ORAN KONUSUNUN KAVRAMSAL ÖĞRENİMİNDE KARŞILAŞILAN ZORLUKLAR VE ÇÖZÜM ÖNERİLERİ

1. ORAN KONUSUNUN KAVRAMSAL ÖĞRENİMİNDE KARŞILAŞILAN ZORLUKLAR VE ÇÖZÜM ÖNERİLERİ

2. ORANTISAL DÜŞÜNEBİLME YETENEĞİ ORAN VE ORANTI TOPLAMSAL VE ÇARPIMSAL İLİŞKİLENDİRME YAPABİLME YETENEĞİ NİTEL MUHAKEME VE NİCEL MUHAKEM ORAN KAVRAMININ İÇERDİĞİ NİTEL VE NİCEL(KANTATİF) MUHAKEME ÇEŞİTLERİ ORAN KAVRAMININ OLUŞTURULMASI SÜRECİNDE KARŞILAŞILABİLECEK MUHTEMEL KAVRAM YANILGILARI ORAN KAVRAMININ OLUŞTURULMASINDA KARŞILAŞILABİLECEK MUHTEMEL ÖĞRENME ZORLUKLARI ORAN KONUSUMDA KAVRAM YANILGILARI VE ÖĞRENME ZORLUKLARI ÜZERİNE ÇÖZÜM ÖNERİLERİ SONUÇ VE DEĞERLENDİRME KAZANIMLAR

3. Oran ve orantısal düşünebilme yeteneği fen ve matematik bilimlerinin temel taşlarından biri olup birçok temel matematiksel kavram ve konunun bel kemiğini oluşturur. Bunlar arasında en önemlileri ölçme, cebir, olasılık, trigonometri, istatistik ve geometridir. Ayrıca oran kavramı birçok yüksek matematiksel kavram ve konulara da taban teşkil etmektedir. Oran kavramı ve orantısal düşünebilme yeteneğinin alt yapısında birçok nicel ve nitel muhakeme çeşitleri yer almaktadır.

4. Öğrencilerin kavram yanılgıları ve öğrenme zorlukları ile karşılaşmalarının en önemli sebebi gerekli muhakeme çeşitlerinin yeterince kavrayamamaları ve uygulayamamalarıdır. Bundan dolayı bu bölümde oran kavramı ve orantısal düşünebilme yeteneğinin anlamı ile alt yapısını oluşturan muhakeme çeşitlerine de yer verilecektir.

5. Matematik eğitimi alanında oran ve orantısal düşünebilme yeteneği üzerine yapılan birçok çalışma vardır. Bu çalışmaların çoğu farklı yaş gruplarının öğrencilerin orantısal düşünmeyi gerektiren durumlarda hangi stratejilere başvurdukları üzerine yapılmışken birkaçı da oran kavramı ve oran konusunun kavramsal olarak öğrenilmesi üzerine odaklanmıştır. Bu çalışmalar arasında oran konusundaki kavram yanılgıları üzerine doğrudan odaklanan bir çalışma yoktur. Bu bağlamda, oran konusunda kavram yanılgıları ve öğrenme zorlukları üzerine konuşurken, şu ana kadar yapılmış çalışmaların bulgularından faydalanılacak ve bu bulgular kavran yanılgısı perspektifinden özel olarak ele alınıp yorumlanacaktır. Öncelikle orantısal düşünebilme yeteneği ele alınacak ve bu yetenek ışığında, daha sonra öğrencilerin oran kavramıyla ilgili kavram yanılgıları ve zorlukları üzerinde durulacaktır.

6. Genel bir ifade ile orantısal düşünebilme yeteneği, farklı ya da aynı ölçme uzaylarına ait çoklukların(nesnelerin) karşılaştırılabilmesi demektir. Çoklukların karşılaştırılabilmesi nicel ve nitel muhakemelerle birlikte çok yönlü düşünebilmeyi gerektirir. Ayrıca orantısal düşünebilme yeteneği, karşılaştırılan çoklukların aynı anda birbirlerine göre bağıl değişimlerini göz önünde bulundurarak karşılaştırmanın doğası hakkında yorumlama yapabilme ve karar verebilme yetisini de içermektedir. Buradan hareketle orantısal düşünebilme yeteneğinin, oran ve orantı kavramını da içeren kapsamlı bir matematiksel düşünce sistemi olduğunu söyleyebiliriz. ORANTISAL DÜŞÜNEBİLME YETENEĞİ

7. Orantısal düşünebilme yeteneğinin merkezini teşkil eden “karşılaştırma”da öne çıkan bazı özelliklerin ve karşılaştırmanın yapısının(içeriğinin) bilinmesi, orantısal düşünebilme yeteneğinin kazandırılmasında ve kavram yanılgılarının önlenmesinde önemli yer tutar. Dolayısıyla çoklukların karşılaştırılmasında öne çıkan ve karşılaştırmanın yapısını belirleyen özelliklerden ve oran kavramının içerdiği nicel ve nitel muhakeme çeşitlerinden bahsetmekte fayda görüyoruz.

