Pendolo balistico

1. M= sacco pesante, m proiettile di fucile con velocita’ v, che vi si conficca e arresta. Sia M=5 Kg, m= 15 gr , H= 40 mm Calcolare la v del proiettile. Pendolo balistico Vi sono due forze esterne ,la gravita’ e la tensione, entrambe agiscono lungo L L’atto di moto iniziale e’ pero’ tangente al cerchio di raggio L , quindi il loro lavoro, anche impulsivo, e’ nullo. Le sole forze agenti,impulsivamente, sono Interne e frenano il proiettile nel tempo dT. La quantita’ di moto si conserva , l’energia no a causa dell’attrito sacco proiettile. (M+m)V = mv V = mv/(m+M) L M H v m Dopo l’istante dell’urto agiscono la sola gravita’ e la Tensione. Si conserva l’energia meccanica. Quando (M+m) raggiunge la max elongazione, la sua Velocita’ e’ nulla e si e’ sollevato di H . (M+m)V2/2 = (M+m) gH = (m+M) m2v2/(m+M)2/2 = [(m/(m+M)] mv2/2 H e’ quindi proporzionale all’energia cinetica del proiettile. v2=2[(m+M)/m]2 g H Notare che l’energia cinetica finale e’ m/(m+M) Ek iniziale. (dispositivi analoghi sono usati dai giostrai per misurare l’intensita’ dell’impulso di un pugno o di un calcio. In elettronica m e’ un impulso brevissimo di corrente I e M e’ un circuito RC con costante di tempo molto lunga, la tensione finale raggiunta Ai capi del condensatore e; proporzionale a alla carca I dt portata dall’impulso. TERMODINAMICA_1

2. Resistenza dell’aria? V = costante v Dimensionalmente : massa auto,densita’aria, Sezione frontale,velocita’, forma…….. F ~ ρ S V2 S Nel tempo T avanza di X = VT spazzando il volume SVT e spostando Una massa di aria M = ρ SVT = ρ SX. L’aria deve essere spinta di lato di un tratto <Y> ~ k S1/2 nel Tempo T=x/V La velocita’ <y>/T = k S1/2 V/x e l’energia cinetica Ek = ½ ρ SX k2 S V2 /X2 = ½ ρ S k2 S V2 /X Moltiplicando e dividendo per X Ek = ½ ρ S V2 Cx X Dove Cx = k2 S/X2 e’ un a quantita’ adimensionale che dipende dalla forma Ek e’ energia cinetica dissipata = lavoro della Fattrito per percorrere X = Lavoro fatto dal motore per mantenere la V costante Ek = Fa X e quindi Fa = ½ ρ S V2 Cx [ m l2 l2 /l3 t2] = [mlt-2] La potenza e’ lavoro nell’unita’ di tempo = Ek/T = F v = ½ ρ S V3 Cx TERMODINAMICA_1

3. y a x F θ2 dX x θ1 F a e’ una perturbazione che si propaga Lungo la corda. Sia Y= Y(x) la sua Forma. F e’ la tensione ai capi di dx. Il moto di dx e’ lungo Y sotto l’azione Della forza Fy = F ( sinθ2- sin θ1)~ F( tg θ2- tg θ1) tg θ2 = dY/dx (x=x+dx) e tg θ1= dY/dx (x=x) ( tg θ2- tg θ1) = d2Y/dx2 dx Fy = F d2Y/dx2 dx = “may” = ρ dx d2Y/dt2 d2Y/dx2 = ρ/F d2Y/dt2 Questa equazione ha soluzioni del tipo f = f (X)= f (wt – kx) e rappresenta Un’onda che si propaga . Infatti il valore f (0) per X = 0 si ottiene per tutte Le copie (x,t) che soddisfano la condizione wt-kx=0 cioe’ x = w/k t Dove V= w/k e’ la velocita’ di “propagazione” della “forma” f. Si noti che [w] = [t-1] e [k]=[x-1] quindi w rappresenta una frequenza e t una Lunghezza (d’onda o altro). Poiche’ d2f/dx2 = k2 d2f/dX2 e d2f/dt2 = W2 d2f/dX2 l’equazione e’ anche d2f/dx2 = (k/w)2 d2f/dt2 e V2 = ρ/F TERMODINAMICA_1

