Portfólio de Matemática

1. Portfólio de Matemática 2º trimestre Caroline de Souza Tidra Informática, manhã Professora: Aline de Bona IFRS Campus Osório Agosto de 2011

2. Sumário • Introdução • Conteúdos do trimestre • Desenvolvimento de todos conteúdos • Exercício favorito • Diferenças entre funções de 1° grau e 2° grau • Correção da Prova • Pbworks • Sujestão • Curiosidade • Poesia Matemática • Auto-Avaliação • Turma • Conclusão • Mensagem final

3. Introdução No portfólio deste trimestre estarei apresentando um pouco de cada conteúdo aprendido. Ao passar dos slides você verá exemplos, atividades, prova e definições que foram feitos em aula ou em horários extra com a professora Aline de Bona.

4. Conteúdos do trimestre • O que são funções polinomiais? • Função Polinomial de 1º grau • Função Afim • Função Linear • Função Identidade • Função Constante • Determinação à partir do gráfico • Função de 1º grau crescente ou decrescente • Zeros da função • Estudo do sinal da função de 1° grau • Função Polinomial de 2º grau • Concavidade da parábola • Zeros de uma função quadrática • Vértice da parábola • Conjunto imagem da função quadrática • Valor mínimo e valor máximo da função quadrática • Crescimento e decrescimento de uma função quadrática • Estudo do sinal da função quadrática

5. DesenvolvimentoO que é funções polinomiais? Função polinomial, é uma função com mais ou no mínimo um termo onde cada termo tem uma variável independente com o grau zero ou maior que um. Sendo o grau o expoente da variável, e o grau da função polinomial é maior grau dos termos e este define a representação gráfica. Ex: y = x³ + 1 – Grau da função = 3, pois é o expoente y = 2x + 4 – Grau da função = 1 P.S: Definição feita em sala de aula com a turma toda!

6. DesenvolvimentoFunção Polinomial de 1º grau Função polinomial do 1º grau tem a sua forma f(x) = ax +b com a e b, sendo números reais e a ≠ 0 (caso a = 0 tem-se f(x) = b, que representa a função constante). Os números Representados por a e b são chamados coeficientes, enquanto x é a variável independente. Então, são função polinomiais do 1º grau: Exemplo

7. DesenvolvimentoFunção Polinomial de 1º grau Exemplo: Uma fábrica de bolsas tem o custo fixo mensal de R$ 5 000,00. Cada bolsa fabricada custa R$ 25,00 e é vendida por R$ 45,00. Para que a fábrica tenha um lucro mensal de R$ 4 000,00, ela deverá fabricar e vender mensalmente x bolsas. • Qual o valor de x? x = 450 unidades vendidas para ter 4 mil de lucro mensal. • Qual o valor do x para ocorrer prejuízo no mês? Se vender 249 unidades ou menos já terá prejuízo. → x = quantidade de bolsas custo fixo mensal = 5 mil custo unitário = 25 reais preço unitário = 45 reais lucro mensal = 4 mil x = ? 0 = 20x – 5000 → 5000/20 → x = 250 l(x) = 45.x – 25x – 500 l(x) = 20x – 5000 4000 + 5000 = 20x 9000 = 20x 9000/20 = x x = 450

8. DesenvolvimentoFunção Polinomial de 1º grau • Função Afim No caso de a ≠ 0 e b ≠ 0, a função polinomial do 1° grau recebe o nome de Afim. Exemplos:f(x) = x + 8 (a = 1 e b = 8) f(x) = ½x – 4 (a = ½ e b = -4) Chama-se afim quando existem constantes a, b que pertencem ao conjunto dos reais, tais que f(x)= ax + b para todo x ∈ R. Na função afim, nota-se: • O gráfico da função afim é f(x) = ax + b é uma reta. • D = R e Im = R. • Sendo o gráfico da função uma reta, basta considerarmos dois pontos (x, y) do plano cartesiano para construirmos o gráfico.

9. DesenvolvimentoFunção Polinomial de 1º grau • Função Linear No caso de b = 0, a função polinomial do 1° grau recebe o nome de linear. Se construirmos, um gráfico da função f(x) = 2x: Podemos observar o gráfico da função linear f(x) = ax é uma reta que contém a origem (0, 0) do sistema cartesiano. Para construir esse gráfico basta determinar apenas mais um ponto (x, y) do plano cartesiano e fazer a reta.

10. DesenvolvimentoFunção Polinomial de 1º grau • Função Identidade No caso de a = 1 e b = 0, a função polinomial do 1° grau recebe o nome de função identidade. Se construirmos, um gráfico da função f(x) = x: Podemos observar que: • D = R e Im = R • O gráfico identidade é uma reta que divide o 1° e o 3º quadrante.

