Bir Polinomun Kökleri:

1. Bir Polinomun Kökleri: Bir polinomun kökleri polinomun yatay ekseni kestiği (fonksiyonun sıfır değerini aldığı) yerdeki bağımsız değişkenin değeridir. 2. dereceden bir polinomun kökleri için formül aşağıda verilmiştir. 3. dereceden bir polinomun kökleri için formül aşağıda verilmiştir. Birinci kök İkinci kök Üçüncü kök

2. Bir Polinomun Kökleri: >>p=[1 0 4 16 0 -20]; roots(p) Tüm katsayılar sıfır olanlarla birlikte mutlaka belirtilmelidir. Aksi halde polinomun derecesi azaltılmış olur. Matlab programı n dereceli bir polinomun köklerini hesaplamak için kullanılabilir. Örnek: Verilen polinomun köklerini bulunuz. ans = -1.0604 + 1.0863i -1.0604 - 1.0863i 0.5207 >>p=[5 8 6 -6]; roots(p) Örnek: Verilen polinomun köklerini bulunuz. ans = 1.0043 + 2.7517i 1.0043 - 2.7517i -1.4940 + 0.3852i -1.4940 - 0.3852i 0.9793

3. Doğrusal Olmayan Denklemlerin Çözümü : f(x) Teğet çizgi Bu noktadaki eğim f'(xi) f(xi) f(xi)-0 0 Xi+1 xi x (Başlangıç değeri) NEWTON-RAPHSON İTERASYON YÖNTEMİ Newton-Raphson yöntemi veya Newton yöntemi denklemlerin sayısal çözümleri için güçlü bir tekniktir. Diferansiyel hesaba çok benzer olarak basit doğrusal yaklaşımın fikrini temel almaktadır. Bu yöntem gerçek değerli fonksiyonların gerçek köklerini oldukça iyi yaklaşımla bulmak için bir yöntemdir. ε (hata)

4. Doğrusal Olmayan Denklemlerin Çözümü: Newton-Raphson Örnek 1: Verilen denklemi sağlayan θ değerlerinden birini bulunuz.

5. Doğrusal Olmayan Denklemlerin Çözümü: Newton-Raphson Örnek 2: Verilen denklemi sağlayan u değerlerinden birini bulunuz.

6. Doğrusal Olmayan Denklemlerin Çözümü: MATLAB KODLARI Problemleri çözmek için programdaki (nr1.m) şu değişiklikler yapılır. Newton-Raphson Örnek 1: Newton-Raphson Örnek 2: clc, clear x=1;xe=0.001*x; niter=20; %---------------------------------------------- for n=1:niter %---------------------------------------------- f=x^2-4+sqrt(x+1); df=2*x+0.5/(sqrt(x+1)); %---------------------------------------------- x1=x x=x1-f/df if abs(x-x1)<xe kerr=0;break end end kerr,x clc, clear x=1;xe=0.001*x; niter=20; %---------------------------------------------- for n=1:niter %---------------------------------------------- f=5*x-cos(3*x)-1.6; df=5+3*sin(3*x); %---------------------------------------------- x1=x x=x1-f/df if abs(x-x1)<xe kerr=0;break end end kerr,x x = fzero(@(x)x^2-4+sqrt(x+1),1) x = fzero(@(x)5*x-cos(3*x)-1.6,1)

7. Doğrusal Olmayan Denklemlerin Çözümü: NEWTON RAPHSON YÖNTEMİNİN TUZAKLARI Kök civarında dönüm noktası olması durumu Yerel maksimum ve minimumlar etrafında bu yöntem salınma eğilimi göstermektedir Sıfır eğime yaklaştıkça ilgilenilen kökten çok uzaklaşılmaktadır. Sıfır eğim bu yöntem için tam bir felakettir. Çünkü formülde sıfıra bölmeye neden olur.

8. Doğrusal Olmayan Denklemlerin Çözümü: f1(x1,x2)=0 f2(x1,x2)=0 Newton-Raphson iterasyon yöntemi doğrusal olmayan denklem takımların çözümü için de kullanılır. Birden fazla denklem ve bilinmeyen değişken olduğu için çözüm işlemlerinde denklemlerin her bir bilinmeyen değişkene göre kısmi türevleri kullanılır. X1 ve x2 için gelişigüzel başlangıç değerleri atanır ve iterasyon işlemi bilgisayar programındaki (nr.m) gerekli değişikliklerin yapılması ile başlatılır. Değişkenler program içinde x() olarak ifade edilirler. Newton-Raphson Örnek 3: Merkez koordinatı (3,2) ve yarıçapı 5 olan dairenin denklemi sol taafta verilmiştir. Bu daire ile y=x2 parabolünün kesişim noktalarını nasıl bulursunuz?

9. Doğrusal Olmayan Denklemlerin Çözümü: y 9 (2.643, 6.987) 4 (-1.82, 3.321) 2 1 3 1 2 x Problemleri çözmek için programdaki (nr.m) şu değişiklikler yapılır. clc, clear x=[1 4] ;xe=0.001*x; niter1=5;niter2=50; %---------------------------------------------- xe=transpose(abs(xe));kerr=1; for n=1:niter2 %---------------------------------------------- a(1,1)=2*(x(1)-3);a(1,2)=2*(x(2)-2); a(2,1)=-2*x(1);a(2,2)=1; b(1)=-((x(1)-3)^2+(x(2)-2)^2-25); b(2)=-(x(2)-x(1)^2); %---------------------------------------------- bb=transpose(b);eps=inv(a)*bb;x=x+transpose(eps) if n>niter1 if abs(eps)<xe kerr=0;break end end end x Çizimde görüldüğü gibi iki geçerli çözüm seti vardır. Çözüm setinin değeri bilinmeyen değişkenlerin başlangıç değerleri tarafından belirlenir.