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Método dos Mínimos Quadrados. Motivação. A interpolação não é adequada quando desejamos obter um valor aproximado da função em um ponto fora do intervalo tabelado – extrapolar Os valores tabelados são resultado de experimento físico ou de pesquisa que podem conter erros.
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Motivação • A interpolação não é adequada quando desejamos obter um valor aproximado da função em um ponto fora do intervalo tabelado – extrapolar • Os valores tabelados são resultado de experimento físico ou de pesquisa que podem conter erros
Há necessidade de ajustar à função tabelada, uma função que seja uma boa aproximação para os valores tabelados • Esta boa aproximação deve permitir extrapolação com uma certa margem de segurança
Método dos mínimos Quadrados h(x) f(x) – h(x)
Caso discreto • Sejam dados os pontos (x1,f(x1)), (x2,f(x2)), ..., (xm,f(xm)) os pontos conhecidos • Sejam g1(x), g2(x), ..., gn(x) funções escolhidas de alguma forma • Sendo m >= n
O objetivo é determinar coeficientes α1, α2,..., αn tal que • h(x)= α1g1(x)+ α2g2(x)+...+ αngn(x) • E h(x) se aproxime ao máximo de f(x)
Seja dk = f(xk) – h(xk) o desvio em xk • O objetivo é encontrar α tal que a soma dos quadrados dos desvios seja mínima
Minimizando os desvios • Do cálculo diferencial: para obter um ponto de mínimo de F(α1,α2,...,αn) devemos encontrar os pontos críticos • Devemos encontrar os pontos onde as derivadas parciais são iguais a zero
Propriedades • aij = aji – a matriz A é simétrica • Se as funções gi(x) forem tais que os vetores gi resultantes forem linearmente independentes, o sistema admite uma única solução • Se o sistema tem uma única solução, esta solução é o ponto mínimo da função F(α1,α2,...,αn)
Exemplo • Seja o conjunto de pontos: • Ajuste uma parábola do tipo x2aos pontos usando MQ
2,8464α = 5,8756 α = 2,0642
Assim, h(x)=2,0642 x2 é a parábola que melhor se aproxima no sentido dos mínimos quadrados, da função tabelada
Para o caso contínuo • Vimos o método dos mínimos quadrados para o caso discreto • Como fazer para o caso contínuo?
... Onde [a,b] é o intervalo onde f(x) e todas as gi(x) são contínuas
Casos não Lineares • Em alguns casos a família de funções pode ser não linear nos parâmetros • Nestes casos, deve-se linearizar o problema através de uma transformação conveniente • O método dos mínimos quadrados pode ser aplicado no problema linearizado • Os parâmetros obtidos não são ótimos porque o ajuste é feito no problema linearizado e não no problema original
