Cooling of the Earth

1. Cooling of the Earth A parameterized convection study of whole versus layered models

2. Gliederung 1. Einleitung 2. Parameter Modellierung 3. Ganz – Mantel – Konvektion 3.1. Modellaufbau 3.2. Ergebnisse 4. Schichten - Mantel - Konvektion 4.1. Modellaufbau 4.2. Ergebnisse 5. Diskussion und Schlussfolgerung

3. 1. Einleitung

4. Unterschiede zwischen Basalten an MOR und ozeanischen Inseln → zwei „Reservoire“ im Erdmantel: oberer und unterer Mantel • Phasenübergang bei 670 km Tiefe • Bringt numerische Probleme und Widersprüche mit Modellierungen → Lösung : Grenzschicht bei 1600 km Tiefe → solch eine Schicht könnte vorhanden sein!!!!!

5. Heutiges Thema: • Ist diese Modellvorstellung konsistent ? Beantwortung durch Benutzung von parameterisierten Konvektionsmodellen möglich

6. 2. Parametermodellierung

7. Fundamentale Vorraussetzungen • Grenzschichtmächtigkeit D = Mächtigkeit der Konvektionsschicht Rac = Kritische Rayleighzahl Ra = Rayleighzahl β = Konstante

8. Rayleigh – Zahl α = thermische Expansivität ρ = Dichte g = Gravitationskonstante ΔT = Temperaturabfall über die Konvektionsschicht k = thermische Diffusionsvermögen η(T) = Viskosität in Abhängigkeit von der Temperatur

9. Wärmefluss ΔTδ = Temperaturabfall über die thermische Grenzschicht K = thermische Leitfähigkeit

10. Werte für βund Rac sind sehr umstritten → angesichts der Ungenauigkeit betrachten wir einen Bereich für diese Werte → Ansatz nützlich den Bereich auf akzeptable Werte zu reduzieren

11. 3. Ganz - Mantel - Konvektion

13. 3.1. Modellaufbau • Energiebilanz : V = Volumen ρ = Dichte cp = spezifische Wärme T = Durchschnittstemperatur Q = Wärmeproduktion pro Einheit Volumen ABoden = Fläche der Bodenschicht ADecke = Fläche der Deckenschicht

14. Wärmeproduktion Qi = Wärmeproduktion jedes Isotops Hi´ = Wärmeproduktion pro Masse des radioaktiven Materials Ri = Verhältnis der Isotopenanteile zu Uran [U] = Uran Konzentration t0 = Alter der Erde λi = Zerfallskonstante

15. Viskositätsgleichung η0 = Vorfaktor, der auch als Minimusviskosität aufgefasst werden kann E = Aktivierungsenergie R = Gaskonstante T = Mittlere Schichttemperatur

16. Weitere Annahmen: • Isolierte Bodenschicht • Somit qin = 0 in der Energiebilanz • Integration der Energiebilanzgleichung mit der 4 – stufigen Runge – Kutta – Methode Damit beginnt die Berechnung

17. Start : Anfangstemperatur von 3200 K • Variation der Parameter: • β von 0.1 bis 0.33 • Zwei Endgliedwerte für Rac bei 1100 und 87.79 • Zwei Endgliedwerte für E bei 0 und 525 KJ/mol) • Für jede Gruppe Variation von Viskositätsfaktor η0 und von Konzentration des radioaktiven Elementes • Resultierende Temperatur = primärer Test → Aussonderung von Parameter bei • Durchschnittstemp. > als 4000 K • Durchschnittstemp. < als 1500 K

18. 3.2. Ergebnisse • Ein kleiner Rückblick: Analytischer Ausdruck für Temperatur möglich • Ersetzung von Ra und für

19. So erhällt man: qheute = heutiger Wärmefluss D = Mächtigkeit der Konvektionsschicht K = thermische Leitfähigkeit k = thermische Diffusionsvermögen ηheute = Viskosität in Abhängigkeit von der Temperatur Rac = Kritische Rayleighzahl α = thermische Expansivität g = Gravitationskonstante ρ = Dichte β = Konstante Tob = Oberflächentemperatur

