ΔΙΔΑΚΤΙΚO BOHΘHMA ΓΙΑ ΤΟ ΘΕΩΡΗΤΙΚΟ ΜΕΡΟΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ

1. TEI ΠΕΙΡΑΙΑ ΤΜΗΜΑ ΑΥΤΟΜΑΤΙΣΜΟΥ ΔΙΔΑΚΤΙΚO BOHΘHMA ΓΙΑ ΤΟ ΘΕΩΡΗΤΙΚΟ ΜΕΡΟΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΑΡΧΕΣ ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ Χ. ΚΑΡΑΪΣΚΟΣ

2. ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ • Κεφάλαιο 0:Φασματική Ανάλυση Περιοδικών Σημάτων • Κεφάλαιο 1:Ο Mετασχηματισμός Fourier • Κεφάλαιο 2: Διαμόρφωση Πλάτους • Κεφάλαιο 3: Διπλοπλευρική και μονοπλευρική διαμόρφωση • Κεφάλαιο 4:Διαμόρφωση Συχνότητας • Κεφάλαιο 5:Ψηφιακή Διαμόρφωση

3. ΔΙΔΑΚΤΙΚΕΣ ΕΝΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ • Ενότητα 1: Περιοδικά σήματα, τριγωνομετρικές σειρές περιοδικών σημάτων • Ενότητα 2: Φάσματα περιοδικών και μη περιοδικών σημάτων • Ενότητα 3: Φίλτρα • Ενότητα 4: Ο Μετασχηματισμός Fourier • Ενότητα 5: Μερικά σήματα και οι μετασχηματισμοί Fourier αυτών • Ενότητα 6: Θεμελιώδης Ιδιότητα των Τηλεπικοινωνιών

4. Ενότητα 7: Ορισμός και χαρακτηριστικά σήματος ΑΜ, φάσματα σήματος ΑΜ • Ενότητα 8: Διαμορφωτές και αποδιαμορφωτές ΑΜ • Ενότητα 9: Διπλοπλευρική διαμόρφωση (DSB) • Ενότητα 10: Μονοπλευρική διαμόρφωση (SSB) • Ενότητα 11: Εισαγωγή στη διαμόρφωση συχνότητας (FM), φάσματα σήματος FM • Ενότητα 12: Διαμόρφωση και αποδιαμόρφωση FM • Ενότητα 13: Βρόχος κλειδώματος φάσης (PLL) • Ενότητα 14: Ψηφιακή Διαμόρφωση (Ορισμοί, Ισχύς, Φάσματα) • Ενότητα 15: Δέκτες σημάτων ψηφιακής διαμόρφωσης

5. Κεφάλαιο 0: Φασματική Ανάλυση Περιοδικών Σημάτων • 0.1 Περιοδικά σήματα • 0.2 Τριγωνομετρικές σειρές Fourier περιοδικών σημάτων • 0.3 Φάσματα περιοδικών και μη περιοδικών σημάτων • 0.4 Φίλτρα

6. Σήμα=Φυσικό μέγεθος που μεταβάλλεται με το χρόνο t Τρόποι παράστασης σήματος: α) Mαθηματική έκφραση στο πεδίο του χρόνου t (π.χ. x(t)=5συν100t) β) Γραφική παράσταση στο πεδίο του χρόνου t (παλμογράφος) γ) Γραφική παράσταση στο πεδίο της συχνότητας f (φάσματα πλάτους και φάσης) Σήμα x(t) είναι περιοδικό με περίοδο Τ0>0 αν x(t+Τ0)=x(t) για κάθε t Σήμα x(t) είναι άρτιο αν x(-t)= x(t) για κάθε t Σήμα x(t) είναι περιττό αν x(-t)=-x(t) για κάθε t Μαθηματική έκφραση ημιτονικού σήματος: x(t)=Aσυν(2πf0t+θ), A=πλάτος (θετικές τιμές), θ=φάση (τιμές από -π μέχρι π), f0=συχνότητα(θετικές τιμές) 0.1 Περιοδικά Σήματα

7. ΦΑΣΜΑΤΑ ΤΟΥ ΗΜΙΤΟΝΙΚΟΥ ΣΗΜΑΤΟΣ x(t)=Aσυν(2πf0t+θ) Φάσμα πλάτους (Για πιο αυστηρή παράσταση χρησιμοποιείται συνάρτηση δ στη συχνότητα f0) Φάσμα φάσης

