Introduction à l’Intégration Numérique Application aux éphémérides

1. Introduction à l’Intégration NumériqueApplication aux éphémérides Josselin Desmars IMCCE / Obs Paris

2. Plan • Equations différentielles • Rappels de Mécanique • Méthodes d’intégration numérique

3. Équations différentielles • Définition • Exemple • Résolution d'une équation simple

4. Équations différentielles • Elle lie une ou plusieurs fonctions et ses/leurs dérivées. • De manière formelle, une équation différentielle s'écrit: • Exemples: y'+2y=0 ordre 1 • y''-5y’+y+1=0 ordre 2 • y''+k².y=0 ordre 2

5. N vérifie l’équation différentielle : Équations différentielles • Pourquoi des équations différentielles? Dès que l’on veut modéliser des phénomènes physiques, biologiques, économiques, etc…, les équations différentielles apparaissent. Exemple: Une population possède à un instant t : N(t) individus. Si elle a de la nourriture abondante. Sa population augmente proportionnellement à sa taille (par exemple, chaque année, la population augmente de 5%).

6. Où y0 est une constante qui dépend des conditions initiales Équations différentielles • Solution de l’équation différentielle La solution de cette équation différentielle est simple et de la forme: Donc l’effectif à l’instant t de la population est : Où N0 est l’effectif de la population à l’instant initial t=0

7. Équations différentielles • Solution de l’équation différentielle N0=100,200,300,400 k=0.05

8. Équations différentielles • Pour des équations différentielles simples, on peut trouver des solutions explicites de cette équation (comme dans l’exemple précédent) • Il existe des méthodes qui permettent de calculer ces solutions. • Malheureusement, les modélisations plus complexes entraînent des équations différentielles plus complexes également (dont on n’a pas de solutions explicites) • Exemple : en mécanique (céleste)…

9. Équations différentielles • On peut également avoir un système d'équations différentielles. • Population proies / prédateurs Lokta Volterra (1925) • X : population des lapins • Y : population des renards • a : taux d’accroissement des lapins (sans prédateurs) • b : taux de mortalité des lapins à cause de la prédation • c : taux de mortalité des renards en l’absence de proies • e : le facteur décrivant quelle quantité des lapins attrapés permet de créer des nouveaux renards

10.  Équations différentielles • On peut également avoir un système d'équations différentielles. En notant 

11. Posons:  Posons:   où Équations différentielles • Avec cette transformation, une équation différentielle du second ordre peut se transformer en une équation différentielle du premier ordre

12. Équations différentielles Ce qu'il faut retenir • Une équation différentielle lie une fonction et ses dérivées. • Elle apparaissent dans les modélisations • Elles peuvent être résolues analytiquement (les solutions s'expriment sous la forme de fonctions) • Une équation différentielle d'ordre 2 peut se transformer en une équation différentielle d'ordre 1

13. Rappels de Mécanique • Notions de vitesse • Notions d'accélération • Principe fondamental de la dynamique • Loi de gravitation • Problème à 2 corps • Problème plus général (N corps, autres forces,…)

14. Rappels de Mécanique • Notions de vitesse: Vitesse moyenne entre P1 et P2 :

15. Rappels de Mécanique • Notions de vitesse: Vitesse instantanée en P ? On calcule la vitesse pour un temps petit t. Le point parcourt une distance l pendant ce temps t Sa vitesse est donc

16. Rappels de Mécanique • Notions de vitesse: Vitesse instantanée en P C’est la vitesse du point quand t est aussi petit que l’on veut: en m/s

17. Rappels de Mécanique • Notions de vitesse: Vecteur vitesse en P Notons :

18. Rappels de Mécanique • Notions d’accélération: Vecteur accélération en P L’accélération, c’est la dérivée de la vitesse par rapport au temps L’accélération, c’est la dérivée seconde de la position par rapport au temps en m / s²

19. Rappels de Mécanique • Hypothèses et Définition Un solide de dimension négligeable devant les distances mises en jeu peut être assimilé à un point. Dans un premier temps, en mécanique céleste, on peut assimiler les planètes et autres corps à des points, leur centre de masse. Un référentiel est dit galiléen si un objet isolé est soit en mouvement rectiligne uniforme (sa vitesse est constante) soit immobile (vitesse nulle)

20. P Rappels de Mécanique • Principe Fondamental de la Dynamique ‘PFD’ (Newton) Pour un point P de masse m dans un référentiel galiléen, on a la relation entre son accélération, sa masse et la somme des forces appliquées à P

21. Rappels de Mécanique • Loi d’attraction universelle (Newton 1687) Deux corps ponctuels A et B de masses respectives mA et mB s’attirent mutuellement avec une force proportionnelle à chacune des masses et inversement proportionnelle au carré de leur distance La force exercée sur B par A s’écrit :