4. Su una corda tesa e inestensile: gli unici parametri fisici sembrano essere la densita’ lineare λdella corda e la sua tensione T (la lunghezza e’ ininfluente e supposta infinita, la gravita trascurabile (cioe’ la tensione e’ >> λg) [λ] = m/l [T] = ml/t2 [v2] = T/λ Tensioni elevate o λ piccole = v alta = frequenza elevata o lungh. d’onda corta. Masse elevata o T bassa = frequenze basse o lungh. d’onda lunga In un fluido incomprimibile (es. acqua) : l’ampiezza A , ρ, la lunghezza d’onda L, g ………… l’ampiezza A potrebbe essere importante, ma probabilmente e’ A/h (profondita’) che e’ importante e se h >>A l’ampiezza dovrebbe essere irrilevante. A parita’ di ρ la velocita’ sara’ v2 ~ Lg cioe’ w/k = L1/2/g1/2 l’onda lunga e’ piu’ veloce. L’onda si disperde perche’ le alte frequenze corrono meno ,rimangono indietro……. Se pero’ A diventasse importante (cioe’ A/h non infinitesimo) si potrebbe ottenere V2 = Ag E questo e’ interessante perche’ non ci sarebbe dipendenza da L (nessuna dispersione) e l’onda potrebbe propagarsi con velocita’ elevata dipendente dalla sua ampiezza. (solitoni,onde solitarie e Tsunami) TERMODINAMICA_1

5. X L dx 1) Si considera un insiem di N molecole “indistinguibili” 1) N molto grande e le molecole prive di volume 2) No forze esterne (gravita’ trascurabile) ne’ interne tra le molecole 3) Urti tra molecole e con pareti perfettamente elastici 4)Posizioni e velocita’ completamente casuali (ogni molecola ha la stessa prob. di trovarsi nell’intorno dP di qualsiasi punto P(xyz) o nell’intorno dV della velocita’ V (vx,vy,vz). V e’ un cubo di lato L , fermo o in moto rettilineo e uniforme . Il sistema di rif. e’ solidale a L. Se il numero di molecole per unita’ di L e’ N/L , quello nella regione dx e’ Dn = dx N/L= N dx/L .La probabilità’ di una molecola di trovarsi in dx e’ dx/L. Se P e’ la prob. di ogni cittadino di trovarsi alle 12 al Canton del Gallo e N e’ il numero totale di cittadini che possono andare al CdG, il loro numero alle 12 al CdG e’ n = NP. La probabilita’ che un cittadino qualsiasi sia al CdG alle 12 e’ dunque n/N . Essa e’ il rapporto tra il numero degli eventi favorevoli e tutti quelli possibili solo se tutti gli eventi sono equiprobabili [Cardano 1560- medico,matematico e giocaore d’azzardo]. TERMODINAMICA_1

6. X L n Dx Vix e’ positiva se la molecola i va verso l’alto, negativa se va verso il basso. Poiche’ i due casi sono equiprobabili la velocita’ media lungo X <Vx> = S Vix/N = 0 (idem <Vy> e <Vz>). Ma la media <Vx2> di Vix2 e’ diversa da zero e uguale a <Vy2> e <Vz2>. La media del quadrato delle velocita’ <v2>= SVi2 / N = <Vx2>+<Vy2>+<Vz2> = 3<Vx2> Una molecola che urti elasticamente la parete con Vix cede la qdm 2mVix. Se DT e’ il tempo tra due urti molecolari successivi, una molecola con Vix urtera’ la parete con velocita’ Vix se la sua distanza dalla parete e’ minore di Dx = Vix DT. La probabilita’ di una molecola di trovarsi in Dx e’ Dx/L = Vix DT/L . Poiche’ Vix puo’ essere + o – la probabilita’ che si muova verso la parete e’ la meta’ VixDT/(2L). Questa e’ la probabilita’ che una molecola con velocita’ Vix urti la parte con Vix nel tempo DT. Nell’urto elastico la molecola cede l’impulso I(ix) = 2m Vix. Quindi l’impulso medio (probabile) ceduto e’ il suo valore I(ix) volte la probabilita’ dell’urto VixDT/2L . Che da’ <I(ix)> =m Vix2DT/L L’impulso totale si ottiene sommando su tutte le i , la Forza dividendo per DT F = S Vix2 m/L e la pressione P = F/L2 = S Vix2 m / L3 Poiche’ S Vix2 = <Vx2> N = <V2> N/3 PV = Nm <v2>/3 TERMODINAMICA_1

