PROPUSNOST STIJENE

1. PROPUSNOST STIJENE Propusnost je općenito mjera sposobnosti ("kapaciteta") nekog medija (napr. cijev, porozna stijena) da omogući gibanje, protjecanje fluida kroz taj medij. Do gibanja dolazi uslijed tlačnoggradijenta, a smjer protoka je od većeg prema manjem tlaku.

2. Početkom 19. stoljeća, izvedeni su osnovni izrazi (Navier, Stokes), koji opisuju gibanje fluida u cijevima (raspodjela brzina čestica fluida uz različite režime - laminarni ili turbulentni - protok, itd.)

3. Za razliku od cijevi, protok fluida u poroznom mediju odvija se kroz labirint međusobno povezanih pora, tj. kapilara s naglim promjenama promjera, pa opis protoka na ovoj mikroskopskoj razini, analogan onom u cijevima, nije praktičan.

4. Henry Darcy je, na temelju rezultata eksperimentalnih studija protjecanja vode kroz pješčane filtre gradskog vodovoda, formulirao i 1856. godine objavio zakonitost protoka fluida kroz porozni medij na makroskopskoj razini.

5. Darcy je ustanovio kako veličina volumetrijskog protoka vode, q, kroz vertikalni pješčani filter površine presjeka protjecanja, A, i duljine, L, izravno ovisi o razlici visina stupaca vode ulaznog i izlaznog vodenog manometra, Drugim riječima, protok je izravno proporcionalan razlici visina, što je matematički opisano izrazom: • Skica Darcyevog eksperimentanog uređaja zamjerenje protoka vode kroz pješčani filter.

6. Konstanta proporcionalnosti, C, u ovisi o • Karakteristikama pojedinog poroznog medija, i • Transportnim svojstvima fluida, tj. o veličini unutrašnjeg trenja u fluidu, dakle o viskoznosti fluida. U daljnja razmatranja prikladno je uvesti parametar volumetrijski tok ili fluks, u(također i: površinska, superficial, brzina), koji je omjer volumetrijskog protoka i površine, normalne na smjer protjecanja fluida:

7. Intersticijalna ili linearna brzina fluida u poroznom mediju je omjer volumetrijskog toka i poroznosti: Uvrštavanjem volumetrijskog toka u prijašnji izraz dobije se originalna Darcyjeva jednadžba:

8. Na temelju kasnijih eksperimentalnih opažanja ustanovljeno je da je volumetrijski tok izravno proporcionalan gustoći,r, fluida, a obrnuto proporcionalan viskoznosti fluida, m, tj.u ~r / m pa se originalna Darcyeva jednadžba mijenja u pri čemu sada nova konstanta proporcionalnosti, C’, sadrži utjecaj stupca fluida i svojstva porozne stijene na veličinu volumetrijskog fluksa, odnosno protoka. U gravitacijskom polju Zemlje, sila kojom hidrostatski stupac fluida djeluje na jedinicu površine jednaka je umnošku visine stupca, gustoće fluida i ubrzanja sile teže i naziva se tlakom

9. Uvrštenjem gravitacijske konstante dobije se Nova konstantaproporcionalnosti, k, ovisi sada samo o svojstvima poroznog medija (stijene), te je karakteristika stijene, koja se naziva propusnoststijene.

10. Izraz nije sasvim u redu, jer ne vrijedi za sve slučajeve, odnosno uvjete protjecanja u poroznoj stijeni. Razlog tome je što sila težedjeluje uvijek samo u jednom smjeru: vertikalno prema središtu Zemlje, dok sila, (razlika tlaka), odgovorna za protok fluida može djelovati u bilo kojem smjeru. • Odnosi sila pri protoku u smjeru i nasuprot smjeru djelovanja gravitacije

11. Protok fluida je dakle funkcija efektivne sile, koja je vektorska suma nametnute sile u smjeru protoka i sile gravitacije. Efektivna sila naziva se potencijal protoka, F, koji ima istu dimenziju kao i tlak, a definiran je kao gravitacijski član Potencijal protoka u nekoj točki u poroznom mediju jednak je razlici tlaka u toj točki i tlaka hidrostatskog stupca fluida, čija je vertikalna udaljenost do neke referentne ravnine jednaka h.