22. Application du PFD Après changement de variables, l’équation du mouvement de B devient: Rappels de Mécanique • Problème à 2 corps Trajectoire des points A et B: Solution analytique => mouvement képlérien

23. Rappels de Mécanique • Problème à 2 corps Mouvement képlérien: les 2 corps décrivent une ellipse autour du barycentre du système

24. Rappels de Mécanique • Problème à N corps N corps : P1,…,PN-1 ,T de masses m1,…,mN-1,mT système d’équations différentielles dont on a pas de solution explicite

25. Rappels de Mécanique • Problème à N corps • Autres forces prises en compte • Les planètes ne sont plus considérées comme des points mais des sphères (aplaties) • Prise en compte de petits objets • Relativité • …

26. Rappels de Mécanique • Théories planétaires Théories analytiques: La position des astres est obtenue sous forme de combinaisons de fonctions algébriques et trigonométriques dépendantes du temps, des masses, des positions initiales par la méthode des perturbations (Lagrange) Intégration numérique: La position des astres est calculée numériquement pour des temps t, t+h, t+2h,… où h est le pas d’intégration.

27. Méthodes d'Intégration Numérique • Méthode d'Euler • Ordre d'une méthode • Méthode d'ordre 2 • Méthode de Runge-Kutta • Autres méthodes

28. Méthodes d'Intégration Numérique Par la suite, on considère l'équation différentielle et But: approcher la solution de l'équation différentielle par des méthodes numériques sur un intervalle de temps [t0,tN]

29. Méthodes d'Intégration Numérique Principe : construite une suite yi qui approxime la solution au temps t0+i.h

30. Méthodes d'Intégration Numérique • Méthode d'Euler:

31. Méthodes d'Intégration Numérique • Méthode d'Euler:

32. Méthodes d'Intégration Numérique • Méthode d'Euler:

33. Méthodes d'Intégration Numérique • Méthode d'Euler:

34. Méthodes d'Intégration Numérique • Méthode d'Euler:

35. Méthodes d'Intégration Numérique • Méthode d'Euler: L'idée, c'est qu'au temps initial t0 , on connaît la position y0 et la dérivée On peut, pour un temps un peu plus grand que t0 : t0+h avec h petit, approximer la position de y(t0+h) La fonction f est approximée par sa tangente en t0 entre t0 et t0+h

36. Méthodes d'Intégration Numérique • Méthode d'Euler:

37. Méthodes d'Intégration Numérique • Méthode d'Euler: Notons Nous pouvons procéder de la même manière pour calculer au temps t0+2h En se servant des valeurs de y1 et en approximant par

38. Méthodes d'Intégration Numérique • Méthode d'Euler:

39. Méthodes d'Intégration Numérique • Méthode d'Euler: Par récurrence, nous pouvons définir deux suites qui approximent la solution de l'équation différentielle. La première va définir les temps pour lesquels, on veut l'approximation: Avec t0 le temps initial Et h le pas (on peut prendre ) La deuxième fournit une approximation de la solution:

40. Méthodes d'Intégration Numérique • Méthode d'Euler:

41. Méthodes d'Intégration Numérique • Méthode d'Euler: • La convergence de la méthode peut être démontrée mathématiquement. • Plus on diminue le pas d'intégration h, meilleure est l'approximation. • La différence entre la solution réelle et la solution calculée tend vers 0 quand h tend vers 0. • En contrepartie, le temps de calcul devient plus long à mesure que l'on divise l'intervalle de temps. • C'est une méthode d'ordre 1

42. Méthodes d'Intégration Numérique • Ordre d'une méthode: Une méthode d'intégration numérique est d'ordre N si elle est exacte pour les polynômes de degré inférieur ou égal à N, et si elle fausse pour au moins un polynôme de degré N+1 Exemple: La méthode d'Euler est exacte si la fonction f est une fonction affine

43. k=1 k=2 k=3 Méthodes d'Intégration Numérique • Ordre d'une méthode: Pour une méthode d'ordre n, l'erreur peut être majorée par un polynôme (fonction du pas) d'ordre n+1 en h Par exemple, l'erreur réalisée par la méthode d'Euler, peut être majorée par un polynome du 2nd ordre: Plus l'ordre est grand, plus la méthode est précise (pour un pas h plus grand)

44. Méthodes d'Intégration Numérique • Méthode du 2ème ordre: Dans la méthode d'Euler, on approximait par la tangente. Ici, la fonction f est approximée par un arc de parabole. On s'appuie sur une propriété de la parabole

45. Méthodes d'Intégration Numérique • Méthode du 2ème ordre:

46. Méthodes d'Intégration Numérique • Méthode du 2ème ordre:

47. Méthodes d'Intégration Numérique • Méthode du 2ème ordre:

48. Méthodes d'Intégration Numérique • Méthode du 2ème ordre:

49. Méthodes d'Intégration Numérique • Méthode du 2ème ordre:

50. Méthodes d'Intégration Numérique • Méthode du 2ème ordre: