Math Essential

1. Math Essential Chapter 2 2nd week

2. Pada bab ini kalian akan belajar: • Bilangan prima • Mencari KPK (Kelipatan Persekutuan terKecil) dan FPB (Faktor Persekutuan terBesar) • Pangkat 2 (kuadrat dan akarnya) & pangkat 3 (kubik dan akarnya)

3. Faktor dan Kelipatan 18= 1 x 18= 2 x 9= 3 x 6= 6 x 3= 9 x 2= 18 x 1 Dalam contoh di atas, kita menyebut : • 1, 2, 3, 6, 9, dan 18 adalah faktor dari 18 • 18 adalah kelipatan dari setiap angka 1, 2, 3, 6, 9, dan 18. • Oleh karena itu, 18 dapat membagi tiap-tiap faktornya dengan sisa=0, atau dengan kata lain 18 habis dibagi faktor-faktornya.

4. Contoh: 1. Daftarkan faktor dari 30 ! 30 = 1x30 = 2x15 = 3x10 = 5x6 jadi, faktor dari 30 adalah 1,2,3,5,6,10,15,30 2. Daftarkan kelipatan dari 5 ! kelipatan 5 kita dapatkan dengan mengalikannya dengan 1,2,3,4,… 5x1=5 , 5x2=10, 5x3=15, 5x4=20,… maka, kelipatan dari 5 adalah 5,10,15,20,…

5. Bilangan Prima • Bilangan asli yang hanya memiliki 2 faktor, yaitu 1 dan bilangan itu sendiri. Contoh : 2 = 1 x 2 3 = 1 x 3 5 = 1 x 5

6. Composite Number • Bilangan asli yang memiliki lebih dari 2 faktor. Contoh : 4 = 1 x 4 ; 2 x 2 6 = 1 x 6 ; 2 x 3 8 = 1 x 8 ; 2 x 4 12 = 1 x 12 ; 2 x 6 ; 3 x 4

7. Test of Divisibility • Apakah 50 346 habis dibagi 2? Jawab : Ya  Setiap bilangan genap habis dibagi 2 • Apakah 17 325 habis dibagi 5? Jawab : Ya  Setiap bilangan dengan digit terakhirnya adalah 0 atau 5 habis dibagi 5

8. Apakah 1 776 habis dibagi 3? Jawab : Ya  perhatikan langkah berikut! 1 + 7 + 7+ 6 = 21 21 habis dibagi 3, maka 1 776 habis dibagi 3. • Apakah 738 habis dibagi 9? Jawab : Ya  perhatikan langkah berikut! 7 + 3 + 8 = 18 18 habis dibagi 9, maka 738 habis dibagi 9.

9. Apakah 6 721 dan 8 162 habis dibagi 11? Jawab : Ya  setiap bilangan habis dibagi 11 apabila selisih antara penjumlahan digit di urutan ganjil dan penjumlahan digit di urutan genap = 0 atau kelipatan dari 11 6 721  (6 + 2) – (7 +1) = 0 8 162  (8 +6) – (1+2) = 11 Maka 6 721 dan 8 162 habis dibagi 11 Atau kalian dapat menempatkan tanda minus dan plus pada sela bilangan: 6 7 2 1  6 – 7 + 2 – 1 = 0 8 1 6 2  8 – 1 + 6 – 2 = 11

10. Faktorisasi Prima • Setiap bilangan asli (kecuali 1) termasuk bilangan prima atau komposit. • Sebuah bilangan komposit dapat kita ekspresikan ke dalam bentuk faktor-faktor prima, yang kita sebut dengan faktorisasi prima.

11. 2 6 0 3 0 2 1 5 3 5 5 1 2 cara faktorisasi bilangan prima: Faktorisasi prima dari 60! Metode 1 / Pohon Faktor Metode 2 (Mulai dengan membagi angka dari faktor prima terkecil dan teruskan sampai didapatkan 1) 60 2 30 15 2 5 3 60 = 2 x 2 x 3 x 5 60 = 2 x 2 x 3 x 5

12. Menggunakan Index Notation • Untuk lebih singkat, 5 x 5 dapat kita tulis 52, kita baca pangkat 2 dari 5 atau 5 kuadrat. • 5 x 5 x 5 = 53, 5 pangkat 3 atau 5 kubik. • 5 x 5 x 5 x 5 = 54, 5 pangkat 4. • Dalam penulisan faktor prima dari suatu bilangan kita juga dapat menggunakan index notation ini untuk lebih mempersingkat. Contoh : 12 = 2 x 2 x 3 = 22 x 3 40 = 2 x 2 x 2 x 5 = 23 x 5 72 = 2 x 2 x 2 x 3 x 3 = 23 x 32

13. FPB ( Faktor Persekutuan terBesar) • Mary adalah seorang siswi pilihan yang sedang mengerjakan suatu tugas. Ia berencana untuk membuat persegi dari sebuah kertas berukuran 30 cm x 36 cm. Bantulah Mary untuk menentukan ukuran persegi terbesar yang dapat dibuat dari kertas tersebut!

14. Pertama, kita harus mencari suatu angka yang dapat membagi kedua ukuran tersebut ( 30 cm dan 36 cm) • Hal tersebut sama halnya jika kita mencari faktor dari 30 dan 36. Untuk memudahkan, kita urutkan dari yang terkecil hingga yang terbesar. Faktor 30 = 1 2 3 5 6 10 15 30 Faktor 36 = 1 2 3 4 6 9 12 18 36 • 1,2,3, dan 6 adalah faktor persekutuan dari 30 dan 36; dan yang terbesar kita sebut sebagai Faktor Persekutuan terBesar (FPB).

15. 6 cm • Kembali kepada penyelesaian soal, maka panjang sisi persegi terbesar yang mungkin adalah 6 cm. 6 cm 36 cm 30 cm

16. Cara Lain Mencari FPB Metode 2 Metode 1 Faktorisasi prima dari 30 dan 36 adalah Step 1 2 30 36 Step 2 3 15 18 30 = 2 x 3 x 5 36 = 22 x 32 x 1 Step 3 5 6 (Gunakan Index Notation) FPB = 2 x 3 = 6 (Pilih faktor yang sama dengan pangkat terkecil) 2 x 3 Jadi, FPB dari 30 dan 36 adalah 2 x 3= 6 Jadi, FPB dari 30 dan 36 adalah 2 x 3 = 6

17. KPK (Kelipatan Persekutuan terKecil) • Mary melaksanakan tugas keduanya. Pertama-tama ia membuat segi empat dengan ukuran 9 cm x 12 cm. Ia ingin mengcopy dan menyusun segi empat tersebut menjadi sebuah persegi (persegi terkecil yang mungkin). Berapakah panjang sisi dari persegi tersebut?

18. Kita harus mencari kelipatan dari 9 dan 12. Kelipatan 9  9 18 27 36 45 54 63 72 … Kelipatan 12 12 24 36 48 60 72 … • 2 persekutuan pertama dari 9 dan 12 adalah 36 dan 72. Faktor persekutuan yang terkecil (36) merupakan KPK dari 9 dan 12.

19. Kembali kepada penyelesaian soal, maka panjang sisi persegi terkecil yang mungkin adalah 36 cm. 9 cm 12 cm 36 cm 36 cm

20. Cara Lain Mencari KPK Metode 2 Metode 1 Faktorisasi prima dari 30 dan 36 adalah Step 1 2 30 36 Step 2 3 15 18 30 = 2 x 3 x 5 36 = 22 x 32 Step 3 5 6 (Gunakan Index Notation) KPK = 2 x 3 x 5 x 6 = 180 22 x 32 x 5 (masukkan semua faktor terbesar, walaupun tidak sama) Jadi, KPK dari 30 dan 36 adalah 22 x 32 x 5 = 180

21. Bagaimana jika tersedia 3 bilangan?????? Metode 1 Faktorisasi prima dari 18, 24, dan 36 adalah • Coba kita cari KPK dari 18, 24, dan 36 18 = 2 x 32 24 = 23 x 3 36 = 22 x 32 Pilih pangkat terbesar 23 32 Jadi, KPK dari 18, 24, dan 36 adalah 23 x 32 = 72

22. Metode 2 Step 1 2 18 24 36 Step 2 3 9 12 18 (4 dan 6 dapat dibagi 2) (3 diturunkan ke bawah) Step 3 2 3 4 6 (bagi 3 dengan 3) (2 diturunkan ke bawah) Step 4 2 3 2 3 (Stop karena karena 2 angka lainnya tidak dapa dibagi lagi kecuali dengan angka 1) Step 5 121 Jadi KPK-nya adalah 2 x 3 x 2 x 2 x 1 x 2 x 1 = 72

23. 36 cm2 Pangkat Persegi (kuadrat) dan Akar Kuadrat • Luas dari suatu persegi dengan panjang sisi 6 cm adalah 6 x 6 = 36 cm2 • Oleh karena itu, kita dapat menyebutkan bahwa 36 adalah kuadrat dari 6. Dengan singkat dapat kita tulis 62 = 36. Dan kita baca “ 6 pangkat 2 = 36 atau 6 kuadrat = 36.

24. Dengan demikian, untuk mencari sisi dari persegi dengan luas = 36 cm2, kita cari nilai positif dari x, di mana 36 = x x x atau x2. • Maka, kita sebut 6 adalah akar kuadrat dari 36. Kita tulis 2 x 2 = 22 = 4 dan = 2 3 x 3 = 32 = 9 dan = 3 4 x 4 = 42 = 16 dan = 4 5 x 5 = 52 = 25 dan = 5 6 x 6 = 62 = 36 dan = 6 4,9,16,25,36 adalah kuadrat dari whole number yang disebut perfect squares.

25. 216 cm3 Kubik dan akar kubik • Volum dari suatu kubus dengan sisi 6 cm adalah 6 x 6 x 6 = 216 cm3 • Oleh karena itu, kita dapat menyebutkan bahwa 216 adalah pangkat kubik dari 6. Dengan singkat dapat kita tulis 63 = 216. Dan kita baca “ 6 pangkat 3 = 216 atau 6 kubik = 216.

26. Dengan demikian, untuk mencari sisi dari persegi dengan volum = 216 cm2, kita cari nilai positif dari x, di mana 216 = x x x x x atau x3. • Maka, kita sebut 6 adalah akar kubik dari 36. Kita tulis 2 x 2 x 2 = 23 = 8 dan = 2 3 x 3 x 3 = 33 = 27 dan = 3 4 x 4 x 4 = 43 = 64 dan = 4 5 x 5 x 5 = 53 = 125 dan = 5 6 x 6 x 6 = 63 = 216 dan = 6 8, 27, 64, 125, dan 216 adalah kuadrat dari whole number yang disebut perfect kubik.

27. Perkiraan • Berapakah akar kuadrat dari 48?  angka ini tidak dapat ditulis dalam bentuk a2, karena bukanlah perfect squares. Hasil dari bukan berupa whole number, tetapi desimal.  48 = 4 x 4 x 3 Maka ( lebih dari atau kurang dari 7?)

28. Perkiraan • Berapakah akar kubik dari 65?  angka ini tidak dapat ditulis dalam bentuk a3, karena bukanlah perfect kubik. Hasil dari bukan berupa whole number, tetapi desimal.  48 = 4 x 4 x 3 Maka ( lebih dari atau kurang dari 4?)