Graficaci ón IA7200-T

1. GraficaciónIA7200-T Transformaciones Geométricas

2. Producto Matricial Transformaciones Lineales Rotaciones Escalamiento Acizallamiento Translaciones Transformaciones Geométricas • Coordenadas Homogéneas • Transformaciones Inversas • Rotaciones Arbitrarias • Cambio de Coordenadas • Rotaciones 3D

3. Producto Matricial

4. Una transformación T es un mapeo Una transformación es lineal si para todos v y w (vectores) y λ (real) Si T es lineal: Transformaciones Lineales

5. En el espacio x-y, asociemos un punto P al vector V, tal que: T es un mapeo de puntos a puntos: Para todo punto P en x-y, donde: Transformaciones Lineales

6. Las TLs pueden ser escritas como un producto de matrices. Por ejemplo Se puede escribir como el producto Transformaciones Lineales

7. Ejemplo: Los renglones de T son las imágenes de (1,0) y (0,1) Transformaciones Lineales

8. Rotación

9. Escalamiento

10. Acizallamiento

11. Translaciones ¿Cuál es la matriz T para translaciones? T no es lineal (i.e. T(0) = (a,b)≠0) (a,b) se llama vector de desplazamiento (shift vector)

12. Coordenadas Homogéneas • Para combinar todas las transfomaciones vistas hasta aquí, añadimos una dimensión mas, W. • La dimensión extra hace que P=(x,y) tenga toda una familia de representaciones coordenadas (wx, wy, w) w≠0. • Por ejemplo, (3,6,1), (0.3,0.6,0.1), (6,12,2), (12,24,4), etc. • Cuando un punto se mapea al plano W=1, se dice que está homogeneizado. • Conversión: • (x,y)  (x,y,1) • (wx,wy,w)  (wx/w, wy/w)

13. Coordenadas Homogéneas

14. Coordenadas Homogéneas T en coordenadas homogéneas Translación Rotación

15. Ejercicios • Dibuje un rectángulo unitario en un espacio R2 • Genere una matriz T1 para una rotación de 15° • Genere una matriz T2 para un escalamiento de 1.5 en x y 2 en y • Genere una matriz T3 para un acizallamiento de 0.5 en la horizontal • Combínelas, para formar una sola matriz T de transformación que además desplace el rectángulo por (1, 0.5) • Aplique la matriz resultante al rectángulo

16. Ejercicios • Ver Programa de Mathematica

17. Transformaciones Inversas • Si R mapea de P a P’, la inversa mapea de P’ a P. • Ej. Rotación Inversa • Se debe cumplir que

18. Transformaciones Inversas • Sin embargo, no todas las transformaciones son reversibles • Ej. Una transformación que mapea de cualquier punto al eje x no lo es. • La matriz no tiene inversa • Para que una matriz tenga inversa, su determinante debe ser diferente de cero

19. Transformaciones Inversas • La matriz de transformación del mapeo

20. Rotación en Torno a Cualquier Punto • No es lineal • Puede ser descrita como un producto matricial (coordenadas homogéneas) • La rotación en el punto C(Xc, Yc) en un ángulo φ se puede hacer en tres pasos: • Translación al origen • Rotación en el origen • Translación de regreso

21. Rotación en Torno a Cualquier Punto

22. Rotación en Torno a Cualquier Punto

23. Rotación 3D en Torno a los Ejes

24. Rotación 3D en Torno a un Eje Arbitrario Rotación en z -θ Rotación en y -φ Rotación en z α Rotación en y φ Rotación en z θ

25. Rotación 3D en Torno a un Eje Arbitrario

26. Rotación 3D en Torno a un Eje Arbitrario • Si el punto de inicio no es el origen, sino un punto arbitrario A(a1,a2,a3) • Translación de A a O • La rotación R, descrita anteriormente • Translación inversa de O a A

27. Rotación 3D en Torno a un Eje Arbitrario