7. L’energia cinetica media di una molecola e’ <Ek> = ½ m<v2> Quindi PV = 2/3 N <Ek> Sperimentalmente l’equazione di stato di n moli di gas perfetto monoatomico In equilibrio termodinamico PV= nRT = N/Na RT = NRT/Na Una mole di gas contiene Na molecole quindi n = N/Na Da PV = 2/3 N <Ek> Si ha <Ek> = 3/2 kT con K = R/Na K = 1,38 x 10 -23 J/K Na =6 x 10 26 /kg mole oppure 6x1023 /gmole La massa molecolare e’ la massa in unita’ atomiche (n nucleoni) Idrogeno = 1u Ossigeno = 16 u 1 u = 1,67 x 10-27 kg = massa prot. Una quantita’ in grammi pari alla massa molecolare contiene 6x 10 23 molecole Una mole di gas perfetto a 1 Atm e 273 K (0 gradi cent.) occupa 22,414 litri TERMODINAMICA_1

8. L’equazione PV= nRT oppure PV = 2/3 N <Ek> dove <Ek> = 3/2 kT e’ L’energia cinetica media di ogni molecola e’ “ l’equazione di stato dei gas perfetti monoatomici” Poiche’ una molecola monoatomica ha tre gradi di liberta’ ½ kT e’ <Ek>/grado di liberta’ . Una molecola biatomica ha 5 gradi di liberta’ ,quindi <Ek> = 5/2 kT etc….. Queste relazioni valgono in condizioni di equilibrio : all’equilibrio termodinamico ogni sottovolume contenente un numero sufficientemente elevato di molecole da consentire la definizione di una pressione e di una temperatura ha la stessa pressione e temperatura e le sue molecole possiedono la stessa <Ek>. Lo stato termodinamico di un gas e’ definito quando siano definiti i valori di (P,V,T) . Un gas in equilibrio termodinamico possiede una energia interna U : U e’ funzione dello stato termodinamico., quindi di P,V,T. U varia quando il gas cambia il proprio stato interagendo con l’ambiente. Ogni interazione presuppone infatti uno scambio di energia: il gas puo’ assorbire o cedere energia . Questo avviene scambiando calore o lavoro con l’ambiente. Lavoro = movimento di parti mobili sotto l’azione del sistema (gas o altro). Si consideri un gas chiuso all’interno di un cilindro dotato di un pistone mobile. L’energia interna U aumenta se il gas assorbe calore attraverso le pareti del cilindro e diminuisce se il gas compie lavoro sull’esterno (p.es. muovendo il pistone e aumentando il proprio volume. Il gas compie un lavoro positivo). Diminuisce se cede calore e aumenta se l’esterno compie lavoro sul gas (p.es. comprimendolo riducendone il volume con uno spostamento del pistone.Il gas compie un lavoro negativo). TERMODINAMICA_1