8. ΦΑΣΜΑΤΑ ΤΟΥ ΣΗΜΑΤΟΣ x(t)=A1συν(2πf1t+θ1)+Α2συν(2πf2t+θ2) Φάσμα πλάτους Φάσμα φάσης (μεθ1>0 και θ2<0)

9. ΔΙΑΦΟΡΑ ΣΧΕΤΙΚΑ ΜΕ ΗΜΙΤΟΝΙΚΑ ΣΗΜΑΤΑ Σήμα Aσυν(2πf0t+θ): Μέση τιμή = 0. Μέση ισχύς (μέση τετραγωνική τιμή) = Α2/2 Με Α>0 έχουμε: Σήμα Aσυν2πf0t: πλάτος Α, φάση 0 Σήμα -Aσυν2πf0t=Aσυν(2πf0t+π): πλάτος Α, φάση π Σήμα Aημ2πf0t=Aσυν(2πf0t-π/2): πλάτος Α, φάση -π/2 Σήμα -Aημ2πf0t=Aσυν(2πf0t+π/2): πλάτος Α, φάση π/2 Το σήμα Aημ2πf0t είναι περιττό σήμα και το Aσυν2πf0t είναι άρτιο σήμα Τώρα κάντε μια Επανάληψη από την Τριγωνομετρία

10. 0.2 Τριγωνομετρικές σειρές Fourier περιοδικών σημάτων Κάθε περιοδικό σήμα x(t), με περίοδο Τ0, μπορεί να αναπτυχθεί σε τριγωνομετρική σειρά άπειρων ημιτονικών σημάτων με μη μηδενικές γωνίες φάσης: x(t)=c0συνθ0+c1συν(2πf0t+θ1)+c2συν(2π2f0t+θ2)+…+cnσυν(2πnf0t+θn)+… με cn0, για n=0,1,2,…, -π<θnπ, για n=1,2,3,… και θ0=0 ή π. Συχνότητα f0=1/T0: θεμελιώδης συχνότητα Συχνότητα nf0: n-στή αρμονική

11. Άλλη μορφή της τριγωνομετρικής σειράς x(t)=α0+α1συν2πf0t+α2συν2π2f0t+…+αnσυν2πnf0t+… +β1ημ2πf0t+β2ημ2π2f0t+…+βnημ2πnf0t+… όπου αn=cnσυνθn και βn=-cnημθn Tύποιυπολογισμού των συντελεστών αn και βn:

12. Ως διάστημα ολοκλήρωσης μπορεί να χρησιμοποιηθεί οποιοδήποτε χρονικό διάστημα (δ, δ+Τ0), μήκους Τ0, με δ αυτό που μας εξυπηρετεί κάθε φορά στον υπολογισμό των ολοκληρωμάτων Τα άρτια περιοδικά σήματα έχουν βn=0 και τα περιττά αn=0 Εύρεση του cn από τα αnκαι βn: cn=(αn2+βn2)1/2 Εύρεση της θnαπό τα αnκαι βn: Βρίσκουμε την τοξεφ(-βn/αn) και σ’ αυτήν προσθέτουμε ή αφαιρούμε π ή τίποτα για να την πάμε στο κατάλληλο τεταρτημόριο (εκεί όπου έχουμε διαπιστώσει ότι βρίσκεται), ακολουθώντας την παρακάτω διαδικασία:

13. Το τεταρτημόριο στο οποίο βρίσκεται η θn εξαρτάται από τα πρόσημα των συνθn και ημθn, ήτοι των αn και -βn: • Αν αn>0 και -βn>0, η γωνία θn βρίσκεται στο πρώτο τεταρτημόριο (τότε δεν προσθέτουμε τίποτα στην τοξεφ(-βn/αn) γιατί εκεί βρίσκεται κι αυτή) • Αν αn<0 και -βn>0, η γωνία θn βρίσκεται στο δεύτερο τεταρτημόριο (τότε προσθέτουμε π στην τοξεφ(-βn/αn) για να πάει αυτή στο δεύτερο τεταρτημόριο από το τέταρτο στο οποίο βρίσκεται) • Αν αn<0 και -βn<0, η γωνία θn βρίσκεται στο τρίτο τεταρτημόριο (τότε αφαιρούμε π από την τοξεφ(-βn/αn) για να πάει αυτή στο τρίτο τεταρτημόριο από το πρώτο στο οποίο βρίσκεται) • Αν αn>0 και -βn<0, η γωνία θn βρίσκεται στο τέταρτο τεταρτημόριο (τότε δεν προσθέτουμε τίποτα στην τοξεφ(-βn/αn) γιατί εκεί βρίσκεται κι αυτή)