11. DesenvolvimentoFunção Polinomial de 1º grau • Função Constante No caso a = 0 e b ∈ R, a função é expressa por f(x) = b e recebe o nome de função constante. Exemplo: f(x) = √3 Se construirmos, um gráfico da função f(x) = 3: D = R Im = {3} O gráfico da função f(x) = b é sempre uma reta paralela ao eixo x. Se: b > 0 a reta fica acima do eixo x. b = 0 a reta fica sobre o eixo x. b < a reta fica abaixo do eixo x.

12. DesenvolvimentoFunção Polinomial de 1º grau • Função Constante Exemplo: O gráfico mostra a relação entre o espaço S percorrido e o tempo t gasto um motorista em uma viagem. No eixo horizontal está representado o tempo (t), em horas, gasto no percurso e no eixo vertical a distância (S) percorrida, em quilômetros. Observando o gráfico, você poderia dizer que esse motorista ficou parado em algum momento da viagem? Caso a resposta seja afirmativa, quantas horas esse motorista permaneceu parado? Sim, o motorista ficou parado entre 2 e 5 horas, ou seja, permaneceu no mesmo lugar por 3 horas.

13. DesenvolvimentoFunção Polinomial de 1º grau • Determinação à partir do gráfico Resolver a função f(x) = ax + b cujo gráfico seguinte: y = 1 → 1 = a + b y = 7 → 7 = 3a + b Sistema -a –b = -1 3a +b = 7 2a = 6 a = 3 { a + b = 1 3a + b = 7 para determinar a e b: a + b = 1 3 + b = 1 b = 1 – 3 b = -2 Logo: a função procurada é f(x) = 3x - 2

14. DesenvolvimentoFunção Polinomial de 1º grau • Função de 1º grau crescente ou decrescente Considerando dois valores do domínio D (2 e 4), temos: f(2) = 3 f(4) = 7 Considerando dois valores do domínio D (2 e 4), temos: f(2) = -7 f(4) = -13 • Quando os valores de x aumentam e os de y também a função é crescente. • Quando os valores de x aumentam e os de y diminuem a função é decrescente, ou x diminui e y aumenta também é decrescente. Regra para qualquer função: x1>x2 e y1>y2 → função crescente x1>x2 e y1<y2 → função decrescente x1<x2 e y1>y2 → função decrescente } → f(2)<f(4) → a função é crescente } → f(2)>f(4) → a função é decrescente

15. DesenvolvimentoFunção Polinomial de 1º grau • Zeros da função Denomina-se zero ou raiz da função f(x) = ax + b o valor de x que anula a função, isto é, f(x) = 0. Exemplo: Calcular o zero da função f(x) = -3x + 5 f(x) = -3x + 5 = 0 → -3x = -5 → 3x = 5 → x = 5/3 Logo: zero da função dada é x = 5/3

16. DesenvolvimentoFunção Polinomial de 1º grau • Estudo do sinal da função de 1° grau Lista 01/08: O estudo do sinal de uma função y = (f) significa determinar para que os valores x do domínio da função a imagem f(x) será positiva, negativa ou nula. Em outras palavras, estudar o sinal de uma função f significa determinar para que valores de x temo f(x)>0, f(x)<0 ou f(x) = 0. Ou seja, estudar o sinal de uma função consiste em determinar os intervalos nos quais a função tem imagem negativa e os intervalos nos quais a função tem imagem positiva.

17. DesenvolvimentoFunção Polinomial do 2º grau • Função Polinomial do 2º grau Função Polinomial do 2º grau pode também ser chamada de função quadrática. A função é dada por f(x) = ax² + bx + c, com a, b, c reais e a ≠ 0. O gráfico de uma função do 2º grau é uma curava aberta chamada parábola, pois toda que contém o “x²” o gráfico é em forma de parábola.

18. DesenvolvimentoFunção Polinomial do 2º grau • Concavidade da parábola Concavidade de uma parábola é a abertura para cima ou para baixo. Exemplos: f(x) = x² - 2x – 3, temos a = 1>0 f(x) = 2x², temos a = 2>0 Em ambos, a parábola tem concavidade para cima. f(x) = -x² + 2x – 3, temos a = -1<0 f(x) = -2x² + 1x -4, temos a = =2<0 Em ambos, a parábola tem a concavidade para baixo.