9. W W Q Q p p W W Q Q p p W lavoro Q calore pressione p P e’ SEMPRE la pressione del gas sul pistone : Se viene fatto lavoro sull’esterno Wgas > 0 ma il contributo ΔU alla variazione dell’energia interna U e’ negativo. Se l’esterno fa lavoro sul gas, W gas < 0 , ma il contributo ΔU a U e’ positivo. Il calore Q da’ un contributo positivo quando e’ fornito al gas, negativo quando e’ ceduto. • L’espressione Δ U = Q - W , o piu’propriamente dU = δ Q – δ W • e’ il “primo principio della termodinamica “ . • E’ basato su risultati sperimentali e contiene due concetti : • Il calore e’ una forma di energia (principio di equivalenza calore-lavoro) • L’energia di un sistema isolato si conserva sempre. TERMODINAMICA_1

10. dW = F ds = P dV . Il W da A a B lungo i vari cammini e’ l’area compresa tra il cammino e l’asse V. Essa dipende dal cammino. La variazione finita di U e’ Δ U = U(B) – U(A) indipendente dal percorso. dU e’ il differenziale esatto di una U(P,V,T). Poiche’ W dipende dal cammino, il primo princ. dice che anche Q dipende dal percorso. dW e dQ non sono differenziali esatti di una funzione di P,V,T p A B V Le pareti non conducono il calore, il setto S si rompe e il gas occupa tutto il volume: esso non ha scambiato ne’ calore, ne’ lavoro con l’ambiente. Per il primo principio Δ U = 0 – 0 = 0 P e V sono cambiate , l’unica variabile che sperimentalmente non cambia e’ T. Quindi U di un gas perfetto dipende solo da T. In effetti l’energia cinetica media delle molecole non e’ cambiata , esse si muovono solo in un ambiente piu’ grande. Se invece S si fosse messo in movimento, le molecole urtandolo sarebbero rimbalzate con velocita’ minore e diminuendo la propria Ek ( e T). P,V,T S vuoto P’,V’,T’ TERMODINAMICA_1

11. E‘ possibile aumentare di ΔT la temperatura di una massa m gas fornendogli calore. Si considerano due casi : a volume costante e a pressione costante. Il calore necessario a volume costante e ‘ Q = m Cv Δ T m = massa del gas La pressione del gas aumenta. P1 V = nRT1 P2V= nRT2 ΔU = Q – 0 = mCv (T2-T1) La quantita’ di calore necessaria per uno stesso aumento Δ T a P = cost sia Q’ = m Cp Δ T Per aumentare la temperatura a P = cost bisogna aumentare il volume , il gas deve compiere lavoro dW= PdV. Δ U = Q’ – W W = P Δ V = nR Δ T (P=cost) Δ U = (mCp – nR) Δ T = m Cv Δ T Cp = Cv + R > Cv Cp e Cv = calori specifici a volume e pressione costante . Per un gas perfetto sono delle costanti, indipendenti dallo stato del sistema. Una trasformazione (ideale) puo’ avvenire in modo quasi statico : in ogni istante il sistema e’ in equilibrio termodinamico interno e con l’esterno (l’universo) e quindi possiede valori P,V,T definiti. La trasformazione puo’ essere descritta da curve continue in diagrammi (P,V), (T,V), (P,T) o (P,V,T). Una trasformazione quasi statica e’ reversibile se un cambio infinitesimo dei parametri fa percorrere al sistema lo stesso cammino in verso opposto. Una trasformazione reversibile e’ quasi statica , il reciproco non e’ necessariamente vero. TERMODINAMICA_1

12. TERMODINAMICA_1

13. oppure Le trasformazioni piu’ comuni nei sistemi fisici sono: isoterme , PV= cost T = cost dU = dQ – dW = 0 dQ= dW= PdV adiabatiche, dQ= 0 dU = 0 – dW dU + dW = dU + PdV = 0 L’equazione di una adiabatica quasi statica/reversibile PVγ= costγ = Cp/Cv Trasformazione adiabatica: dU + P dV =0 dU puo’ essere rappresentata come dU = Cv dT e P = RT/V R= Cp – Cv Cv dT + (Cp-Cv) T dV/V = 0 dT/T = - (Cp-Cv)/Cv x dV/ V ln T = - (γ -1) ln V + cost. TV (γ -1) = cost poiche’ T=PV/R PV γ = cost x R = Cost TERMODINAMICA_1