8. Oran ve orantı kavramları birçok araştırmacı tarafından tanımlanmıştır. Bunlar arasında Thompson (1914) oran kavramına öğrenenler açısından yaklaşmış ve şu şekilde tanımlama yapmıştır: “Oran, farklı ölçme uzaylarına ait iki çokluğun çarpımsal olarak karşılaştırılması sonucu elde edilen bir ölçümdür.” Bu ölçümün genelleştirilmiş halini ise lineer fonksiyon olarak ifade etmiştir. Vergnaud ise oranı şu şekilde tanımlamıştır:”Aynı ölçme uzayına ait çoklukların çarpımsal olarak karşılaştırılması sonucu elde edilen ölçüme (birimsiz) oran denir. Bu iki araştırmacının yaklaşımlarını incelerken göze çarpan, oran kavramının birimli ve birimsiz oran olarak değerlendirilmiş olmasıdır. Thompson’ın tanımında “birimli oran”dan bahsedilirken, Vergnaud’un tanımında “birimsiz oran” söz konusudur. ORAN VE ORANTI

9. Bu iki yaklaşım oran kavramının öğrenilmesinde önemlidir. Bu nedenle bu husus daha sonraki bölümlerde ele alınacaktır. Orantı kavramını ise Lamon “aynı ilişkiyi gösteren iki oranın eşitliği” olarak tanımlanmıştır. Thompson’ın tanımından yola çıkarak “birimli oran”a bir örnek vermek gerekirse; 3 ölçek şeker ile 2 ölçek saf su karıştırıldığında, çözeltinin yoğunluğunu ya da ne kadar tatlı olduğunu matematiksel olarak ifade eden değer, 3/2=1,5 şeker/su şeklindedir. Bu değerin adı orandır ve oran bu çözeltinin yoğunluğunun ölçümüdür. Bu durumda oran birimlidir ve birimi şeker/su’dur.

10. Vergnaud’un tanımından yola çıkarak “birimsiz oran” için bir örnek vermek gerekirse; 6 tane masa tenisi topunun fiyatı 2,4 TL dir. 15 tane topun fiyatı nedir? orantı sorusunu düşünelim. Bu soruda 6 tane masa tenisi topu ile 15 tane masa tenisi topu ve 2,4 TL ile 6 TL nin karşılaştırılması durumunda aynı ölçme uzayına ait çokluklar karşılaştırılmıştır. Çünkü toplar kendi aralarında ve bu topların fiyatları olarak verilen TL ler de kendi aralarında karşılaştırılmıştır. Bu durumda orantı 6/15=2,4/6 olur ve oranlar ( 6/15 ile 2,4/6 ) birimsizdir.

11. Öte yandan, 6 tane masa tenisi topu ile buna karşılık gelen 2,4 TL karşılaştırılır ise oran 6/2,4 olur. 15 tane masa tenisi topu ile bu kadar masa tenisi topuna karşılık gelen 6 TL karşılaştırılır ise oran 15/6 olur. Bu şekilde farklı ölçme uzayına ait çokluklar karşılaştırılmış olur. Bu durumda orantı 6/2,4=15/6 olur ve oranlar, 6/2,4 ile 15/6 , ve oran birimi ise top sayısı/TL olur.

12. Bu örnekte dikkat çeken nokta, öğrenciye bu iki tanımın farkındalığının kazandırılabilmesinin yanında bu iki kazanımın desteklediği “bir orantıda içler/dışlar kendi aralarında yer değiştirebilir” kuralının verilebilmesidir. Bu örnekte verilen orantıda yer alan 15 sayısal değeri ile 2,4 sayısal değeri yer değiştirdiğinde orantı değişmemektedir. Aynı şekilde, birimli oran ve birimsiz oran tanımlarının farkındalığının önemli olduğu diğer bir husus bu iki oranın hem kendi içlerinde farklı kavram anlamları içermeleri ve hem de taban teşkil ettikleri fen ve matematik kavramlarının anlaşılmasında önemli olmalarıdır.