14. 0.3 Φάσματα περιοδικών και μη περιοδικών σημάτων • Ένα περιοδικό σήμα συχνότητας f0 έχει φάσματα πλάτους και φάσης γραμμικά (συγκεντρωμένα στις συχνότητες 0, f0, 2f0, …, nf0, …) • Ένα μη περιοδικό σήμα έχει φάσματα πλάτους και φάσης συνεχή (κατανεμημένα σε μια ζώνη συχνοτήτων ή σ’ όλον τον άξονα των συχνοτήτων f)

15. 0.3.1 Φάσματα περιοδικού σήματος συχνότητας f0 Τα cn (πλάτη) καιθn (φάσεις) είναι αυτά που περιλαμβάνονται στο ανάπτυγμα του περιοδικού σήματος σε τριγωνομετρική σειρά Fourier Το cnτείνει στο 0 καθώς το n τείνει στο άπειρο Φάσμα πλάτους θ0 θ3 θn θ2 0 f0 2f0 3f0 nf0 f · · · · · · θ1 Φάσμα φάσης

16. Παράδειγμα: Φάσματα τετραγωνικού σήματος περιόδου Τ0 Το σήμα p(t) είναι άρτιο οπότε βn=0. Από τον τύπο υπολογισμού του αn προκύπτει ότι α2=α4=α6=α8=…=0 και α0=1/2, α1=2/π, α3=-2/(3π), α5=2/(5π), α7=-2/(7π), α9=2/(9π), α11=-2/(11π), … Για αn >0 είναι φάση=0 και για αn<0 είναι φάση=π. Κάντε τους υπολογισμούς και επαληθεύστε τα παραπάνω. Το τετραγωνικό σήμα Φάσμα πλάτους Φάσμα φάσης

17. Φάσματα άλλων περιοδικών σημάτων • Προσπαθήστε να υπολογίσετε τα αναπτύγμτατα σε τριγωνομετρική σειρά Fourier κι απ’ αυτά να σχεδιάσετε τα φάσματα πλάτους και φάσης των εξής περιοδικών σημάτων: • α) Ορθογωνικού που έχει περίοδο Τ0 και διάρκεια ψηλής τιμής του παλμού τ (με τ<Τ0/2). Σχεδιάστε το ως άρτιο σήμα. • β) Πριονωτού που έχει περίοδο Τ0.

18. 0.3.2 Φάσματα μη περιοδικού σήματος x(t) Είναι συνεχείς συναρτήσεις της συχνότητας f. • Tο φάσμα πλάτους παριστάνεται με X(f). Είναι μη αρνητική συνάρτηση της συχνότητας f. • Το φάσμα φάσης παριστάνεται με Arg{X(f)}. Είναι πάντα • -π<Arg{X(f)}π. • Το X(f)=X(f)ejArg{X(f)} είναι ο μετασχηματισμός Fourier του σήματος x(t) που θα γνωρίσουμε στο Κεφάλαιο 1 (όπου γίνεται χρήση και αρνητικών συχνοτήτων).

19. Ενδεικτικά φάσματα μη περιοδικού σήματος Το X(f) παρέχει την πυκνότητα του φασματικού περιεχομένου του x(t) ως προς τη συχνότητα. Ακριβέστερα, το X(f)2 είναι η πυκνότητα ενέργειας του σήματος x(t) ως προς τη συχνότητα f (ενέργεια ανά μονάδα συχνότητας). Ενδεικτικό φάσμα πλάτους Ενδεικτικό φάσμα φάσης

20. Φίλτρα Είναι διατάξεις που έχουν σκοπό να επιδράσουν κατά επιθυμητό τρόπο στα φάσματα (κυρίως στο φάσμα πλάτους) του σήματος που οδηγούμε στην είσοδό τους. Συνήθης στόχος: Να περάσει άθικτο το μέρος του φάσματος που βρίσκεται σε μια ζώνη συχνοτήτων, τη ζώνη διέλευσηςτου φίλτρου, και να μηδενιστεί το μέρος του φάσματος που βρίσκεται στις υπόλοιπες συχνότητες, τη ζώνη αποκοπήςτου φίλτρου.