14. = - TERMODINAMICA_1

15. Velocita’ del suono in aria : dimensionalmente m,P,V,T massa/ Vol. = ρ densita’ La densita’ dipende da T , quindi per data T, restano P e ρ , quindi oppure Bisogna tener conto di dP e dρ perche’ il mezzo e’ un gas che e’ comprimibile. P = 10 5 N/m2ρ = 1.29 g/cm3 = 1,29 Kg/m3 Se il processo e’ isotermo PV = cost P/ρ =cost = 105 / 1.29 V= 278 m/sec d (Pρ-1) = 0 = dP ρ-1 – P ρ-2 d ρ da cui dP/d ρ = P/ ρ Se il processo e’ adiabatico PVγ = cost e dP/dρ = γ P/ρ La molecola d’aria e’ biatomica Cv= 5/2 R e Cp =7/2 R γ= Cp/Cv =1.4 V = 278 x 1,41/2 = 329 m/sec TERMODINAMICA_1

16. V dV V’ V’’ A U Dx V2 V1 Il volume V ha sezione A e lunghezza Dx .Viene compresso nel tempo dt dal pistone U con velocita’ u che ne riduce il volume di dV. Il Volume V’ si riespande comprimendo V2 in V’’ etc…Questo provoca il movimento dell’onda di pressione lungo X con velocita’ v = Dx/dt. Dopo il movimento il pistone si ferma : nel tempo dt ha ceduto un certo impulso I alle molecole del gas in V . Mentre il pistone percorre u dt il fronte di pressione ha percorso Dx e la velocita/media molecolare che era 0 ha acquistato una componente non nulla lungo x a causa dell’impulso esercitato dal pistone . Questa componente viene fulmineamente ceduta alle molecole di V2 etc…(urto elastico) La massa compressa dal pistone e’ Δm = ρ A dx =ρ A vdt Se il pistone si e’ mosso con velocita’ u, le molecole hanno acquistato la QdM Q = Δm u = ρ A v u dt = Impulso = Fdt = Δ P A dt da cui Δ P = ρ v u d ρ/ ρ = dV/V ρ = d ρ / (dV/ V) dV = A u dt V = A v dt dV/ V = u / v e dP = v2 d ρ TERMODINAMICA_1

17. C D Qh B A V2 V1 Come ottenere lavoro dal calore? In una espansione isoterma tutto il calore fornito e’ trasformato in lavoro dW= PdV , ma poi bisogna riportare il sistema alle condizioni iniziali , possibilmente spendendo meno energia di quella ottenuta nell’espansione. P Un motore a scoppio : CICLO DI OTTO AB e CD sono adiabatiche , BC e DA isocore In AB la miscela viene compressa e T passa da TA a TB (il lavoro fatto sul gas e’ l’area sotto AB). Nella fase di esplosione V rimane essenzialmente costante ma il calore della combustione provoca un aumento di T e P.Nella successiva espansione CD il gas compie lavoro e la sua T e P scendono. Nella fase DA il gas e’ sostituito con gas miscela fredda , equivale ad un raffreddamento a V costante. Qc Le linee punteggiate sono per indicare trasformazioni che possono essere non quasi statiche e reversibili e quindi non rappresentabili in un diagramma PV In BC e DA il lavoro e’ nullo (V=cost) Qh (> 0) = dU = nCv (TC – TB) calore assorbito Qc(<0) = nCv (TD-TA) Alla fine del ciclo in A ,stato finale= stato iniziale dU = 0 = (Qh –Qc) – W Il rendimento e’ il rapporto tra l’energia assorbita e il lavoro prodotto η = W/Qh = (Qh-Qc)/Qh = 1 – Qc/Qh = 1 – (TD-TA)/(TC-TB) TERMODINAMICA_1