12. Odnosi tlaka i potencijala protoka za različite smjerove protjecanja fluida u poroznom mediju s obzirom na utjecaj gravitacije: Ako se razlika potencijala računa kao uvijek je negativna(tlak se povećava u smjeru suprotnom odsmjeraprotoka).

13. Darcyjeva jednadžba protoka u poroznom mediju, koja vrijedi za bilo koji smjer protoka u odnosu na smjer djelovanja sile teže je odnosno

14. Pri horizontalnom protoku, vektor pokretne sile okomit je na vektor gravitacije te su vrijednosti potencijala protoka i tlaka iste. Opća Darcyjeva jednadžba za linearnihorizontalni protokfluida (tekućine) je zato

15. U linearnom sustavu konačne duljine, za bilo koje dvije točke (pozicije) na toj duljini, i vrijedi Diferencijalni oblik Darcyjevog zakona SVRHA: U diferencijalnom obliku, zakon postaje primjenljiv za sve fluide i u drugim sustavima/geometrijama protjecanja, napr. radijalnoj.

16. Budući da je općenito diferencijalni oblik Darcyjeve jednadžbe je je gradijent potencijala

17. PoopćenaDarcyjevajednadžbazaprotokfluidakrozporoznimedijvrijedisamoakosuispunjenislijedećiuvjeti:PoopćenaDarcyjevajednadžbazaprotokfluidakrozporoznimedijvrijedisamoakosuispunjenislijedećiuvjeti: • Porozni medij je potpuno ispunjen fluidom koji protječe, • Nema fizikalno-kemijskih interakcija između fluida i poroznog medija (bilo kakva interakcija, napr. djelomično otapanje karbonatne stijene) mijenja karakter poroznog medija, tj. propusnost, tijekom protjecanja, • Režim protoka fluida je laminarni, tj. veličina protoka linearno ovisi o gradijentu tlaka (potencijala), za razliku od turbulentnog protoka, kada nema te linearnosti. Pri ovakvim uvjetima određena propusnost je apsolutna propusnost poroznog medija.

18. Veličine i jedinice propusnosti Uvrštenjem odgovarajućih SI jedinica dobije se Iz Darcyjeve jednadžbe propusnost poroznog medija je definirana kao: Jedinica za propusnost imadakle dimeziju površine, a definicija propusnosti je: "Propusnost od 1 m2 omogućava protok od 1 m3/s fluida viskoznosti 1 Pas kroz površinu protjecanja od 1 m2 uz tlačni gradijent od 1 Pa/m ".

19. Tradicionalna jedinica za propusnost, izvedena u starijem c-g-s (centimetar-gram-sekunda) sustavu jedinica, je1 darcy [D], definirana kao tj. neki porozni medij ima propusnost od 1 darcy, kada fluid viskoznosti od 1 cP, koji potpuno ispunjava pore medija, teče kroz taj medij uz protok od 1 cm3/s kroz površinu presjeka od 1cm2 te pri tlačnom gradijentu od 1 Atm/cm.

20. Većina ležišnih stijena ima propusnost mnogo manju od 1 D, tako da je u praksi prihvaćena jedinica za propusnost milidarcy [mD] : 1 Darcy = 1000 milidarcy = 1000 mD Odnosi između starijih i SI jedinica za propusnost su slijedeći: Očito je da je 1 darcy skoro jednak kvadratu mikrometra, tako da se u većini inženjerskih računa u SI sustavu može rabiti aproksimacija 1 D 1m2 .

21. Primjene Darcyjeve jednadžbe Matematički oblik jednadžbi za računanje protoka u stvarnim uvjetima ovisi o karakteristikama ležišne stijene i fluida, koje uključuju: • Vrste fluida prema stlačivosti • Geometriju ležišta • Režim protjecanja fluida • Broj fluida u protoku

22. (a) nestlačivi Vrste ležišnih fluida (b) slabostlačivi (c) stlačivi fluidi Stlačivost (kompresibilnost) tvari opisana je koeficijentom stlačivosti: ili

23. (Ne postoji u stvarnostimeđutim, uz pretpostavku nestlačivosti fluida, moguće je relativno jednostavno izvesti dovoljno točne matematičke izraze) Vrste ležišnih fluida Nestlačivi fluid- ne mijenja volumen promjenom tlaka, tj.

24. Slabo stlačivi fluid su sve tekućine - promjena volumena tekućina s tlakom je mala, zato Vrste ležišnih fluida

25. Stlačivi fluidi jako mijenjaju volumen s tlakom (svi plinovi) Vrste ležišnih fluida Promjene volumena plina s tlakom mogu se opisati Jednadžbom stanja realnog plina: Volumnim faktorom plina: Koeficijentom stlačivosti plina: Cg plina ovisi o tlaku:

26. Vrste ležišnih fluida

27. (a) linearna geometrija Geometrija ležišta- određuje geometriju protjecanja fluida. najinteresantnije u naftnoj praksi Površina presjeka konstantna, a ravne prosječne strujnice fluida su paralelne Strujnice fluida u dvije dimenzije konvergiraju prema zajedničkom središtu, površina presjeka protjecanja nije konstantna (b) radijalna geometrija Strujnice fluida usmjerene su prema zajedničkom središtu u tri dimenzije (c) sferna geometrija

28. Geometrija ležišta

29. Režimi protjecanja fluida –(Međuovisnost protokafluida i raspodjele tlaka u ležištu kao funkcije vremena) • Ustaljeni protok(engl. steady-state flow), • Neustaljeni protok, (engl. unsteady-state flow, često i transient flow) • Pseudoustaljeni protok fluida, (engl. pseudosteady-state flowili semisteady-state flow, katkada iquasi steady-state flow)

30. Režimi protjecanja fluida Ustaljeni protok Pseudoustaljeni protok k a l T Neustaljeni protok Vrijeme

31. Linearni protok nestlačivog fluida (tekućina) (U izvodima jednadžbi protjecanja fluida pretpostavljeni su ustaljeni (steady-state) uvjeti protjecanja) separacija varijabli integriranje

32. Linearni protok nestlačivog fluida (tekućina) Konačna jednadžba za linearni protok nestlačivog fluida bilo koji smjer: za horizontalni protok:

33. Linearni protok slabo stlačivog fluida (tekućina) Promjena volumena s tlakom ekvivalentna promjeni protoka s tlakom Konačne jednadžbe za linearni protok slabo stlačivog fluida Za protok pri ulaznom tlaku: Za protok pri izlaznom tlaku:

34. Linearni protok stlačivog fluida (plin) IDEALNI PLIN: Protok uporabom JS idealnog plina maseni protok Konačna jednadžba za linearni protok stlačivog fluida (idealni plin) pri tlaku p

35. Linearni protok stlačivog fluida (plin) Linearni protok stlačivog fluida (idealni plin) pri srednjem tlaku Srednji, prosječni tlak je maseni protok Iz

36. Linearni protok stlačivog fluida (plin) REALNI PLIN -Volumen definiran JS realnog plina: Jednadžba za linearni protok realnog plina pri S.C. (STP):

37. Varijacije propusnosti u linearnom sustavu protjecanja fluida U prirodi su ležišta rijetko homogena; ležište se najčešće sastoji od slojeva ili blokova različite građe i/ili svojstava. Zato u mnogim podzemnim geološkim formacijama ležišne stijene pokazuju manji ili veći stupanj anizotropije, drugim riječima, postoje prostorne varijacije propusnosti. Homogenost = svugdje ista građa, svojstva, napr. litologija Izotropija = ista svojstva u svim smjerovima Sa stanovišta prostornog razmještaja, geometrija anizotropnog poroznog medija može uključiti serijske ili paralelne promjene propusnosti.

38. Linearni protok - Serijske promjene propusnosti Razmatra se dio ležišta sa segmentima različite duljine (debljine) i različitih propusnosti

39. 4. Linearni protok - Serijske promjene propusnosti Rezultat prethodnih matematičkih manipulacija je Za taj isti anizotropni medij može se napisati valjana Darcyjeva jednadžba za ukupni linearni protok kroz razmatrani segment na slijedeći način = prosječna, srednja ili efektivnapropusnost (engl. averagepermeability a katkada i apparentpermeability. Napomena:apparent, ovisno o kontekstumože značitiprividanali iočit, stvarni, opažan, mjeren. U ovom slučaju radi se o drugom značenju!)

40. Linearni protok - Serijske promjene propusnosti Izjednačavanjem i dobiva se izraz za prosječnu propusnost formacije pri serijskim promjenama propusnosti:

41. Naftna ležišta često se sastoje od paralelnih slojeva različite propusnosti, međusobno odijeljenih nepropusnom barijerom, tako da nema komunikacije fluida (engl. crossflow) između slojeva. Linearni protok - Paralelne promjene propusnosti

42. U svim slojevima protjecanje fluida odvija se pri istom, konstantnom tlačnom gradijentu, Uz istu širinu slojeva, , veličina protoka kroz svaki individualni sloj ovisi o debljini, i propusnosti, sloja: Linearni protok - Paralelne promjene propusnosti

43. Ukupni protok jednak je zbroju protoka kroz pojedine slojeve: Linearni protok - Paralelne promjene propusnosti S druge strane, proporcionalan je prosječnoj propusnosti svih slojeva, i njihovoj ukupnoj debljini

44. Linearni protok - Paralelne promjene propusnosti Uvrštavanjem i kombinacijom s u prosječna (efektivna) propusnost paralelno naslaganih slojeva je: Ista širina, različita debljina; Ai = a hi Različita širina i debljina; Ai = ai hi

45. Razmatra se protok fluida kroz segment poroznog medija anularnog (prstenastog) oblika, čije dimenzije određuje razlika između dvaju koncentričnih cilindara (valjaka) iste visine ili debljine. Radijalni protok fluida iz ležišta u bušotinu Radijalni protok nestlačivog fluida (tekućina) = visina (debljina) valjka, tj. sloja = potencijal pri = potencijal pri = polumjer (radius) bušotine = drenažni radius (radius iscrpljivanja).

46. 5. Radijalni protok nestlačivog fluida (tekućina) Pri radijalnom protoku povećanjem udaljenosti od točke većeg potencijala prema nižem potencijalu Volumetrijski protok kroz bilo koji radius definiran je kao a u smjeru protoka smanjuje se tako da je Potencijal (tlak) povećava se u istom smjeru kao i radius – zato plus (+) umjesto minusa !

47. Radijalni protok nestlačivog fluida (tekućina) Površina presjekaje površina plašta cilindra, dalje matematička “mašinerija” - odgovarajući integrali: separacija varijabli:

48. Radijalni protok nestlačivog fluida (tekućina) Konačni izraz za radijalni protok nekompresibilnog fluida (a) za bilo koji smjer protjecanja (b) za horizontalno protjecanje

49. Radijalniprotokslabostlačivogfluida (tekućina) Izraz za protok slabostlačivog fluida uvrstiti u radijalnu jednadžbu: matematička mašinerija: = protok pri referentnom tlaku Konačni izraz: integrali:

50. Radijalni protokslabostlačivog fluida (tekućina) Kada se za referentni tlak odabere dinamički tlak na dnu bušotine, Pri računanju proizvodnje nafte pri standardnim, površinskim uvjetima, jer je