الأنظمة العددية د.سامية صدقة مداح

1. الأنظمة العددية د.سامية صدقة مداح

2. مقدمــة النظــام العددي: لقد استعمل الإنسان في تاريخه الطويل أنظمة عددية مختلفة ونظامنا نسميه النظام العشري . هو شفرة لها مجموعة من الرموز تستخدم للتعبير عن الأعداد .

3. الأنظمة العددية

4. النظـــــــــــــام الثنائي

5. النظام الثنائي Binary System إن الأساس المستعمل في النظام الثنائي هو 2ويتكون هذا النظام من رقمين فقط هما 0 و1 ويسمى كل منهما رقماً ثنائياً Binary Digit .ولتمثيل كل من الرقمين 0 و1 فإنه لا يلزم إلا خانة واحدة, ولهذا السبب أصبح من الشائع أطلاق اسم بت Bit على الخانة التي يحتلها الرقم داخل العدد الثنائي.

6. التحويل من النظام الثنائي إلى النظام العشري لتحويل أي عدد ثنائي إلى مكافئه العشري فإنه يجب علينا استعمال قانون التمثيل الموضعي للأعداد. و ينطبق هذا القانون عندما يكون الرقم الثنائي صحيحاً أو كسراً مع مراعاة أن أساس نظام العد هنا هو 2 .

7. التحويل من النظام الثنائي إلى النظام العشري مثال: حول العدد الثنائي التالي إلى مكافئه العشري: 110011010 = = 0 * 20 + 1 * 21 + 0 * 22 + 1 * 23 + 1 * 24 + 0 * 25 + 0 * 26 + 1 * 27 + 1 * 28 = 0 + 2 + 0 + 8 + 16 + 0 + 0 + 128 + 256 = 410

8. تحويل الأعداد من النظام العشري إلى الثنائي تحويل الأعداد العشرية الصحيحة الموجبة :لتحويل أي عدد صحيح موجب من النظام العشري إلى الثنائي نستعمل طريقة الباقي Remainder Method الموضحة كالآتي :

9. تحويل الأعداد من النظام العشري إلى الثنائي 1) أقسم العدد العشري على الأساس 2.2) أحسب باقي القسمة الذي يكون أما 1 أو 0 .3) أقسم ناتج القسمة السابق على الأساس 2 كما في خطوة (1).4) أحسب باقي القسمة كما في خطوة (2).5) استمر في عملية القسمة وتحديد الباقي حتى يصبح خارج القسمة الصحيح صفراً.6) العدد الثنائي المطلوب يتكون من أرقام الباقي مقروءة من الباقي الأخير إلى الأول (لاحظ أن الباقي الأول يمثل LSD بينما الباقي الأخير يمثل MSD.

10. تحويل الأعداد من النظام العشري إلى الثنائي 0 2 150 1 2 75 1 2 37 0 2 18 1 2 9 0 2 4 0 2 2 1 1 مثال: لتحويل الرقم 150 من النظام العشري إلى الثنائي نتبع الآتي : 74=2*37 وبإضافة 1 يكون الناتج 75 و هكذا بالمثل مع جميع النواتج ذات الكسور

11. تحويل الكسر العشري إلى ثنائي لتحويل الكسر العشري إلى مكافئة الثنائي نضرب الكسر في الأساس 2 عدداً معيناً من المرات حتى نحصل على ناتج ضرب يساوي صفراً أو حتى نحصل على الدقة المطلوبة.

12. تحويل الكسر العشري إلى ثنائي 0 . 75 مثال: لتحويل الكسر العشري إلى مكافئة الثنائي :  * MSD * 2 1 100 1 50 2 LSD فيكون الناتج من أعلى إلى أسفل ومن اليسار إلى اليمين 0.11

13. تحويل الكسر العشري إلى ثنائي مثال: لتحويل الكسر العشري 0.126 إلى مكافئة الثنائي بدقة تصل إلى أربعة أرقام ثنائية: MSD 0 . 126 * 2 0 252 * 2 0 504 LSD * 2 1 008 * 2 0 016 فيكون الناتج من أعلى إلى أسفل ومن اليسار إلى اليمين 0.0010

14. تحويل العدد العشري الكسري يتم تحويل كل جزء على حده ثم تضم النتائج مع بعض لتعطي النتيجة المطلوبة.

