Hoofdstuk 4: Een 2 e orde systeem

1. Hoofdstuk 4:Een 2e orde systeem ISBN 9789043018111

2. Massa-veer-demper systeem Wat gebeurt als: • Massa omhoog • k omlaag • c omlaag • F omlaag • Frequentie omlaag (Labview model) Wat als de kracht opeens stopt?

3. Waarom is een massa-veer-dempersysteem een 2e orde systeem? • Vergelijking: • Na Laplace transformatie: • Overdrachtsfunctie:

4. Eigenfrequentie, Resonantiefrequentie en gedempte eigenfrequentie • Eigenfrequentie: Frequentie waarbij maximaal meetrillen als demping=0 • Resonantiefrequentie: Frequentie waarbij maximaal meetrillen als demping<>0 • Gedempte eigenfrequentie: Frequentie waarmee de trilling uitdempt als de trillingsoorzaak verdwijnt (staprespons) • Wat kan gebeuren?

5. Opslingering is afhankelijk van de frequentie • Bode-diagram geeft de evenwichtstoestand (steady-state) • In Matlab: >>m=1;c=0.1;k=1; B=tf([1],[m c k]); bode(B) • NB in Db/ logaritmisch • Amplitudeversterking en faseverschuiving

6. Bode-diagram 2 • Zelfde diagram met absolute waarde (rad/s)

7. Invloed van β • De β is de dempingsfactor • β bepaalt de opslingering en de verschuiving van de resonantie-frequentie t.o.v. de eigenfrequentie

8. Wat als de resonantiefrequentie nul wordt? • ωr=0 als β≥1/2√2

9. Doorschot • Doorschot is dus afhankelijk van de demping • Doorschot is nul als β≥1 (kritische demping)

10. Piektijd en insteltijd(settling time) (de halve periodetijd)

11. Variabel 2e orde systeem • Let op; gereduceerde vergelijking= evenwichtssituatie (statische invering) niet meegenomen • Labview model: • Kp, ω0 en βveranderen • K, c en m veranderen • Animatie: • Kp, ω0 en βveranderen • K, c en m veranderen

12. Polen • Bij een nulpunt van de noemer = pool wordt de overdrachtsfunctie G(s) oneindig. Voorbeeld s2 + 0,1.s + 1 = 0 als:

13. Staprespons 2e orde systemen • Voorwaarde daarvoor is dat • Omdat volgens de normaalvergelijking geldt c = 1 => => • Als β≥1 heeft het 2e orde systeem 2 reële polen=> het is een serieschakeling van twee 1e orde systemen β≥1 => τ1 = τ2 • Als β<0=> doorschot

14. Pn -figuur • Eerder bleek: • Inverse Laplace transformatie levert een respons A.ep.t • p is de positie van de pool. Als deze positief is wordt de respons op den duur oneindig (instabiel)

15. Staprespons • Het doorschot is afhankelijk van de verhouding (λ/ωd): • De piektijd is afhankelijk van ωd: TP=π/ωd • De insteltijd is afhankelijd van λ: • => De λ en ωd van de pool bepalen de staprespons van het systeem

16. Invloed van de ligging van de polen op een staprespons van een 2e orde systeem. • Aan de positie van de dominante pool zie je: • Stabiliteit • Doorschot • Piektijd • Insteltijd

17. Poolbaan • Een poolbaan geeft de positie van de polen van het tegengekoppeld systeem afhankelijk van de versterking • => reactie bij P-regeling • Als G(s)/Ti.s=> Reactie bij PI- Regeling afh. Van KR

18. Instellen regelaar • Trial and error (model en animatie) • Open systeem => KP bepaald de eindwaarde • Tegengekoppeld systeem => • Prop.regelaar C=P =>als t=>∞ H=P.KP/(1+P.KP) • PI of PID +I/s => H=∞/(1+∞) =1

19. DS-methode • Gedrag als 1e orde systeem • NB maximale versnelling in t=0 (Tv=0) • Gedrag als 2e orde systeem • Niet mogelijk met PID

20. Cascaderegelaar • Overdrachtsfunctie Cascaderegelaar: • Stel • Als τd= τ2 blijft een PI-geregeld 1e orde systeem over • Als ook τi= τ1, dan is het gedrag als van een 1e orde systeem • Andere regelmethoden komen in hoofdstuk 11 aan bod