13. Ayrıca, birimsiz oran mesela geometrik şekillerin benzerliği veya ölçmede ön plana çıkarken, birimli oran yoğunluk, sıcaklık(Kelvin), hız gibi temel fen kavramlarında ön plana çıkmaktadır. Dolayısıyla, bu iki oran tanımının farkındalığının kazandırılması öğrencilerin oran ve orantı kavramlarını içeren durumlara hakim olmalarını sağlayacaktır.

14. Bu alt bölümde, toplamsal ilişki ve çarpımsal ilişkiyi düşünebilme becerisinin ne olduğu ifade edilecektir. Toplamsal ve çarpımsal ilişkilendirme yapabilme yeteneğine yer vermek istememizin birinci sebebi, ilköğretim seviyesindeki okullarımızda öncelikle toplama kavramının verilmesi ve daha sonra bu kavramı bir seviyeye kadar esas alan çarpım kavramının öğretilmesidir. Bu bağlamda, toplama kavramı, çarpımsal ilişkilendirme gerektiren durumlar üzerinde düşünürken öğrencilerin doğal olarak başvurdukları bir kavramdır. İkinci önemli sebebi ise, oran kavramının çarpımsal ilişkilendirme gerektiren bir kavram oluşudur. TOPLAMSAL VE ÇARPIMSAL İLİŞKİLENDİRME YAPABİLME YETENEĞİ

15. İlköğretim döneminde öğrencilerin geçtiği ilk düşünce sistemlerinden biri toplamsal ilişki kurabilme yeteneğidir. Toplamsal ilişki kurabilme yeteneğinin iki boyutu vardır. Bunlar kavramsal boyut ve sayısal işlem boyutudur. Aynı ölçme uzayına ait çoklukların bir araya getirilmesi, elde edilen miktarın toplam miktara eşit olması ve elde edilen miktarın bileşenlerinin birbirlerine göre mutlak ilişki içerisinde bulunduğunun bilinmesi kavramsal boyut ile ilgilidir. Elde edilen miktarın bileşenler açısından sayısal olarak ifade edilebilmesi ise işlemsel boyut ile ilgilidir. Bu bağlamda, aynı ölçme uzayına ait çokluklar somut çokluklardır ve bir araya getirilmeleri sonucunda elde edilen miktar yine aynı ölçme uzayına aittir.

16. Çok basit bir örnek üzerinden açıklayacak olursak, 3 bilye ile 5 bilye gösterilebilen somut çokluklardır ve bir araya getirilmeleri sonucunda oluşan miktar yine aynı ölçme uzayına ait 8 bilyeye eşit gelir. Bu üç çokluk arasındaki mutlak ilişkilendirebilme yeteneği ise bu üç çokluğun birbirlerine göre(eklenen) artan/azalan (çıkan) ilişkilerinin değerlendirilebilmesidir. 5 bilyenin 3 bilyeden 2 fazla olduğu, 8 bilyenin 5 bilyeden 3 fazla ve 3 bilyeden 5 fazla olması gibi.

17. Öğrencilerin ilköğretim döneminde geçtiği ikinci düşünce sistemi ise, çarpımsal ilişkilendirme yapabilme yeteneğidir. Çarpımsal ilişkiyi düşünebilme yetisi, çokluklar arsında göreceli yani bağıl bir ilişki olduğunu kavramayı gerektirir. Yine bilye örneğine dönecek olursak, çokluklar arasında bağıl bir ilişki olduğunun kavranması 3 bilyenin 5 bilyenin 3/5 ini teşkil ettiğinin ve 5 bilyenin 3 bilyenin 5/3 katı olduğunun düşünülebilmesi demektir. Diğer bir deyişle, “5 bilye, 3 bilye cinsinden 1.666” veya “3 bilye 5 bilye cinsinden 0.6 dır” türünden bir ilişki olduğunu kavramayı gerektirir. Çarpımsal ilişkilendirme yeteneğinin kazandırılması, bu düşünce sisteminin gerektiği yerlerde kullanılabilmesi açısından öğrencilere gerekli donanımı sağlamış olur. Bu bağlamda oran kavramının oluşturulmasında da kolaylık sağlar.

18. Oran kavramı doğası gereği çarpımsal ilişkilendirme kurulması gereken durumları içerir ve bu durumların farkındalığının geliştirilmesini gerektirir. Aksi takdirde kavram yanılgılarına zemin oluşturabilir. Oran kavramının çarpımsal ilişkilendirme ile bağıntısı daha sonraki alt başlıklarda ele alınacaktır. Ancak burada bu örnekle toplamsal ilişki kurabilme yeteneği ile oran kavramının ilişkisi üzerinde durmakta fayda görüyoruz. Daha sonra, kavram yanılgıları alt bölümünde yine toplamsal ilişki kurabilme ve oran kavramı arasındaki ilişki farklı örnekler verilerek incelenecektir.