21. Χαρακτηριστικά ενός φίλτρου Ένα φίλτρο χαρακτηρίζεται από: Την απόκριση πλάτουςΗ(f) και την απόκριση φάσηςArg{H(f)} αυτού. Aπ’ αυτές τις δύο αποκρίσεις συντίθεται η συνάρτηση μεταφοράς του φίλτρου H(f)=H(f)ejArg{H(f)}. Η συνάρτηση μεταφοράς ενός φίλτρου είναι ο μετασχηματισμός Fourier της κρουστικής απόκρισηςh(t) αυτού, ήτοι του σήματος εξόδου του φίλτρου όταν είσοδος είναι το σήμα δ(t). Οι αποκρίσεις πλάτους και φάσης ενός φίλτρου το χαρακτηρίζουν και είναι ανεξάρτητες από τα σήματα εισόδου και εξόδου αυτού.

22. Σχέση μετασχηματισμών Fourier των σημάτων εισόδου x(t) και εξόδου y(t) ενός φίλτρου: Y(f)=H(f)X(f) Παίρνοντας μέτρα προκύπτει: Y(f)=H(f)X(f). Επομένως, Φάσμα πλάτους σήματος εξόδου = Απόκριση πλάτους του φίλτρου Φάσμα πλάτους σήματος εισόδου Παίρνοντας ορίσματα προκύπτει: Arg{Y(f)}=Arg{H(f)}+Arg{X(f)}. Επομένως, Φάσμα φάσης σήματος εξόδου = Απόκριση φάσης του φίλτρου + Φάσμα φάσης σήματος εισόδου

23. Ιδανικά φίλτρα Στη ζώνη διέλευσης έχουν Η(f)=1 και στη ζώνη αποκοπής έχουν Η(f)=0 Η μετάβαση από τη ζώνη διέλευσης στη ζώνη αποκοπής και αντίστροφα γίνεται απότομα (εκεί η απόκριση πλάτους είναι «κατακόρυφη») Για την υλοποίησή τους απαιτούνται κυκλώματα άπειρης τάξης (άπειρου μεγέθους)

24. Παραδείγματα ιδανικών φίλτρων Ιδανικό βαθυπερατό φίλτρο Ιδανικό υψιπερατό φίλτρο Ιδανικό ζωνοφρακτικό φίλτρο Ιδανικό ζωνοπερατό φίλτρο

25. Παράδειγμα φιλτραρίσματος από ιδανικό φίλτρο (ζωνοπερατό φίλτρο με ζώνη διέλευσης (f1, f2)) Φάσμα πλάτους σήματος εισόδου Φάσμα πλάτους σήματος εξόδου

26. Μη ιδανικά φίλτρα Στη ζώνη διέλευσης έχουν περίπουΗ(f)=1 και στη ζώνη αποκοπής έχουνπερίπου Η(f)=0. Η μετάβαση από τη ζώνη διέλευσης στη ζώνη αποκοπής και αντίστροφα γίνεται σταδιακά (μέσα στη μεταβατική ζώνη). Για την υλοποίησή τους απαιτούνται μικρά κυκλώματα (για χονδρική προσέγγιση των αποκρίσεων πλάτους των ιδανικών φίλτρων) ή μεγαλύτερα κυκλώματα (για καλύτερη προσέγγιση).

27. Απόκριση πλάτους βαθυπερατού φίλτρου της πράξης

28. Φιλτράρισμα ημιτονικού σήματος Σήμα εισόδου του φίλτρου: Ασυν(2πf0t+θ) Στην έξοδο θα πάρουμε ημιτονικό σήμα συχνότητας f0, που θα έχει πλάτος ΑH(f0) και φάση θ+Αrg{H(f0)}, δηλ. θα πάρουμε το σήμα AH(f0)συν(2πf0t+θ+Arg{H(f0)}) Για σήμα εισόδου περιοδικό, το παραπάνω ισχύει για κάθε όρο του αναπτύγματος του σήματος σε τριγωνομετρική σειρά Fourier

29. Κεφάλαιο 1: O Μετασχηματισμός Fourier • 1.1 Ορισμός και ιδιότητες του μετασχηματισμού Fourier • 1.2 Μερικά σήματα και οι μετασχηματισμοί Fourier αυτών