19. DesenvolvimentoFunção Polinomial do 2º grau • Zeros de uma função quadrática Zeros ou raízes da função é os valores de x que anulam a função, ou seja, que à torna f(x) = 0. • Se ∆>0 → a função y = ax² + bx + c tem dois zeros desiguais (x1 e x2). • Se ∆ = 0 → a função y = ax² + bx + c tem um zero real duplo (x1 = x2). • Se ∆<0 → a função y = ax² + bx + c não tem zero real. • A soma das raízes é dada por: x¹+ x² = -b/a • O produto das raízes é dada por: x¹ . x²= c/a Exemplo: 1) Determine a equação x² - 4x – 5 = 0 ∆ = b² - 4ac = (-4)² - 4(1)(-5) = 36>0 (a função tem dois zeros reais diferentes) x = -b ± √∆ = -(-4) ± √36 = 4 ± 6 2a 2.(1) Logo: os zeros da função y = x² + 4x – 5 são x¹ = 5 e x² = -1. { x¹ = 5 x² = -1

20. DesenvolvimentoFunção Polinomial do 2º grau • Zeros de uma função quadrática 2) A função f(x) = x² -2x + 3k tem dois zeros iguais. Nestas condições, determine os valores reais de k. A condição para que a função tenha zeros reais iguais é que ∆ = 0. ∆ = b² - 4ac = (-2)² - 4.(1).(30k) = 4 – 12k 4 – 12k = 0 → -12k = -4 → 12k = 4 → k = 4/12 → k =1/3 Logo: k = 1/3

21. DesenvolvimentoFunção Polinomial do 2º grau • Vértice da parábola O vértice da parábola de uma função é o ponto máximo quando a parábola está para baixo e é o ponto mínimo quando a parábola está para baixo. A parábola, que representa o gráfico da função f(x) = ax² + bx + c, passa por um ponto V, chamado vértice, cujas coordenadas são (abscissa) e (ordenada). Fórmula para calcular o vértice ∆

22. DesenvolvimentoFunção Polinomial do 2º grau • Conjunto imagem da função quadrática Para obter o conjunto imagem de uma função quadrática podemos aplicar as coordenadas do vértice. Exemplo: Determinar o conjunto imagem da função f(x) = x² - 3x +2. f(x) = x2 – 3x + 2 ∆ = 1 > 0 = 3/2 ∆ = - ¼ a = 1 > 0 Logo: Im = {y ∈ R | y ≥ -¼}

23. DesenvolvimentoFunção Polinomial do 2º grau • Valor mínimo e valor máximo da função quadrática Exemplo: Determinar o valor de k de modo que a função f(x) = -x² - 2x + k  tenha 2 como valor máximo. Yv = 2 f(x) = -x² - 2x – k Yv = 2 = -((-2)² - 4.(-1).k) 4.(-1) 2 = -(4 + 4k) 4 -8 = -4 -4k → -8 + 4 = -4k → -4 = -4k → k = -4/-4 → k = 1 Obs: Em uma parábola a concavidade é para cima ou para baixo, onde no ponto máximo ou mínimo está localizado o vértice.

24. DesenvolvimentoFunção Polinomial do 2º grau • Crescimento e decrescimento de uma função quadrática Em uma parábola, metade é crescente e a outra metade é decrescente. • Concavidade voltada para cima: • Decrescente do –infinito (-∞) ao vértice • Crescente do vértice ao infinito (∞) • Concavidade voltada para baixo: • Crescente do –infinito (-∞) ao vértice • Decrescente do vértice ao infinito (∞)

25. DesenvolvimentoFunção Polinomial do 2º grau • Crescimento e decrescimento de uma função quadrática Exemplo: Para que valores da função f(x) = x² - 2x – 3 é: a) crescente? b) decrescente? f(x) = x² - 2x – 3 a = 1>0 (valor mínimo) ∆ = 4 + 12 = 16>0 (zeros desiguais) Xv = -b = 2 = 1   2a 2 Yv= - ∆ = - 16 = -4 4a 4 Logo: a) f(x) é crescente para x ≥ 1 b) f(x) decrescente para x ≤ 1 vértice decrescente↓ ↑crescente V (1, -4)

26. DesenvolvimentoFunção Polinomial do 2º grau • Estudo do sinal da função quadrática Inicialmente determinamos as raízes reais (se existirem) do polinômio quadrático. A seguir podemos estudar o sinal utilizando o gráfico da função ou o quadro de sinais (com a função na forma fatorada). O exemplo seguinte nos mostra tais possibilidades. As raízes da função polinomial y = x² - 3x - 4 são x = -1 e x = 4

27. Exercício favorito *-* Observe o gráfico e responda as perguntas abaixo: a) Determine os intervalos em que a função é: - crescente: [-2, 1] e [2, 3] - decrescente: [3, 4] b) O que ocorre com a função no intervalo [1, 2]? No intervalo [1, 2] fica em repouso.