18. Si e’ fatto uso solo del primo principio, se le trasformazioni fossero quasi statiche si potrebbero usare le equazione delle trasformazioni adiabatiche e ottenere un risultato piu’ preciso . Adiabatiche TV (γ-1) =cost TA V1 (γ-1) = TB V2(γ-1) e anche TD V1 (γ-1) = TCV2(γ-1) sottraendo si ha (TD-TA)/ (TC-TB) = (V2/V1) (γ-1) = TA/TB = TD/TC η = 1-TA/TB = 1- TD/TC La macchina scambia caloredurante le isocore a varie temperature delle quali TA e’ la piu’bassa e TC la piu’ alta. Lavoro lungo una trasf. Adiabatica reversibile da T1 a T2 W = nCv (T2- T1) TERMODINAMICA_1

19. C Qc + Qc D W B - Qf A Qf CICLO DI CARNOT : si puo’ fare meglio usando due temperature: Th e Tc Il ciclo consiste di due isoterme (AB e CD) alle temp, Tc e Th con Tc< Th. e due adiabatiche (BC e DA). AB) dU = 0 = -Qf - Wab Wab = - Qf BC) dU = 0 – Wbc = U(Tc) – U ( Tf) CD) dU = 0 = Qc – Wcd Wcd = Qc DA) dU = 0 – Wda = U (Tf) - T(c) W = Qc – Qf η = (Qc-Qf)/Qc = 1 – Qf/Qc tende a 1 se Qf tende a zero. Si supponga il ciclo reversibile : il lavoro fatto dal gas nelle isoterme si ha integrando PdV dove P puo’ essere ricavato dall funzione di stato P = nRT/V PdV=nRT dV/V e W = nRT Ln (Vf / Vi) Qc = nRTc (ln Vd/Vc) e Qf = nRTf ln (Vb / Va) . Nelle connessioni adiabatiche Usando la TV(γ-1) = cost si ha (Vb / Va)(γ-1) = (Vc / Vd) (γ-1) Vb / Va=Vc / Vd E quindi Qf/Qc = Tf /Tc e η = 1- Tf /Tc dove Tf e Tc sono le temperature estreme. Il rendimento e’ superiore al Ciclo di Otto . Si ouo’ dimostrare che il ciclo di Carnot tra Th e Tc e’ quello che ha il rendimento massimo tra tutti i cicli possibili tra le due temperature. TERMODINAMICA_1

20. Il ciclo di Carnot, come tutti i cicli puo’ essere percorso in verso opposto:spendendo il lavoro W e’ pssibile trasferire Qf dalla sorgente fredda cedendo Qc = Qf + W alla sorgente calda (frigorifero) . C Qc • AD) dU= 0 – Wad Wad = - nCv (Tc-Tf) • dU=0 = -Qc – Wdc Wdc= -Qc • CB) dU = 0 – Wcb Wcb = nCv (Tf-Tc) • BA) dU = 0 = Qf – Wba Wba = Qf • Winverso= (Qf – Qc) = - W diretto -Qc D W B Qf A Si definisce una efficienza k = Qf / W = Qf/(Qf-Qc) > 1 K tende a infinito quando Qf tende a Qc (e W tende a 0) Qf • Queste due situazioni illustrano i risultati sperimentali alla base del secondo principio • della termodinamica, del quali si danno due enunciati : • Kelvin : non e’ possibile ottenere lavoro continuativo trasformando tutto il calore • prelevato da un solo serbatoio alla temperatura T . Una parte dell’energia prelevata • deve essere ceduta a un serbatoio a temperatura piu’ bassa. • B) Clausius : non e’ possibile il trasferimento continuo di energia da un serbatoio a • temperatura piu’ bassa ad uno a temperatura piu’ alta senza spendere lavoro. TERMODINAMICA_1

21. Enunciato di Kelvin Qf ≠ 0 Enunciato di Clausius Winverso ≠ 0 Una macchina viola Clausius e trasferisce con Winverso nullo dal serbatoio freddo a quello caldo il Qf ceduto al serbatoiio freddo da una altra macchina . La macchina Complessiva viola Kelvin perche’ Produce lavoro con Qf = 0 una macchina viola Kelvin e fa funzionare all’inverso una seconda macchina. La macchina complessiva trasferisce calore da freddo A caldo senza lavoro esterno inverso e viola Clausius TERMODINAMICA_1

22. Q’c =Qc W W’ Q’f <Qf Q’c Qc W’ Q’f Qf Una macchina qualsiasi m’ ha un rendimento η’ maggiore di η di m Carnot tra le stesse temperature. η’ = 1- Q’f/Q’c > 1 – Qf/Qc = η Q’f/Q’c < Qf/Qc m e’ reversibile e lavorando all’inverso Qf – Qc – W =0 trasferisce Qc a Tc con il lavoro W = Qf – Qc. m’ puo’ prelevare Q’c = Qc cedendo al serbatoio a Tf il calore Q’f < Qf e Compiendo il lavoro Q’c – Q’f –W’ = 0 W’ = Q’c – Q’f Poiche’ Q’c = Qc e Q’f< Qf W’ > ! W ! Complessivamente la macchina non scambia calore con Tc, sottrae a Tf Qf- Q’f e compie il lavoro W’ – W violando Clausius. Nessuna macchina tra Tc e Tf ha un rendimento superiore alla macchina reversibile di Carnot. Una macchina reversibile qualsiasi ha η’ > η Carnot Se η’ > η Q’f < Qf e la macchina sottrae Qf-Q’f senza lavoro, quindi la macchina reversibile η’ non puo’ avere rendimento superiore alla macchina a gas perfetto di Carnot TERMODINAMICA_1

23. Si possono riformulare i due enunciati del secondo principio (che fanno riferimento a macchine e trasformazioni particolari) in modo piu’ generale in termini di una grandezza “astratta” : l’entropia S. se δ Q e’ il calore scambiato dal sistema REVERSIBILMENTE alla temperatura T e si definisce dS =δ Q/T allora la variazione di S di una qualsiasi macchina che compia un qualunque processo ciclico e’ Si consideri un ciclo di Carnot dQ = 0 lungo le adiabatiche ,lungo l’isoterma a Tc ΔSc = Qc/Tc lungo quella a Tf ΔSf = - Qf/Tf ma Qf/Qc = Tf/Tc Quindi ΔS = ΔSc + ΔSf = Qc/Tc - Qf/Tf = 0 cio’ implica che S e’ una funzione di stato del sistema : la variazione di S del sistema per un QUALUNQUE processo che porti un sistema da A a B e’ ΔS = S(B) – S(A) ed e’ ovviamente nulla per qualsiasi processo ciclico. La variazione S(B) – S(A) dell’entropia del sistema puo’ essere calcolata lungo QUALUNQUE processo reversibile che porti da A a B. TERMODINAMICA_1

24. S e’ per definizione una grandezzza additiva e puo’ essere calcolata per Qualunque scambio di calore. In un ciclo il calore viene assorbito e ceduto ad una serie di serbatoi a varie temperature Ti. Un serbatoio e’ un oggetto con una capacita’ termica abbastanza elevata da rendere la sua variazione du temperatura dTi trascurabile quando assorbe o cede la quantita’ di calore Qi. Nel caso di un sistema termodinamico che passi da A a B compiendo il lavoro complessivo W e scambiando le quantita’ di calore Qi , la variazione totale di S e’ la somma della variazione della macchina con quella della variazione dei serbatoi Ti Nel caso di un ciclo Nel caso di un ciclo di Carnot la ΔS del serbatoio Tc e’ ΔSc= -dQc/Tc (Tc cedeQc) e ΔSf =dQf/Tf (Tf assorbe Qf ) e Qc/Qf= Tc/Tf . ΔS serbatoi = 0 TERMODINAMICA_1