30. 1.1.1 Ορισμός του μετασχηματισμού Fourier σήματος Σήμα x(t) Μετασχηματισμός Fourier αυτούX(f): Ο X(f) είναι μιγαδική συνάρτηση της συχνότητας f. Η συχνότητα f παίρνει τιμές από - μέχρι +. Αντίστροφος μετασχηματισμός Fourier τουX(f):

31. Η γραφική παράσταση του |Χ(f)| είναι το φάσμα πλάτους του σήματος x(t) • H γραφική παράσταση του Arg[X(f)] είναι το φάσμα φάσης του σήματος x(t)

32. 1.1.2 Ιδιότητες του μετασχηματισμού Fourier • 1) X(-f)=X*(f) (συζυγής του X(f)). Συνέπεια: Αφού |Χ(-f)|=|Χ(f)*|=|Χ(f)| και Arg[X(-f)]=Arg[X(f)*]=-Arg[X(f)], τo φάσμα πλάτους|Χ(f)| είναι άρτια συνάρτηση της συχνότητας f και το φάσμα φάσηςArg[X(f)] είναι περιττή συνάρτηση της συχνότητας f. Αυτό ισχύει για πραγματικά σήματα x(t). • 2) F{ax1(t)+bx2(t)}=aX1(f)+bX2(f) (γραμμικότητα) • 3) F{x(t-τ)}=X(f)e-j2πfτ • 4) F{ej2πσtx(t)}=X(f-σ) • 5) F{dx(t)/dt}=j2πfX(f) • 7) F{x(at)}=X(f/a)/a

33. 8) F-1{Χ(af)}=x(t/a)/a • 9)F{x(t)y(t)}=X(f)Y(f),όπου είναι η συνέλιξη των σημάτων x(t) και y(t) στο πεδίο του χρόνου t • 10)F{x(t)y(t)}=X(f)Y(f),όπου είναι η συνέλιξη των X(f) και Y(f) στο πεδίο της συχνότητας

34. 11) F{X(t)}=x(-f). Δηλ. αν στη μαθηματική έκφραση της συνάρτησης X(f) βάλουμε όπου f το t, προκύπτει η (μιγαδική εν γένει) συνάρτηση του χρόνου X(t), της οποίας μετασχηματισμός Fourier είναι εκείνη η συνάρτηση της συχνότητας που προκύπτει από τη μαθηματική έκφραση του σήματος x(t) στο πεδίο του χρόνου αν σ΄ αυτή βάλουμε όπου t το –f. Παράδειγμα: Το σήμα u(t) (βηματική συνάρτηση) έχει μετασχηματισμό Fourier 1/(j2πf). Επομένως, το σήμα 1/(j2πt) έχει μετασχηματισμό Fourier u(-f),που είναι μια βηματική συνάρτηση που παίρνει τιμή 1 για αρνητικά f και τιμή 0 για θετικά f.

35. Παρατηρήσεις στο μετασχηματισμό Fourier • Η Ιδιότητα 2 με b=0 δίνει F{ax(t)}=aX(f). Αν a>0 είναι Arg(a)=0 και αν a<0 είναι Arg(a)=π. Αφού είναι Arg{aX(f)}=Arg(a)+Arg{X(f)}, με θετικό a το φάσμα φάσης του x(t) δεν αλλάζει και με αρνητικό a προστίθεται π σ’ αυτό. Και στις δύο περιπτώσεις το φάσμαπλάτους πολλαπλασιάζεται επίa. • Η Ιδιότητα 7 με a=-1 δίνει Ήτοι, αναστροφή της φοράς του άξονα των t (παρουσία του - μπροστά από το t) δίνει τον συζυγή μετασχηματισμό Fourier. F{x(-t)}=X(-f)=X*(f).

36. Η γραφική παράσταση του x(at), με a>1, προκύπτει από τη γραφική παράσταση του x(t) με συστολή της κατά τον άξονα των t με παράγοντα a. H γραφική παράσταση του x(t/a) προκύπτει από τη γραφική παράσταση του x(t) με διαστολήτης κατά τον άξονα των t με παράγοντα a. Από την Ιδιότητα 7 προκύπτει ότι συστολή του σήματος x(t) κατά τον άξονα των t με παράγοντα a συνεπάγεται διαστολή του κατά τον άξονα των f με παράγοντα a (και διαίρεση του φάσματος πλάτους δια a). Ομοίως, διαστολή στο πεδίο του t με παράγοντα a συνεπάγεται συστολή στο πεδίο των f με παράγοντα a (και πολλαπλασιασμό του φάσματος πλάτους επί a).

37. To σήμα x(t-τ) προκύπτει από το σήμα x(t) με χρονικήκαθυστέρηση κατά τ. Η γραφική παράσταση μετατοπίζεται δεξιά κατά τ. ΑφούX(f)e-j2πfτ =X(f) και Arg{X(f)e-j2πfτ}=Αrg{Χ(f)}-2πfτ, από την Ιδιότητα 3 προκύπτει ότι η επιβολή καθυστέρησης τ δεν επηρεάζει το φάσμα πλάτους του σήματος, ενώ προσθέτει στο φάσμα φάσης αυτού τον γραμμικό ως προς τη συχνότητα f όρο -2πfτ. • Η Ιδιότητα 4 λέει ότι ο πολλαπλασιασμός του x(t) επί τη συνάρτηση ej2πσt (μιγαδικό ημίτονο συχνότητας σ) συνεπάγεται μετατόπιση του μετασχηματισμού Fourier Χ(f) αυτού δεξιά κατά τη συχνότητα σ.

38. Η χονδρική μορφή ενός σήματος στο πεδίο του χρόνου καθορίζεται από το φασματικό περιεχόμενo του σήματος στις χαμηλές συχνότητες. Το φασματικό περιεχόμενο του σήματος στις ψηλές συχνότητες συμβάλλει στο σχηματισμό των λεπτομερειών (αιχμές, ακμές κ.λπ.) στο πεδίο του χρόνου. Συνέπεια αυτών: • Αν ψαλιδίσουμε τις «ουρές» του φάσματος του σήματος (δηλ. αν περικόψουμε το φάσμα του από μια συχνότητα και πάνω) η εικόνα του σήματος στο πεδίο του χρόνου στρογγυλεύεται και, συνήθως, αποκτά και κυματώσεις. Αντίθετα, αν κρατήσουμε μόνο το ψηλών συχνοτήτων μέρος του φάσματος, το σήμα στο πεδίο του χρόνου καθίσταται μη αναγνωρίσιμο. • Αν ψαλιδίσουμε τις «ουρές» του σήματος στο πεδίο του χρόνου, το φάσμα πλάτους του στρογγυλεύεται και, συνήθως, αποκτά και κυματώσεις.

39. 1.2 Μερικά σήματα και οι μετασχηματισμοί Fourier αυτών 1) Κρουστική συνάρτηση δ(t): F{δ(t)}=1 • Από την Ιδιότητα 11 προκύπτει: F{1}=δ(-f)=δ(f). 2) Bηματική συνάρτηση u(t): U(f)=F{u(t)}=1/(j2πf), (αφού είναι δ(t)=du(t)/dt, έστω και όχι πολύ αυστηρά από μαθηματικής άποψης αφού η συνάρτηση u(t) ως ασυνεχής είναι μη παραγωγίσιμη).

40. 3) Ορθογωνικός παλμός p(t) διάρκειας τ. Αποδείξτε ότι: P(f)=F{p(t)}=τημ(πfτ)/(πfτ)=τsinc(fτ), όπου sinc(x)=ημ(πx)/(πx) Ο P(f) είναι πραγματική και άρτια συνάρτηση της f. Φάσμα πλάτους Φάσμα Φάσης

41. Ορθογωνικός παλμός και ο μετασχηματισμός Fourier αυτού, όπου fτ=1/τ

42. Σχεδιάστε εσείς το φάσμα πλάτους και τοφάσμα φάσης του ορθογωνικού παλμού. 4) Εκθετικός παλμός: ε(t)=e-αtu(t) με α>0. Αποδείξτε ότι F{e-αtu(t)}=1/(α+j2πf). Επομένως, ο εκθετικός παλμός και τα φάσματά του έχουν ως εξής: Ο εκθετικός παλμός Το φάσμα πλάτους του εκθετικού παλμού

43. Το φάσμα φάσης του εκθετικού παλμού

44. Μερικές ακόμα ιδιότητες – ζεύγη μετασχηματισμών Fourier A) F{x(t)συν2πfct}=[X(f-fc)+X(f+fc)]/2. Αυτό σημαίνει ότι ο πολλαπλασιασμός σήματος επί συν2πfct μετατοπίζει τα φάσματα του σήματος (τώρα γίνεται χρήση θετικών και αρνητικών συχνοτήτων) δεξιά κατά fc και επίσης αριστερά κατά fc και διαιρεί τα φάσματα πλάτους δια 2. Τα φάσματα γύρω από τη συχνότητα fc έχουν την άνω και την κάτω πλευρική ζώνη τους. Το ίδιο και τα φάσματα γύρω από τη συχνότητα -fc.

45. Β) Αφού F(Α)=Αδ(f), η προηγούμενη ιδιότητα δίνει F(Ασυν2πfct)= [Αδ(f-fc)+Αδ(f+fc)]/2. Άρα, το φάσμα του σήματος Ασυν2πfct αποτελείται από μια κρουστική συνάρτηση στη θετική συχνότητα fc και μια στην αρνητική συχνότητα -fc. Εμείς, λιγότερο αυστηρά, θα χρησιμοποιούμε ένα ευθύγραμμο τμήμα ύψους Α στη συχνότητα fc (αγνοώντας τις αρνητικές συχνότητες). Γ) Με p(t) τον ορθογωνικό παλμό διάρκειας τ, ο p(t)συν2πfct είναι ημιτονικός παλμός συχνότητας fc και διάρκειας τ. Αυτός έχει μετασχηματισμό Fourier [P(f-fc)+P(f+fc)]/2={τsinc[(f-fc)τ]+τsinc[(f+fc)τ]}/2 Δηλ. έχει φάσμα μια συνάρτηση sinc γύρω από τη συχνότητα fc και μία γύρω από την -fc (που την αγνοούμε αφού αγνοούμε τις αρνητικές συχνότητες).

46. Κεφάλαιο 2: Διαμόρφωση πλάτους (Amplitude Modulation - AM) • 2.1 Θεμελιώδης Ιδιότητα των Τηλεπικοινωνιών • 2.2 Ορισμός και χαρακτηριστικά σήματος AM • 2.3 Φάσματα σήματος AM • 2.4 Διαμορφωτές και αποδιαμορφωτές ΑΜ

47. 2.1 Θεμελιώδης Ιδιότητα των Τηλεπικοινωνιών Από τώρα και στο εξής θα ασχολούμαστε μόνο με θετικές συχνότητες και τα φάσματα των σημάτων θα τα σχεδιάζουμε μονο σ’ αυτές, εκτός αν λέμε κάτι διαφορετικό. Αν y(t)=Ax(t)συν2πfct, με Α>0, το φάσμα πλάτους του y(t) αποτελείται από την άνωπλευρική ζώνη, που λαμβάνεται με μετατόπιση του φάσματος πλάτους του σήματος x(t) δεξιά κατά fc, και την κάτω πλευρική ζώνη, που λαμβάνεται με κατοπτρισμό (συμμετρία ως προς κατακόρυφο άξονα) της άνω πλευρικής ζώνης ως προς τη συχνότητα fc.

48. Το φάσμα φάσης του y(t) αποτελείται κι αυτό από την άνω πλευρική ζώνη, που λαμβάνεται με μετατόπιση του φάσματος φάσης του σήματος x(t) δεξιά κατά fc, και την κάτω πλευρική ζώνη, που λαμβάνεται με συμμετρία της άνω πλευρικής ζώνης ως προς κέντρο τη συχνότητα fc. Τα φάσματα πλάτους πολλαπλασιάζονται όλα επί Α/2, ενώ τα φάσματα φάσης όχι. Όσα μέρη του φάσματος πλάτους με τις μετακινήσεις τους πέσουν σε αρνητικές συχνότητες, αντικαθίστανται (ισοδυναμούν) με τα κατοπτρικά τους ως προς τη συχνότητα 0. Όσα μέρη του φάσματος φάσης με τις μετακινήσεις τους πέσουν σε αρνητικές συχνότητες, αντικαθίστανται (ισοδυναμούν) με τα συμμετρικά τους ως προς κέντρο συμμετρίας τη συχνότητα 0.

49. Παραδείγματα σημάτων x(t) και y(t)=Ax(t)συν2πfct ΠαράδειγμαΑ Φάσμα πλάτους σήματος x(t) Φάσμα φάσης σήματος x(t) Φάσμα πλάτους σήματος y(t) Φάσμα φάσης σήματος y(t)

50. Παράδειγμα Β Φάσμα πλάτους σήματος x(t) Φάσμα φάσης σήματος x(t) Φάσμα πλάτους σήματος y(t) Φάσμα φάσης σήματος y(t)