28. Diferenças entre funções de 1° grau e 2° grau Para identificar o tipo de função que é tratado em provas ou trabalhos, destacam-se duas característica predominantes: 1ª) Fórmulas: Função de 1º grau → f(x) = ax + b Função de 2º grau → f(x) = ax² + bx + c 2º Gráficos Função de 1º grau → sempre é uma reta. Função de 2º grau → sempre é uma parábola, pois o a é elevado ao quadrado. (ax²) Parábola → Reta → FP de 2º grau FP de 1º grau Obs: Tive uma pequena dificuldade em perceber as diferenças entre as funções, e isso foi a causa de vários erros. Então coloquei no Portfólio as diferenças, para aprender mais e lembrar!

29. Correção da Prova 2 1) f(0) = 6 → c f(1) = 2 f(-2) = 20 f(x) = ax² + bx + c a . 1² + b . 1 + 6 = 2 → a + b = -4 . (2) a . (-2)² + b . (-2) + 6 = 20 → 4a - 2b = 14 2a + 2b = -8          a + b = -4 4a - 2b = 14          1 + b = -4       6a = 6               b = -5  f(x) = x² - 5x + 6 a → x² - 5x + 6 = 0 Bhaskara {2, 3} b → V (-b/2a, -Δ/4a) Bhaskara = ((-5)²/2*1, -((-5)² - 4*1*6)/4*1) c → a =1 → parábola U d → Im [-1/4, +∞)   e → É crescente do [2,5 +∞)  f → Obs: Foi difícil desenhar esse gráfico no paint!  Não aprendi a usar o Graphmatica! 

30. Correção da Prova 2 2) h(t) = 5t (8 - t) = 40t - 5t² = -5t² + 40t Bhaskara: a = -5, b = 40, c = 0 a → h(3) = -5 . 3² + 40 . 3 = -45 + 120 = 75 m   b → 60 = -5t² + 40t → 5t² - 40t - 60 = 0 (Bhaskara : t1 = 2 segundos, t2 = 6 segundos) c →(-40/2*(-5), -(40² - 4*(-5)*0)/4*(-5)) V = 4,80 Amáx= 80m no t = 4 seg.   3) f(x) = x² - 3x + k → a = 1, b = -3, c = k a → Δ > 0     9/4>k b → Δ = 0 c → Δ < 0      9/4<k      Δ = (-3)² - 4*1*k Δ  = 9 - 4k → 9 - 4k > 0   -   9 > 4k   -   9/4 > k 9 - 4k = 0 9 = 4k 4)Yv = 4 -Δ = -(b² - 4ac) = 4 4ª           4a        -((-4)² - 4*(-1)*k) = 4 4. (-1) 4 + k = 4 k = 0

31. Correção da Prova 2 b h h 5) P = 2b + 2h = 120 cm A = b * h     → h = (120 - 2b)/2      → h = 60 - b A = bx (60 - b) A = 60b - b² Yv= -Δ = -(60² - 4*(-1)*0) 4a            4*(-1) -3600 → A = 900 cm -4   6) V (3, -4)     f(2) = 0 (x1 + x2)/2 = 3 (2 + x2) = 3 2 + x2 = 6  x2 = 6 - 2 x2 = 4  a → f(x) > 0 : [-∞ , 2)     V (4, +∞ ) b → f(x) = 0 : {2, 4} c → f(x) < 0 : (2, 4)   b 7) O resumo fiz na prova, não escreverei aqui, já que o portfólio em si mesmo responde essa questão : )

32. Pbworks: carolsouza.pbworks.com Mantenho meu Pbworksorganizado e possivelmente atualizado. Nesse trimestre pelo o acúmulo de trabalhos, provas e tarefas à fazer, não postei duas das listas dadas, mas postarei logo, mesmo que atrasadas :)

33. Sugestão Depois de dadas as listas de exercícios temos prazo para postá-las no Pbworks. Depois de postadas as listas não sabemos se está certo o modo de desenvolvimento da função, pois ás vezes a função já vem com o resultado. Minha sugestão é que as listas fossem corrigidas uma à uma, depois de algumas semanas da postagem, nos estudos orientados para não ficar dúvidas sobre as questões feitas e temos certeza se está certa ou errada.