19. Daha önce oran tanımları açısından incelediğimiz “ 6 tane masa tenisi topunun fiyatı 2,4 TL dir. 15 tane topun fiyatı nedir?” sorusu üzerinden düşünecek olursak, toplamsal ilişkilendirme bu sorunun çözümü için şu şekilde kullanılabilir: 6 top  12 top  15 top 2,4 TL  4,8TL  6 TL

20. ve toplamsal ilişkilendirme ile açıklaması şu şekilde gerçekleşebilir. 6 top 2,4 TL ise, 6 topa 6 top daha eklendiğinde 12 top elde edildiği için, 2,4 TL ye 2,4 TL daha eklenmelidir ki 12 topa verilen ücret bulunabilsin. Daha sonra 12 topa eklenmesi gereken top sayısı 15 toptan çıkarılarak bulunur ve 3 top olarak hesaplanır. Bu başlangıçtaki 6 toptan 3 küçüktür (veya yarısı kadar küçüktür) ve böylece 3 topa verilmesi gereken TL miktarı da 2,4 TL den yarısı kadar eksik yani 1,2 olacaktır. 15 topa, 12+3 olarak erişildiğinde; 4,8 TL’ye de 1,2 ekleyerek 6 TL ye ulaşılır. Görüldüğü üzere, toplamsal ilişkilendirme kurarak dahi olsa, orantı sorusuna çözüm getirilebilmektedir.

21. Burada üzerinde durulması gereken küçük ama önemli bir nokta “yarısı” ifadesinin çarpımsal ilişkilendirme gerektiren bir ifade oluşudur. Bazı araştırmacılar “yarısı” ifadesinin ilköğretim döneminin çok daha öncesinden itibaren kullanılmasına ve öğrenciler için bu ifadenin yerleşmiş bir anlam taşımasından dolayı otomatikleşmiş olmasına dikkat çekmektedir. Ayrıca önemli olan yarım ifadesinin kullanımından sonra yine toplam olarak çözüme ulaşılması ve öğrencinin sorunun çözümüne genel olarak toplamsal bir ilişkilendirme kurarak gitmesidir.

22. Bu alt bölümde nitel muhakeme ve nicel muhakeme ifadelerinin hangi anlamlarda kullanıldığına açıklık getirilmektedir. Nitel muhakeme gücünden kasıt eldeki olayın incelenerek çokluklar arasında birbirlerine göre nasıl bir ilişki olduğunun farkına varılmasıdır. Örneğin, “Dikdörtgen şeklindeki bir bahçenin uzun kenarı 125 metre ve kısa kenarı 110 metredir. Bu bahçenin uzun kenarı ve kısa kenarı 2’şer metre uzatılıyor. Buna göre, a)Bahçenin çevresi kaç metre uzar? b)Bahçe daha fazla mı yoksa daha az mı kareye benzer? NİTEL MUHAKEME VE NİCEL MUHAKEME

23. Öğrenci, “a” seçeneğinde uzunluk ile toplamda bir değişimden bahsedildiği ve dolayısıyla çokluklar arasında mutlak bir ilişkilendirme söz konusu olduğu gözlemine dayanarak, toplamsal bir ilişkilendirme kurmak durumundadır. Öte yandan “b” seçeneğinde, “alan kavramı” ile ilgilenildiği için uzunlukların birbirlerine göre bağıl durumlarının incelenmesi ve dolayısıyla her iki uzunluğun da aynı anda ele alınması gereği düşünülmelidir. Tüm bu gözlemler “nitel muhakeme gücü”ne örnek olarak gösterilebilir.

24. Nicel muhakeme gücü ise, eldeki olayın (yani üzerine düşülen durumun) hangi sayısal değerlendirme yapılarak incelenmesi (ölçülmesi) gerektiğine karar verme yetisidir. Bahçe örneği üzerinden düşünecek olursak, nicel muhakeme yapabilmek iki şekilde gerçekleşir. Birincisi, bahçenin çevresinin 8 metre uzadığını, uzunluklara 2’şer metre ekleyerek ölçmektir. İkincisi ise, orijinal durumdaki dikdörtgenin kenar uzunlukları arasında 110/125 bağıl ilişkisinin olduğunu ve yeni durumdaki dikdörtgenin kenar uzunlukları arasında ise 112/127 bağıl ilişkisinin olduğunu belirleyerek, hangi oranın 1’e daha yakın olduğuna dair bir karşılaştırma yapabilmektir. Ancak bu karşılaştırma sonucunda yeni şeklin daha çok karesel ya da daha az karesel bir bölge oluşturduğu bulunabilir.