25. Poiche’ qualsiasi ciclo reversibile puo’essere approssimato dall’esecuzione di n cicli di Carnot La variazione totale di entropia per un qualsiasi ciclo reversibile e’ nulla . Per una espansione isoterma ΔS puo’ essere calcolato lungo una isoterma e reversibile . Il sistema assorbe Q a T da un serbatoio a T e compie W=Q. ΔSsist= Q/T >0 ΔSserb = - Q/T ΔStot = 0 L’opposto e’ vero in una compressione, il sistema cede –Q e il serbatoio assorbe Q. In una adiabatica dQ = 0 ΔStot = 0 TERMODINAMICA_1

26. Qc Tc K T’c M W Si consideri un processo irreversibile : es espansione libera . E’ un processo isotermo senza scambi di calore con l’embiente ΔS ambiente =0 Per calcolare la ΔS sist si puo’ usare una isot reversibile dallo stato iniziale PoVo a PfVf . Perche’ questo avvenga il gas compie il lavoro PdV W =∫PdV = RTdQ/ dV/V poiche’ U non e’ cambiata dQ-dW = 0 dW=dQ dS= dQ/T=dW/T=RdV/V ΔS = R ln Vf/Vo >0 ΔStot > 0 Altra causa di irreversibilita’ puo’ essere il passaggio di calore Qc da un serbatoio a Tc a uno a T’c < Tc attraverso un sistema K che non cambia stato. La macchina M compie una isot. Rev : ΔStot = 0 ΔSk = 0 (K non cambia stato) ΔStc = -Qc/Tc ΔSTt’c = Qc/T’c ΔStot = Qc/T’c – Qc/Tc > 0 TERMODINAMICA_1

27. Tc Tc M M To To In qualsiasi processo termodinamico la variazione totale di entropia di siatema piu’ ambiente e’ sempre maggiore o uguale a zero. Essa e’ uguale a zero solo se tutte le trasformazioni sono reversibili, qualunque causa di irreversibilita’ si traduce in un aumento della S totale. La Macchina M lavora tra un serbatoio a Tc in un ambiente, cui cede calore, A To<Tc. Il suo rendimento W/Q=1-To/Tc W = Q(1-To/Tc) La frazione (1-To/Tc) di Q viene utilizzata per W La frazione To/Tc e’ inutilizzabile e ceduta all’ambiente a To. Si osservi che E inut.= To Q/Tc Si introduca un serbatoio intermedio a T’c<Tc. Il passaggio di Qc da Tc a T’c e’ ovviamente irreversibile Il lavoro ottenuto e’ ora W’ = Q(1-To/T’c) < W La frazione non utilizzabile e’ ora To/T’c > To/Tc E’ inut = Q To/T’c. T’c E’-E = To (Q/T’c – Q/Tc) >0 E inut. e’ aumentata!!! E’-E = To ΔS irr. TERMODINAMICA_1

28. In qualunque processo cicclico reversibile . (quindi con il max rendimento possibile) una frazione dell’energia prelevata non e’ trasformabile in lavoro. Questa parte e’ E = To ( Q/Tc) Si noti che (- Q/Tc) e’ la variazione di entropia del serbatoio a T superiore e Q/Tc e’ la variazione di S della macchina provocata dall’assorbimento di Q !!! La frazione inutilizzabile aumenta in presenza di passaggi irreversibili l’aumento e’ ΔE = To ΔS irr Non c’e’ nessuna violazione del primo principio : l’energia totale rimane costante, Solo che una parte non e’ utilizzabile per produrre lavoro Questa parte e’ tanto piu’ piccola quanto minore e’ la variazione di S nel processo Di assorbimento del calore e quanto minore e’ la temperatura To dell’ambiente. TERMODINAMICA_1

29. Primo principio: esiste una funzione U ,delle variabile di stato del sistema, Detta energia interna le cui variazioni hanno la forma dU =δQ – δW. La somma della variazioni di U e di quelle dell’energia dell’ambiente = 0 Secondo principio : esiste una funzione S delle variabili di stato del sistema Le cui variazioni , definite come dS = dQ/T, sommate a quelle indotte nell’ambiente non puo’ mai essere minore di zero. TERMODINAMICA_1