Tema : DETERMINANTES

1. UPC Universidad Peruana de Ciencias Aplicadas Laureate International Universities* TÓPICOS DE MÁTEMATICA 1 MA112 EPE Tema : DETERMINANTES

2. HABILIDADES: 1.Describe el concepto de determinante a partir de su definición. 2.Describe las propiedades más importantes de la función determinante. 3.Explica la relación entre el valor del determinan- te de una matriz cuadrada y su singularidad.

3. INTRODUCCIÓN: Hace aproximadamente 2000 años que los matemáticos chinos conocian bien el concepto de determinante. Habían encontrado una relación entre los coeficientes de sistemas de ecuaciones lineales y la solución de dichos sistemas. En el mundo occidental, los determinantes fueron empleados primeramente por Gottfried Wilhen Leibniz en 1693.

4. DETERMINANTE DE UNA MATRIZ DETERMINANTE DE LA MATRIZ DE 1x1 Sea A una matriz de orden n , si n=1 se tiene: A=[a], det A= a DETERMINANTE DE LA MATRIZ DE 2X2 Se llama determinante de la matriz A de orden 2 al número a11.a22-a12.a21 y escribimos:

5. + - Determinante de una matriz de orden 3 En el caso de matrices cuadradas de orden 3, también podemos calcular el determinante de la siguiente manera: • Copie la primera y segunda columna de la matriz a su derecha:

6. Ejercicios 1. Evalúe el determinante de las siguientes matrices: 2. Para que valor de a el determinante es cero:

7. MENOR DE UNA MATRIZ Si A es una matriz de orden nxn, se llama ij- ésimo menor de A a la matriz: Mij de orden (n-1)x(n-1) que se obtiene al eliminar la fila i y la columna j de A.

8. Cofactor Sea Auna matriz de orden n>1. Se define el cofactor correspondiente al elementoai,j , que se denota por Ai,j, como el número dado por: observemos que los menores Mi,json matrices de orden(n-1)

9. Determinante Sea A=(aij ) una matriz de orden n>1. Se define el determinante deA , que se denota por det(A) ó |A|, como el número: que se denomina desarrollo por los cofactores de la primera fila. Recuerde que: Este desarrollo se puede aplicar a cualquier fila o columna de la matriz

10. Ejercicios • Evalúe el determinante de las siguientes • matrices:

11. PROPIEDADES DE LOS DETERMINANTES 1.Determinante de la transpuesta Si A es cualquier matriz cuadrada, entonces: det(A)= det(A ) t 2.Si B se obtiene INTERCAMBIANDO dos filas de A, entonces el determinante cambia de signo: det B = - det A (OPERACIÓN ELEMENTAL 1) 3. Si B se obtiene MULTIPLICANDO una fila de A por el escalar c, entonces el determinante queda multiplicado por c. det B = c (det A) (OPERACIÓN ELEMENTAL 2)

12. 4. Si B se obtiene sumando a una fila de A un múltiplo de otra fila de A, entonces el determinante no se altera det B = det A (OPERACIÓN ELEMENTAL 3) 5.Determinante de una matriz triangular El determinante de una matriz triangular está dado por el producto de los elementos de su diagonal.

13. 6. Determinante de la inversa Si A es no singular, entonces det(A) 0, y : = Es decir una matriz tiene inversa si su determinante es diferente de cero. Si el determinante de una matriz es cero , la matriz no tiene inversa.