34. Curiosidade Você é capaz de somar os algarismos de 1 a 100 em poucos minutos?  Carl Friedrich Gauss (1777-1855) aos 10 anos de idade respondeu rapidamente 5.050 ao seu professor  surpreendendo-o pela sua grande habilidade na matemática. Em 1792, seu talento foi reconhecido pelo duque de Braunschweig, que lhe garantiu recursos para prosseguir o estudo de matemática. Gauss criou a geometria diferencial, e fez novas descobertas como a Lei da Reciprocidade Quadrática, que introduz o conceito de congruência e o Teorema Fundamental da Álgebra. Em 1801, publicou DisquisitionesArithmeticae, seu tratado sobre a Teoria dos Números. No mesmo ano, calculou a órbita do asteróide Ceres. Com base em uma teoria que desenvolveu, previu corretamente onde e quando o Ceres deveria reaparecer. Morreu em 23 de fevereiro de 1855, sendo considerado o "Príncipe da Matemática". Vejam abaixo a resolução proposta por Gauss (isso aos 10 anos de idade): 101, 101, 101, ..., 101, 101, 101 100 x Portanto 1 + 2 + 3 +...+ 99 + 100 = (100x101)/2= 5050! Achei bem legal essa curiosidade e então decidi postar aqui no portfólio!

35. Poesia Matemática Às folhas tantas do livro matemático, um Quociente apaixonou-se um dia doidamente por uma Incógnita. Olhou-a com seu olhar inumerável e viu-a do ápice à base uma figura ímpar; olhos rombóides, boca trapezóide, corpo retangular, seios esferóides. Fez de sua uma vida paralela à dela até que se encontraram no infinito. "Quem és tu?", indagou ele em ânsia radical. "Sou a soma do quadrado dos catetos. Mas pode me chamar de Hipotenusa. "E de falarem descobriram que eram (o que em aritmética corresponde a almas irmãs)primos entre si. E assim se amaram ao quadrado da velocidade da luz numa sexta potenciação traçando ao sabor do momento e da paixão retas, curvas, círculos e linhas sinoidaisnos jardins da quarta dimensão. Escandalizaram os ortodoxos das fórmulas euclidiana e os exegetas do Universo Finito. Romperam convenções newtonianas e pitagóricas. E enfim resolveram se casar constituir um lar, mais que um lar, um perpendicular. Convidaram para padrinhos o Poliedro e a Bissetriz.

36. Poesia Matemática E fizeram planos, equações e diagramas para o futuro sonhando com uma felicidade integral e diferencial. E se casaram e tiveram uma secante e três cones muito engraçadinhos. E foram felizes até aquele dia em que tudo vira afinal monotonia. Foi então que surgiu O Máximo Divisor Comum freqüentador de círculos concêntricos,viciosos. Ofereceu-lhe, a ela,uma grandeza absoluta e reduziu-a a um denominador comum. Ele, Quociente, percebeu que com ela não formava mais um todo,uma unidade. Era o triângulo, tanto chamado amoroso. Desse problema ela era uma fração, a mais ordinária. Mas foi então que Einstein descobriu a Relatividade e tudo que era espúrio passou a ser moralidade como aliás em qualquer sociedade. Poesia Matemática de Millôr Fernandes

37. Auto-Avaliação Nesse trimestre meu rendimento escolar “matemático” não foi dos melhores. Tive e ainda tenho muitas dificuldades, e dúvidas na aprendizagem das funções polinomiais, tanto de 1º grau como a de 2º grau. Tenho indo nos estudos orientados de matemática para assim aprender mais, e isso já me ajuda bastante. Gostaria de novamente alcançar a média 7, pois, reconheço que não me esforcei o suficiente para alcançar mais. Mas, isso já está mudando, depois que levei um susto ao ver minha nota. Pretendo tomar meus horários vagos à me dedicar em cumprir todas as tarefas à fazer, principalmente as de matemática. Trimestre que vem vou apresentar o artigo científico, já tenho bastantes idéias e já comecei a ler o artigo sobre a energia. Me dedicarei mais e vou estar presente em todas as aulas extras de matemática. Sei que preciso melhorar e tenho absoluta certeza que vou me esforçar para isso.

38. Turma, Informática- manhã Vou levar pra sempre uma lembrança de cada um. Adoro-os ♥

39. Conclusão O meu portfólio ficou bem simples, coloquei o que achei de mais importante nesse trimestre e algumas coisas que ao passar dos dias gostei como curiosidades, a poesia e o exercício favorito.

40. Mensagem final Ninguém pode ser perfeito. Mas todos podem ser melhores. Bob Esponja