15. إجراء العمليات الحسابية على الأعداد الثنائية الموجبة يمكن إجراء العمليات الحسابية من جمع وطرح وضرب وقسمة كما هو الحال في النظام العشري مع مراعاة أن أساس النظام المستعمل هنا هو 2.عملية الجمع : لو أخذنا عددين ثنائيين A ,B وكان كل منهما يتكون من خانة واحدة فقط Bit , وبما أن كل خانة يمكن أن تكون أما 0أو 1فإنه يوجد للعددين معاً أربع احتمالات كالآتي:

16. إجراء العمليات الحسابية على الأعداد الثنائية الموجبة

17. إجراء العمليات الحسابية على الأعداد الثنائية الموجبة 1110 أما إذا كانت الأعداد الثنائية مكونة من أكثر من خانة واحدة فإن عملية الجمع تنفذ بنفس طريقة الجمع في النظام العشري مع مراعاة أن أساس النظام العد المستعمل هو 2. مثال(1): جمع العددين الثنائيين ( (011+ ( ( 101 المحـمــول 111 العدد الأول101 العدد الثاني 011 +

18. عملية الطرح (إذا كان المطروح أقل من المطروح منه): لو أخذنا عددين ثنائيين A ,B وكان كل منهما يتكون من خانة واحدة فقط فإنه توجد الاحتمالات التالية لعملية الطرح تكون كالآتي:

19. عملية الطرح 100 مثال: اطرح العددين الثنائيين ( 010) – ( 110) 010 110 -

20. عملية الضرب 000 مثال : ما هو ناتج ضرب العددين الثنائيين ( (101 ) (10 101 10 * 101 1010

21. عملية القسمة مثال : ما هو ناتج قسمة ( 1001) على ( ( 11 11 1001 11 11 11 11 00 رجوع

22. النظـــــــــام الخماسي

23. النظـــــــــام الخماسي رموزه:0,1,2,3,4 أساسه: العدد خمسة . مثال : (34) = 4*50 + 3*51 = 4*1 + 3*5 = 19 رجوع

24. النظـــــــــام الثماني

25. النظـــــــــام الثماني كما هو معروف فإن أساس النظام الثماني هو العدد 8 , وتتكون رموز هذا النظام من الأرقام ( 0 , .... , 7)

26. التحويل من النظام الثماني إلى العشري للتحويل من النظام الثماني إلى النظام العشري يستعمل قانون التمثيل الموضعي للأعداد مع مراعاة أن أساس نظام العد هنا هو 8. مثال حول العدد الثماني 206.75)) إلى مكافئه العشري N= 2 * 82+0 * 81+ 6 * 80 + 7 * 8-1 + 5 * 8-2 N= 2 * 64 + 6 * 1 + 7 * + 5 * N= 128 + 6 + + N= 134.953125 1 1 8 64 7 5 8 64

27. التحويل من النظام العشري إلى الثماني تحويل الأعداد الصحيحة الموجبة: لتحويل أي عدد صحيح موجب من النظام العشري إلى الثماني نستعمل طريقة الباقي المشروحة في النظام الثنائي مع مراعاة أن الأساس الجديد هو8.

28. التحويل من النظام العشري إلى الثماني مثال : حول العدد العشري 122 إلى مكافئه الثماني؟ فيكون الناتج (من أسفل إلى أعلى ومن اليسار إلى اليمين):172

29. تحويل الكسر العشري إلى مكافئه الثماني لتحويل الكسر العشري إلى مكافئه الثماني فإننا نضرب الكسر في الأساس 8 عدداً معيناً من المرات حتى نحصل على ناتج ضرب يساوي صفراً أو حتى نحصل على الدقة المطلوبة.

30. تحويل الكسر العشري إلى مكافئه الثماني مثال :حول الكسر العشري 0.615 إلى مكافئه الثماني المكون من 4 خانات فقط . MSD 0 . 615 * 8 920 4 * 8 360 7 * 8 880 2 * LSD 8 7 040

31. التحويل من النظام الثماني إلى الثنائي لتحويل أي عدد ثماني إلى مكافئه الثنائي نستبدل كل رقم من أرقام العدد الثماني بمكافئه الثنائي المكون من ثلاث خانات وبذلك ينتج لدينا العدد الثنائي المكافئ للعدد الثماني المطلوب تحويله.