25. Bu alt bölümde orantısal düşünebilme yetisinin bel kemiğini oluşturan “çoklukların karşılaştırılması” ve “karşılaştırmanın doğası” üzerinde durulacaktır. Çoklukların karşılaştırılması nitel ve nicel muhakeme gücü ile yakından ilişkilidir. Oran kavramı ve orantısal düşünebilme yeteneğinin alt yapısını oluşturan nitel muhakeme, yapısal benzerlik farkındalığı ekseninde ele alınacaktır. Nicel muhakeme ile çoklukların karşılaştırılması konusu işlenirken, kovaryasyon, invaryasyon(değişmezlik) ile transformasyon kavramları üzerinde durulacaktır. ORAN KAVRAMININ İÇERDİĞİ NİTEL VE NİCEL (KANTATİF) MUKAKEME ÇEŞİTLERİ

26. Yapısal Benzerlik Farkındalığı Çoklukların karşılaştırılmasında öne çıkan ve nitel muhakeme gerektiren özellik, yapısal benzerliği fark edebilmektir. Yapısal benzerliği fark edebilmek şu şekilde açıklanabilir: Karşılaştırılan çokluklar bir durumu (durumun bir özelliğini) ifade eder ve orijinal durumu ifade eden bu özellik çoklukların sayısal değerlerinden bağımsızdır. Bu bağlamda, durumun özelliği homojen bir yapıya sahiptir ve karşılaştırılan çokluklar ne olursa olsun değişmezlik gösterir. NİTEL MUHAKEME ÇEŞİTLERİ

27. Örneğin; bir otomobilin ortalama hızı 30 km/s olsun. Buradaki ölçüm (30 km/s) otomobilin hareketini ifade eder. Yolculuk süresi ve mesafesi ne olursa olsun, hareketin doğası değişmez ve ortalama hareket ölçümü 30 km/s olarak kalır. Başka bir örnek vermek gerekirse, bir limonatanın ne kadar ekşi (limoni) olduğu bu limonatanın farklı miktarlarına bağlı olarak değişim göstermez. Aynı limonatadan alınan küçük bir miktarın veya büyük bir miktarın tadı yine aynı ekşilikte olacaktır. Aynı şekilde bir kekin ne kadar tatlı olacağı veya bir çözeltinin ne kadar çözünür olacağı orijinal durumu oluşturan çoklukların farklı değerleri karşısında değişmezlik göstermek durumundadır. Yani kekten alınan farklı miktardaki örneklerin tadı veya orijinal çözeltiden alınan farklı örneklerin çözünürlüğü yine aynı olacaktır.

28. Yapısal benzerlik nitel anlamda olduğu gibi nicel anlamda da fark edilebilir. Daha önce de bahsedildiği üzere, orantısal düşüncenin hakim olduğu durumlar toplamsal değil çarpımsal ilişkilendirme gerektiren durumlarda ve üzerine düşünülen durumun çarpımsal ilişkilendirme mi yoksa toplamsal ilişkilendirme mi gerektirdiğini kişinin fark edebilmesi şarttır. Ancak bu şekilde kişi, durum (ele alınan ve incelenen olay)hakkında doğru matematiksel muhakeme geliştirebilir.

29. Öğrenciler öncelikle, oranı ifade eden çoklukları tekrarlı ekleme (tekrarlı toplama) yaparak, nitel anlamda yapıyı bozmadan yeni durumlar oluşturabileceklerini kavrarlar. Örneğin; “3 kalem 7 TL ederse, 9 kalem kaç TL eder?” sorusunun çözümünü, yapısal benzerliği nicel olarak tekrarlı ekleme yapacak şekilde fark eden öğrenciler, 3 6 9 7 14 21 şeklinde ifade ederler. Diğer bir deyişle, öğrenciler “her 3 kalem 7 TL eder” ilişkisini ve bu ilişkinin değişmezliğini (korunurluğunu) kullanarak çözüme ulaşırlar.

30. Kovaryasyon (Birlikte Değişim) Çoklukların karşılaştırılabilmesinde öne çıkan nicel özelliklerden biri, çoklukların (nesnelerin) birbirine bağıl olarak (göreceli) değişiminin göz önünde bulundurulabilmesidir. Bu durum literatürde kovaryasyon olarak bilinir. Çoklukların birbirine göreceli olarak değişimi, çarpımsal ilişkinin aynı anda değişim gösteren çokluklara uygulanabilmesini içerir. Daha açık bir ifade ile, kovaryasyon, oranı gösteren kesirsel ifadenin faklı değerler alması durumunda, çoklukların aynı anda değişim (varyasyon) gösterdiğinin ve farklı değerlerin çarpımsal bir ilişki ile birbirlerine bağlı olduklarının kavranabilmesi demektir. NİCEL MUHAKEME ÇEŞİTLERİ

31. Örneğin; saatte 30 km hızla giden bir aracın, tüm yolculuk boyunca ortalama hızının 30 km/s olduğunun kavranabilmesi, yolculuğun süresi ile alınan yol arasında birbirine bağlı ve eş zamanlı bir ilişkilendirme olduğunun anlaşılmasını gerektirir. Diğer bir deyişle, her 100 metrenin 0.2 dakikada veya 500 metrenin 1 dakikada alındığının bilinmesini gerektirir. Daha net bir ifade ile, yolculuğun süresi kendi içinde ve alınan yol kendi içinde miktar olarak çarpımsal bir ilişki içindedir ve bu ilişki eş zamanlı bir şekilde yolculuğun süresi ile alınan yol arasında da kaydedilir.

32. Aracın saatte ortalama 30 km hızla gittiğinin kavranması, dolayısıyla, yolculuk süresinin ve alınan yolun sonsuz küçük parçalarına da aynı ilişkinin (çarpımsal) yayıldığının (difüzyon) anlaşılmasını gerektirir. 100 metre 500 metre 5,000 metre 15 km 30 km 0.2 dakika 1 dakika 10 dakika 30 dakika 60 dakika

33. Değişmezlik Oran kavramının kavramsal olarak anlaşılması noktasında önemli olan diğer bir nicel düşünce çeşidi değişmezliktir. Orantısal düşünce gerektiren durumlarda iki çeşit değişmezlik söz konusudur. Birincisi, daha önce yapısal benzerlik bölümünde de bahsedildiği üzere, oranın ifade ettiği durumun özelliğinin değişmezliğidir ve bu özelliği ölçen matematiksel ifadenin (değerin) oran olduğudur.

34. Örneğin; duvara dayanan bir merdivenin eğiminin (rampasının) ölçümü, merdivenin farklı noktalarında değişim göstermez. Aynı şekilde, bir çözeltideki tuz yoğunluğu çözeltinin miktarı ile değişim göstermez, aynı kalır. Yani, aynı çözeltiden alınan farklı örneklemelerde miktar değişmesine rağmen, tuz yoğunluğu aynı olacaktır ve bu yoğunluğu ölçen matematiksel ifade orandır. Başka bir örnek verecek olursak, bir miktar işi belirli bir sürede bitiren bir işçi, aynı işin daha az bir miktarını daha az bir sürede tamamlayacaktır ama çalışma hareketinin doğası (yani hızı) değişmeyecektir.

35. İkinci değişmezlik ise, oranı ifade eden değerlerin birbirlerine göre bağıl durumlarıdır. Yani, oranı gösterirken kullanılan kesirsel ifadenin pay ve paydasının birbirine bölümünün sonucunda oluşan bölüm (yani oran), pay ve paydada gösterilen iki çokluk arasındaki değişmez ilişkiyi gösterir. Örneğin; “6 tane masa tenisi topunun fiyatı 2,4 TL dir. 15 tane topun fiyatı nedir?” orantı sorusunu düşünelim.

36. Bu soruyu çözerken öğrenci eğer 6 tane masa tenisi topu ile 2,4 TL arsında 6/2,4 yani 2,5/1 oranı olduğunu, 2,5 sayısal değerinin iki çokluk arasındaki çarpımsal ilişkiyi gösterdiğini ve bu ilişkinin değişmezliğini bilirse, bu bilgiyi sorunun çözümünde şu şekilde kullanabilir: 15 tane masa tenisi topu ve bu sayıdaki masa tenisi topunun TL ederi arasında bu ilişkinin olması gerekir. Dolayısıyla, 15 sayısal değerini 2,5 değerine bölerek 15 tane masa tenisi topu için kaç TL ödenmesi gerektiği bulunabilir. Yani 15/2,5=6 TL eder. Bu şekilde çözüme ulaşılması, aslında öğrencinin oran kavramını iki değişken arasındaki lineer bir bağıntı (yani y=mx lineer fonksiyonu) olarak algıladığının göstergelerinden biridir.

37. Dönüşüm (Transformasyon) Orantısal düşünebilme yeteneği aynı zamanda dönüşüm (transformasyon) kavramını da beraberinde getirmektedir. Dönüşüm aynı zamanda eşitlik kavramını da içerir. Diğer bir deyişle, oranı gösteren kesirsel ifadenin pay ve paydası aynı sayı ile çarpılıp (veya bölünerek) genişletilebilir ya da sadeleştirilebilir. Bu bağlamda, eşit oranların işlemsel olarak elde edilişi ile eşit kesirlerin işlemsel olarak elde edilişi aynıdır.

38. Basit bir örnek vermek gerekirse 3/4=6/8, orantısında 6/8 oranı, 3/4 oranının hem payının hem de paydasının 2 ile çarpılarak genişletilmesi sonucu elde edilmiştir. Yani 3/4 oranı 6/8 oranına dönüşmüştür. Bu oranlar gösterimsel olarak farklı olmasına rağmen aynı değişmez ilişkiyi ifade etmektedir. Başka bir örnek vermek istersek, 3/4=6/8 orantısında birinci oran, 3/4 ifadesinde, 3 sayısal değerinden 1 çıkardığımızı düşünelim. Bu durumda oran 2/4 halini alır. Bu durumda, ikinci oran olan 6/8 ifadesindeki 6 sayısından çıkarılması gereken sayısal değer 2 olmak zorundadır.

39. İkinci oran ifadesindeki 6 sayısal değeri, birinci oran ifadesindeki 3 sayısal değerinin 2 katı alınarak dönüşüme uğradığı için, 6 sayısal değerinden çıkarılması gereken sayısal değer aynı şekilde 3 sayısal değerinden çıkarılan 1 sayısal değerinin 2 katı alınarak dönüşüme uğramak durumundadır. Yani çıkarılması gereken sayısal değer 2’dir. Dönüşüm kavramının anlaşılmaması durumunda ciddi öğrenme yanılgıları ortaya çıkmaktadır.

40. Yukarıda açıklanmaya çalışılan tüm öğeleri (nicel ve nitel muhakeme çeşitleri) ele alarak orantısal düşünebilme yeteneğini tekrar ve geniş bir şekilde tanımlamak istersek: “Orantısal düşünebilme yeteneği, yapısal benzerlik, kovaryasyon, değişmezlik ve dönüşüm kavramlarının tek tek farkındalığının kazandırılması ve ilişkilendirilmesi ile aynı veya farklı ölçme uzaylarına ait çoklukların (nesnelerin) karşılaştırılabilmesidir.

41. ORAN KAVRAMININ OLUŞTURULMASI SÜRECİNDE KARŞILAŞILABİLECEK MUHTEMEL KAVRAM YANILGILARI

42. Oran kavramıyla ilgili kavram yanılgıları, daha önce açıklanan nicel ve nitel muhakeme çeşitleri göz önünde bulundurularak incelenecektir:

43. Toplamsal ilişki kurabilme yeteneğinin,oran kavramının başlangıç evresinin oluşturmasından ziyade kavram yanılgılarından biri olduğu görüşündedir(Lesh ve ark.,1988) Heinz (2000) sınıf öğretmeni adaylarıyla yaptığı çalışmasında öğrencilere şu soruyu sormuştur:’ 3 sarı limon ve 2 yeşil limondan oluşan karışımın limon yoğunluğu ile 4 sarı limon ve 3 yeşil limondan oluşan karışımın limon yoğunluğunu (ne kadar ekşi olduğunu) karşılaştırınız.’ Heinz bu soruyu sorarken birinci karışımı göstermek üzere 3 tane sarı renkli lego ve 2 yeşil renkli lego;ikinci karışımı göstermek üzere 4 sarı renkli lego ve 3 yeşil renkli lego kullanmış ve öğrencilerden sadece verilen legolar üzerinden düşünmelerini ve hiçbir işlmsel çözüme gitmemelerini istemiştir.

44. İşlemsel çözüme gidemeyen bazı sınıf öğretmeni adaylarının verdikleri cevaplarda açığa çıkan kavram yanılgıları düşündürücüdür: Bu öğrenciler iki karışımın da aynı derecede yoğunluğa sahip olduğunu çünkü her iki karışımda da sarı limon sayısının yeşil limon sayısından “bir” fazla olduğunu ifade etmişlerdir.

