MATEMATICA PER L’ECONOMIA

1. MATEMATICA PER L’ECONOMIA Docente: Luca Vincenzo Ballestra Testi: 1) Aversa, Vincenzo (2010), Metodi quantitativi delle decisioni. LIGUORI 2) Simon, Blume (2002), Matematica Generale. EGEA Per colmare ecentuali lacune sulla matematica di base è consigliato il libro Giorgi-Morro, Introduzione alla Matematica, Maggioli (questo libro è solo propedeutico al corso e non sostituisce il libro di testo) Orario di ricevimento: 1) Martedì ore 9:30 - 11:30 2) Lunedì ore 10:00 - 12:00 (SOLO FINO A FINE CORSO)

2. INSIEMI INSIEME = “gruppo” di oggetti qualsiasi detti elementi dell’insieme. Un insieme è definito se e solo se viene dato un criterio non ambiguo che permette di stabilire se l’oggetto appartiene o meno all’insieme. Potrebbe non essere definito un ordine tra gli elementi.

3. SIMBOLOGIA Gli insiemi sono indicati con lettere maiuscole:A, B, X, Y, … Gli elementi degli insiemi sono indicati con lettere minuscole: a, b, x, y,…

4. Un insieme A si rappresenta: - elencando tutti o alcuni degli elementi che appartengono all'insieme Esempi: A = {1, 4, 6, Mario} B = {1, 3,5,7,9,…} - indicando la proprietà caratteristicadegli elementi dell'insieme Esempio: A = {x: x è un numero intero divisibile per 12}

5. DIAGRAMMA DI EULERO-VENN A Carlo Giacomo Maria Laura Rappresentare grafica (intuitiva) di un insieme.

6. APPARTENENZA Per indicare che un dato elemento a è un elemento dell’insieme A si scrive: aÎA (a appartiene ad A). Per indicare che un dato elemento b non è un elemento dell’insieme A si scrive: bÏA (b non appartiene ad A).

7. ALTRI SIMBOLI ⊆: incluso in o uguale a ⊂ incluso in senso stretto | (oppure “:”) tale che  implica se e solo se esiste ∄ non esiste ∀ per ogni:

8. SOTTOINSIEMI Si dice che B è sottoinsieme di A e si scrive: BÍAB è incluso in o è uguale ad Aoppure AÊBA include o è uguale a B se ogni elemento di B è un elemento di A

9. Insieme vuoto :Æ Insieme con nessun elemento Æ Í A qualunque sia A L’insieme vuoto è per definizione un sottoinsieme di tutti gli insiemi

10. OPERAZIONI TRA INSIEMI UNIONE INTERSEZIONE DIFFERENZA INSIEME COMPLEMENTARE PRODOTTO CARTESIANO

11. UNIONE L'unione di due insiemi, che si indica col simbolo È, è l'insieme formato dagli elementi che appartengono ad almeno uno dei due insiemi AÈB = {x : xÎA oppure xÎB} Se A  B AÈB = B

12. UNIONE A B 1 5 3 4 0 2 Esempio: A = {0,1,2}, B = {1,2,3,4,5} AÈB = {0,1,2,3,4,5}

13. INTERSEZIONE L'intersezione di due insiemi A e B che si indica col simbolo Ç è l'insieme degli elementi che appartengono sia ad A che a B AÇB = {x : xÎ A e x Î B } Se A  B AÇB = A Se AÇB =  A e B sono disgiunti.

14. INTERSEZIONE A B 1 5 3 4 0 2 Esempio: A = {0,1,2}, B = {1,2,3,4,5} AÇB = {1,2}

15. DIFFERENZA La differenza di due insiemi è l'insieme degli elementi che appartengono al primo insieme e che non appartengono al secondo insieme A - B = {x : x Î A , x Ï B } Se A  B A - B = 

16. DIFFERENZA A B 1 5 3 4 0 2 Esempio: A = {0,1,2}, B = {1,2,3,4,5} A - B = {0}

17. INSIEME COMPLEMENTARE Introduciamo l’insieme universo U ovvero un insieme su cui effettuare le operazioni (U potrebbe essere, per esempio, l’insieme dei numeri reali, oppure l’insieme delle funzioni). Se A un sottoinsieme di U, si chiama insieme complementare di A rispetto ad U l'insieme differenza di U e A e si scrive: CUA = U - A = {x : x Î U e x Ï A}

18. INSIEME COMPLEMENTARE 0 3 4 5 U 1 2 6 A Esempio: U = {0, 1, 2, 3, 5, 6}, A = {1, 2, 6} CUA = U - A = {0, 3, 4, 5}

19. PRODOTTO CARTESIANO COPPIA ORDINATA: una coppia di elementi in cui viene distinto l’ordine in cui si considerano i due elementi (c’è un primo e un secondo elemento): (x,y)  (y,x) Dati due insiemi A e B, il prodotto cartesiano di A e B, che si indica A ´ B, è l’insieme di tutte le coppie ordinate (x, y) in cui il primo elemento x appartiene ad A ed il secondo elemento y appartiene a B: A´B = {(x, y) : xÎA, yÎB}

