2 területű telket lehet körbekeríteni. Megjegyzés: a legnagyobb érték 900, ami a=b=30 esetben, vagyis négyzet alakú teleknél lehetséges.

12. Mintapélda9 Legalább mennyi kerítésre van szükség egy 120 m2-es, téglalap alakú telek körbekerítéséhez? Megoldás: Legyen a és b a két oldal A kerítés hossza a kerület, vagyis 2(a+b). A számtani és mértani közép közötti összefüggést felírva Tehát legalább körülbelül 44 méter kerítés kell. Megjegyzés: a kerítés m oldalhosszú négyzet esetén a legkisebb.

13. x és y pozitív számok, ezért Mintapélda10 Mekkora a maximális területe annak a téglalapnak, amelynek kerülete 40 cm? Mekkorák ekkor a téglalap oldalai? Jelöljük x és y-nal a két oldalt! 1. megoldás: Tehát legfeljebb 100 cm2 lehet a terület. Egyenlőség (legnagyobb érték) abban az esetben fordul elő, ha x = y = 10 cm. 2. megoldás: Átalakítjuk úgy, hogy teljes négyzetet tartalmazzon: Ez a kifejezés x = 10 cm esetén veszi fel a legnagyobb értékét, ami 100.

14. 3. megoldás: Határozzuk meg a kifejezés zérushelyeit, és vázoljuk fel a másodfokú kifejezéshez tartozó parabolát! x1 = 0; x2 = 20 A parabola szimmetriája miatt a legnagyobb értékét a két zérushely között, éppen középen veszi fel, vagyis x = 10 cm esetén Tehát a maximális terület 100 cm2, és 10 cm oldalú négyzet esetén teljesül.

15. Mintapélda11 Mekkorák az oldalai a háromszögbe írható téglalapok közül annak, amelynek területe a lehető legnagyobb? Megoldás: ADE háromszög kiegészíthető szabályossá, ezért A másodfokú kifejezés maximális a két zérushely (0 és 8) számtani közepe, vagyis x = 4 esetén. Ekkor , a terület