Giansalvo EXIN Cirrincione

1. unité #4 Analyse numérique matricielle Giansalvo EXIN Cirrincione

2. Exemple : Matrice symétrique définie positive • Hermitienne : AH = A • Symétrique : AT = A • Définie positive:

3. Matrice symétrique définie positive • Hermitienne : AH = A • Symétrique : AT = A • Définie positive: Exemple :

4. Matrice symétrique définie positive • Hermitienne : AH = A • Symétrique : AT = A • Définie positive:

5. Matrice symétrique définie positive • Hermitienne : AH = A • Symétrique : AT = A • Définie positive:

6. Théorème : • Si • A est une matrice n x n strictement définie positive • Alors : • A est non singulière • aii > 0 pour i = 1, … , n Propriétés des matrices définies positives

7. Théorème : • Si • A est une matrice n x n strictement définie positive • Alors : • A est non singulière • aii > 0 pour i = 1, … , n Propriétés des matrices définies positives

8. 0 k k = 0 Propriétés des matrices définies positives Définition : une sous matrice principale d’une matrice A est une matrice carrée de la forme A(1:i,1:i) quelque soit i Les n sous-matrices ksont définies positives et donc inversibles. Théorème de Sylvester : Une matrice symétrique est définie positive ssi chacune de ses sous matrices principales à un déterminant positif

9. Propriétés des matrices définies positives Définition : une sous matrice principale d’une matrice A est une matrice carrée de la forme A(1:i,1:i) quelque soit i Théorème de Sylvester : Une matrice symétrique est définie positive ssi chacune de ses sous matrices principales à un déterminant positif

10. Théorème : • Si • A est une matrice n x n symétrique strictement définie positive • Alors : Propriétés des matrices définies positives

11. Théorème : • Si • A est une matrice n x n symétrique strictement définie positive • Alors : Propriétés des matrices définies positives

12. Théorème : • Si • A est une matrice n x n hermitienne strictement définie positive • Alors : • ses valeurs propres sont réelles et positives et ses vecteurs • propres sont orthogonales Propriétés des matrices définies positives

13. Élimination symétrique de Gauss

14. Élimination symétrique de Gauss

15. Factorisation de Cholesky Si A est une matrice hermitienne définie positive, il existe une unique factorisation de Cholesky.

16. Factorisation de Cholesky

17. The factors R can never grow large. In the 2-norm, e.g., Stabilité de la factorisation de Cholesky The stability is achieved without the need for any pivoting. Intuitively, it is related to the fact that most of the weight of a hermitian positive definite matrix is on the diagonal.

18. première colonne de B i-ème colonne de B Factorisation de Cholesky (à partir de Doolittle)

19. Solution de A x = b The solution of hermitian positive definite systems A x = b via Cholesky factorization is backward stable :

20. v Pv Pv-v direction de projection range(P) Projecteurs (projectors) Un projecteur est une matrice carrée P telle que P² = P(idempotent) null(P)

21. v Pv range(P) Projecteurs (projectors) Un projecteur est une matrice carrée P telle que P² = P(idempotent) range(I-P) null(P) Pv-v null(I-P)

22. v Pv range(P) Projecteurs (projectors) Un projecteur est une matrice carrée P telle que P² = P(idempotent) range(I-P) null(P) Pv-v null(I-P)

23. v Pv range(P) Projecteurs (projectors) Un projecteur est une matrice carrée P telle que P² = P(idempotent) range(I-P) null(P) Pv-v null(I-P) P is the projector onto S1alongS2

24. v Pv-v Pv range(P) Projecteurs orthogonaux S1et S2sont orthogonaux Un projecteur P est orthogonal ssi P = PH

25. q1 … qn 0 … PQ = Projecteurs orthogonaux S1et S2sont orthogonaux Un projecteur P est orthogonal ssi P = PH

26. n m Projecteurs orthogonaux

27. n m Projecteurs orthogonaux

28. Projection avec une base arbitraire

29. a1 a2 … an q1 q2 … qn 0 r22 …  =     0 0 … rnn r11 r12 … r1n reduced QR factorization orthonormalisation de Gram-Schmidt Factorisation QR Espaces colonnes

30. … qm 0 r22 …      0 0 … rnn a1 a2 … an 0 0 0 0 … … 0 0 r11 r12 … r1n full QR factorization orthonormalisation de Householder Factorisation QR q1 q2 … qn = reduced QR factorization orthonormalisation de Gram-Schmidt

31. Solution de A x = b par factorisation QR Il est si facile de résoudre un système « triangulaire » ! Q « facilement »  inversible et R triangulaire 1. Compute a QR factorization A = Q R 2. Compute y = QH b 3. Solve R x = y for x

32. Alston Householder Othogonal triangularization (Householder)

33. Othogonal triangularization (Householder) The matrix Qk is chosen to introduce zeros below the diagonal in the kth column while preserving all the zeros previously introduced. It operates on rows 1, … , m.

34. k-ème ligne x k-ème colonne Othogonal triangularization (Householder)

35. F x Othogonal triangularization (Householder)

36. x v hyperplane H Othogonal triangularization (Householder)

37. x H Othogonal triangularization (Householder) v

38. x cancellation error H + H - Othogonal triangularization (Householder) real case

39. Factorisation QR de Householder

40. Factorisation QR de Householder four times the volume

41. Factorisation QR de Householder

42. Stabilité de la factorisation de Householder twenty digits of accuracy have been lost ! accurate to a full fifteen digits ! The errors in Q2and R2 are forward errors. In general, a large forward error can be the result of an ill-conditioned problem or an unstable algorithm (here the former). As a rule, the sequence of column spaces of a random triangular matrix are exceedingly ill-conditioned as a function of the entries of the matrix. The error in Q2 R2 is the backward error or residual.

43. Stabilité de la factorisation de Householder La factorisation QR de Householder est backward stable

44. BS BS BS BS Stabilité de la solution QR de A x = b 1. Compute a QR factorization A = Q R 2. Compute y = QH b 3. Solve R x = y for x

45. BS Stabilité de la solution QR de A x = b

46. accuracy BS Stabilité de la solution QR de A x = b

47. FINE