32. التحويل من النظام الثماني إلى الثنائي مثال حول العدد الثماني 772.5 إلى مكافئه الثنائي . 7 7 2 5 111 111 010 101 772.5) = (111111010101))

33. التحويل من النظام الثنائي إلى الثماني لتحويل الأعداد الثنائية الصحيحة إلى ثمانية نتبع الخطوات التالية: 1. نقسم العدد الثنائي إلى مجموعات كل منها مكون من ثلاث خانات، ويجب أن نبدأ التقسيم من الرقم الأقل أهمية (LSD) .2. إذا كانت المجموعة الأخيرة غير مكتملة فإننا نضيف في نهايتها الرقم صفر حتى تصبح مكونة من ثلاث خانات ثنائية.3. نضم الأرقام الثمانية معاً للحصول على العدد المطلوب.4. في حالة الكسور الثنائية نبدأ بالتقسيم إلى مجموعات من الخانة القريبة على الفاصلة.

34. التحويل من النظام الثنائي إلى الثماني مثال: حول العدد الثنائي 001011011010.101100)) إلى مكافئه الثماني 001 011 011 010 . 101 100 1 3 3 2 4 5 001011011010.101100)=1332.54)

35. جمع وطرح الأعداد الثمانية جمع الأعداد الثمانية: عند جمع الأعداد الثمانية نتبع نفس الطريقة في حالة الأعداد العشرية مع مراعاة أن أساس نظام العد هو 8.

36. جمع وطرح الأعداد الثمانية مثال : اجمع العددين الثمانيين ( 52.2) + ( 176.7) 111 176 . 7 + 052 . 2 251 . 1

37. طرح الأعداد الثمانية مثال : اطرح العددين ( 123) – ( 260) ؟ 260 - 123 135

38. ضرب وقسمة الأعداد الثمانية أوجد حاصل الضرب (3 ) * ( 726) ؟ 12 726 * 3 2602

39. ضرب وقسمة الأعداد الثمانية مثال:أوجد ناتج عملية قسمة (3 ) / ( 2602) ؟ 0726 3 2602 - 25 010 - 6 22 - 22 رجوع 00

40. النظـــــــــام التساعي

41. النظـــــــــام التساعي رموزه: 0,1,2,3,4,5,6,7,8 أساسه: العدد تسعة . مثال : حول من النظام التساعي إلى العشري : (40) = 0*90 + 4*91 = 0*1 + 36 = 36 رجوع

42. النظام العشري

43. النظام العشري Decimal System يعتبر النظام العشري أكثر أنظمة العد استعمالاً من قبل الإنسان, وقد سمي بالعشري لأنه يتكون من عشرة أرقام هي: (0,1,2,3,4,5,6,7,8,9) والتي بدورها تشكل أساس نظام العد العشري.وبشكل عام يمكن القول أن أساس أي نظام عد Base  يساوي عدد الأرقام المستعملة لتمثيل الأعداد فيه, وهو يساوي كذلك أكبر رقم في النظام مضافاً إليه واحد.تمثل الأعداد في النظام العشري بواسطة قوى الأساس 10وهذه تسمي بدورها أوزان خانات العدد. رجوع

44. النظـــــــــام الاثنى عشري

45. النظـــــــــام الإثنى عشري رموزه: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B أساسه: العدد 12 التحويل من النظام الاثنى عشري إلى العشري : مثال حول العدد ( A1) إلى مكافئه العشري A1= A * 120 + 1 * 121 = 10 * 1 + 1 * 12 =10+12 =22 رجوع

46. النظـــــــــام السادس عشر

47. النظـــــــــام السادس عشر أساس هذا النظام هو العدد 16. والجدول التالي يبين رموز (أرقام) هذا النظام و الأعداد العشرية التي تكافؤها.

48. التحويل من النظام السادس عشر إلى العشري للتحويل من النظام السادس عشر إلى العشري نستعمل قانون التمثيل الموضعي للأعداد مع مراعاة أن أساس هذا النظام هو 16.

49. التحويل من النظام السادس عشر إلى العشري مثال حول العدد ( 2AF3) إلى مكافئه العشري N = 3 * 160 + F * 161 + A * 162 + 2 * 163 N= 3 * 16 + 15 * 16 + 10 * 16 + 2 * 16 N= 3 + 240 + 2560 + 4096 = 6899

50. التحويل من النظام العشري إلى السداسي عشر لتحويل الأعداد الصحيحة الموجبة من النظام العشري إلى السداسي عشر: نستعمل طريقة الباقي وذلك بالقسمة على الأساس 16.