45. Bu öğrenciler çarpımsal ilişkinin kullanılmasını gerektiren bi durum da (limonata nın tadını ne kadar ekşi olduğunun belirlenmesi ) toplumsal ilişki kurarak değerlendirmeye gitmişlerdir. Aslında 3 sarı limon ve 2 yeşil limondan oluşan karışımın limon yoğunluğu 1,5 sarı limon/yeşil limon dur.bu her yeşil limon için 1,5 sarı limon olması gerektiğini ve sarı limon sayısının yeşil limon sayısı üzerinden,(yeşil limon sayısına bağıl değerinin) 1,5 olduğunu gösterir(Heinz,2000). Aynı şekilde 4 sarı limon ve 3 yeşil limondan oluşan karışımın limon yoğunlusğu 1.33… sarı limon sarı limon/yeşil limon dur.bu her yeşil limon için 1.33… sarı limon olması gerektiği ve sarı limon sayısının yeşil limon sayısına bağıl değerinin 1.33… olduğunu gösterir.bu durumda birinci karışım yani 3 sarı limon ve 2 yeşil limondan oluşan karışım daha limonidir (sarı limonun yeşil limona göre yoğunluğu daha fazladır ve dolayısıyla daha ekşidir).

46. Aynı türden yanılgı yine sınıf öğretmeni adayları ile yapılan bir başka çalışmada da rapor edilmiştir (Simon & Blume, 1994). Simon &Blume çalışmalarında öğrencilerden,farklı kenar ölçüleri verilen dikdörtgenlerden hangisinin kareye daha yakın olduğunu belirtmelerini istemiş ve “hangisi daha kare’”şelinde bir soru sormuşlardır: Öğrencilerin hemen hepsi verilen dikdörtgenlerin uzunlukları arasındaki farkı bulup,hangisi daha kare sorusunu toplamsal ilişkilendirme (artan/azalan ilişki ) ile değerlendirmişlerdir.göze çarpan kavram yanılgısı yine çarpımsal ilişki kullanılarak (uzun kenar ile kısa kenarın göreceli durumu) değerlendirilmesi gereken durumda kareselliğin ölçümünü ifade eden oran yerine toplamsal ilişki kullanımının ön plana çıkmasıdır.

47. **Kovaryasyon Ve Dönüşümle İlgili Öğrenci Yanılgıları Kavram yanılgıları sadece çarpımsal ilişki gerektiren durumlara toplamsal ilişkinin uygulanması durumunda ortaya çıkmaz!

48. Karplus ve arkadaşları (1983) bir 7.sınıf öğrencisi ile yaptıkları çalışmada öğrenciden boyutları 2 cm ve 3 cm olarak verilen bir dikdörtgeni şekli koruyarak genişletilmesini istemişlerdir. Öğrenci başlangıçta verilen dikdörtgenin boyutlarını iki katına çıkarmış ve 4 cm ve 6 cm ölçülerinde bir dikdörtgen elde ederek soruyu doğru yanıtlamışlardır. 3 cm 2 cm 6 cm 4 cm

49. Bu öğrenciden dikdörtgeni şekli koruyarak yeniden genişletmesini ve bu sefer uzun kenarın ölçüsünü 9 cm olarak bulmasını istemişlerdir.öğrencinin verdiği cevapta uzun kenarın ölçüsü 9 cm iken kısa kenarın ölçüsü 7 cm olmuştur: 6 cm 4 cm 9 cm 7 cm

50. Öğrencinin açıklaması “eğer 6 cm yi iki katına çıkarsa idim 12 cm olcaktı,o yüzden 3 ü ekledim böylece 9 a ulaştım” olmuştur.Burada öğrencinin 6 cm’ye 3 cm ekleyip 9 cm’yi bulması düşündürücü olan kısım değildir.Düşündürücü olan kısım 4 cm’ye de 3 cm ekleyerek 7 cm’yi bulmuş olmasıdır. Eğer öğrenci orantısal düşünebilme yeteneğine sahip (yani oran kavramını öğrenmiş ) olsa idi,4 cm ye eklemesi gereken ölçümün 2 cm olması gerektiğini bilecektir.Ama öğrenci tamamen toplamsal muhakeme ile her iki boyutun uzunluğunu 3’er cm genişleterek cevabına ulaşmıştır.Yani öğrenci dikdörtgenin iki boyutunda aynı anda bir değişimin söz konusu olduğunu kavramış,ama bu değişimin çarpımsal bir ilişkilendirme (kovaryasyon ) gerektirdiği noktasında eksik kalmıştır.