20. PRODOTTO CARTESIANO Esempio: A = {1, 2, 3}, B = {3, 7} A´B = {(1,3), (1,7), (2,3), (2,7), (3,3), (3,7)} B´A = {(3,1), (3,2), (3,3), (7,1), (7,2), (7,3)}

21. INSIEMI NUMERICI NUMERI NATURALI NUMERI RELATIVI NUMERI RAZIONALI NUMERI IRRAZIONALI NUMERI REALI NUMERI COMPLESSI

22. NUMERI NATURALI N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, …} In N sono definite le seguenti operazioni: - Addizione (0 è l’elemento neutro) - Moltiplicazione (1 è l’elemento neutro)

23. NUMERI INTERI RELATIVI Problema: nell’insieme dei numeri naturali non si può definire la sottrazione, ovvero l’operazione inversa della addizione Z = {…, -3, -2,-1, 0, 1, 2, 3, …} N è incluso in Z

24. NUMERI RAZIONALI Problema: nell’insieme dei numeri naturali non si può definire la divisione, ovvero l’operazione inversa della moltiplicazione Q = {(x,y): x  Z, y  Z-{0}} Possiamo anche scrivere (x,y) come Un numero razionale è in realtà una coppia di interi relativi (x,y). Può però essere pensato come il risultato della divisione di x per y e essere rappresentato in “notazione decimale con virgola”

25. NUMERI RAZIONALI Q è denso: dati due qualsiasi numeri razionali esiste (almeno) un altro numero razionale intermedio Se però si rappresenta Q come un insieme di punti su una retta, allora Q ha dei “buchi”: ● ● ●● ● ● ● ●● ● ● ● ● ● ●● ● ●

26. NUMERI REALI Problema: non è possibile trovare nessun numero razionale tale che il suo quadrato sia uguale a 2 Numeri reali: R = Q È  è l’insieme dei numeri irrazionali, che per noi è l’insieme di quei punti della retta che non sono numeri razionali

27. NUMERI COMPLESSI Problema: non vi è nessun numero reale x tale per cui x moltiplicato per x dia come risultato -1(il quadrato di un numero reale non può essere un numero reale negativo). Noi (e solo noi) chiamiamo UNITÀ IMMAGINARIA il numero i il cui quadrato è uguale a – 1: i2 = – 1

28. NUMERI COMPLESSI Un numero complesso z può essere definito come segue: a: parte reale; b: parte immaginaria L’insieme dei numeri complessi viene indicato con C

29. NUMERI COMPLESSI (solo un accenno) SOMMA: DIFFERENZA: PRODOTTO:

30. Gli insiemi di numeri sopra descritti sono inclusi uno nell’altro: N Z QR C

31. RELAZIONI Si chiama relazione tra l’insieme X e l’insieme Y un qualunque sottoinsieme del prodotto cartesiano: R  X x Y = (x,y): xX, yY L’insieme costituito dai primi elementi di ciascuna coppia viene chiamato dominio. L’insieme costituito dai secondi elementi di ciascuna coppia viene chiamato codominio.

32. FUNZIONE Una funzione è una relazione tra due insiemi X e Y tale che comunque si prenda un elemento x di X ad esso viene associato uno e un solo elemento y di Y

33. X Y RELAZIONE Ida Anna Ugo Mario Paola Fabio Anna non è in relazione con nessun elemento del codominio Ida è in relazione con due elementi del codominio

34. FUNZIONE Y X Anna Ugo Mario Paola Fabio A Mario non corrisponde nessun elemento del dominio

35. FUNZIONE X f Y Si indica come 1 4 2 5 6 3 o più brevemente 4 è l’immagine di 1 (f(1)=4) 1 è la controimmagine di 4 L’insieme {2,3} è la controimmagine di 5 {4, 5}è l’insieme immagine di f: sottoinsieme del codominio formato da tutti gli elementi immagine (ovvero da tutti gli elementi che hanno un corrispondente elemento nel dominio)

36. GRAFICO DI UNA FUNZIONE Grafico di f : Il grafico di una funzione è un insieme, che ha anche una rappresentazione grafica: y x

37. INIETTIVITÀ 1 1 4 4 2 2 6 5 5 3 INIETTIVA NON INIETTIVA Una funzione si dice INIETTIVA se ogni elemento del codominio è immagine, al più, di un SOLO elemento del dominio

38. SURIETTIVITÀ 4 1 1 4 2 5 6 3 2 6 SURIETTIVA NON SURIETTIVA Una funzione si dice SURIETTIVA se ogni elemento del codominio è immagine di ALMENO un elemento del dominio

39. FUNZIONE INVERSA Sia f : X→Y iniettiva e suriettiva. Allora è invertibile, ovvero esiste la funzione inversa 1 4 1 4 2 6 2 6

40. FUNZIONEINVERSA Esempio:

41. FUNZIONE INVERSA Il grafico della funzione inversa è simmetrico rispetto alla bisettrice del primo e del terzo quadrante

42. FUNZIONE COMPOSTA Y X A -2 g f 3 5 1 B 2 4 6 8 X Y g ○ f 5 1 2 6

43. FUNZIONE COMPOSTA

44. FUNZIONE COMPOSTA – ESEMPIO