21. Thermische Entwicklungen von zwei Berechnungen • a) Temperaturenwicklung • b) Wärmeflussentwicklung • c) Wärmeproduktionsentw. • Für beide: • Rac = 1100 • η(Theute) = 10^21 Pa s • β = 0.3 • Blau: isoviskos (E=0 KJ/mol) • Rot: Temperaturabhängig (E=525 KJ/mol)

22. anfänglich starke Abkühlung, dann langsamer Temperaturfall • Abkühlung langsamer (fast linear); niedriger Wärmefluss • Urey – Verhältnisse: • 0.17 • 0.88

24. Ergebnisse für die Werte der Rayleigh – Zahl • a) Rac = 1100 • b) Rac = 87,79 • Kurve: Berechnung mit Gleichung für Theute • Symbole: Werte von Modell • Kleine β: extrem hohe Manteltemperaturen • Hohe η : höhere Manteltemperaturen

25. Endergebnis: • Es ergibt sich ein breiter Rahmen, der Manteltemperaturen in dem geforderten Raum hervorbringt

26. Frage: Ergeben sich gleiche bzw. ähnliche Ergebnisse bei der Schichten – Mantel – Konvektion ?????

27. 4. Schichten - Mantel - Konvektion

29. 4.1. Modellaufbau • Testen von zwei Modellen • A) Beide thermischen Grenzschichten der oberen und unteren Konvektionsschicht sind symmetrisch in ihrer Dicke • B) untere thermische Grenzschicht in der oberen Konvektionsschicht verschwindet END – MEMBER – SITUATIONS

30. A) isoviskose Konvektion, die vollkommen von Unten erwärmt wird → hohe isolierende Wirkung der Grenzschicht • B) Konvektion wird vollkommen von Innen erwärmt → niedrigere isolierende Wirkung der Grenzschicht END – MEMBER – SITUATIONS

31. a) B • b) A • Q sind Wärmeflüsse • D sind Schichtdicken

32. Berücksichtigung des Kernes: • Isolierende Grenzbedingung am Boden des Mantels

33. Energebilanz V = Volumen ρ = Dichte cp = spezifische Wärme T = Durchschnittstemperatur Q = Wärmeproduktion pro Einheit Volumen ABoden = Fläche der Bodenschicht ADecke = Fläche der Deckenschicht • in untere Schicht qin= 0 in oberer Schicht qin= qaus

34. Wärmeflüsse über jede Grenzschicht

35. Rayleighzahl für jede Schicht

36. Modifizieren der Urankonzentration • Th/U und K/U Verhältnisse konstant halten • Festlegung: • Dichteunterschied von 5 % zwischen den Schichten

37. 4.2. Ergebnisse • Thermische Entwicklung der 2 Programmabläufe • Rac = 1100 • ηheute = 10^20 Pa s • β = 0.25

39. Obere Schicht Kurze Periode starker Abkühlung dann langsame bis heute Untere Schicht Anfängliche Erwärmung Von Abkühlung gefolgt Temperaturresultate erfüllen Beschränkungen Verschwinden der thermischen Grenzschicht der oberen Schicht

41. Obere Schicht • Größere anfängliche Abkühlung • Untere Schicht • Stärkere anfängliche Erwärmung • Temperaturresultate erfüllen Beschränkungen nicht Alle Grenzschichten in symmetrischer Dicke

42. Rote Kreise: Schicht zu heiß • Blaue Vierecke: Schicht zu kalt • Grüne Sterne: Temperaturbedingungen erfüllt

43. Große Temperaturunterschiede über die inter – Mantel Grenze (teilweise über 1000 K) Viskositätenfaktor der unteren Schicht muss viel größer als der von der oberen

44. Endergebnis • Parameterraum extrem beschränkt im Gegensatz zur Ganz – Mantel – Konvektion

45. 5. Diskussion und Schlussfolgerung

46. Zusammenfassung • Parameterraum G – M – K > Parameterraum S – M – K • S – M – K: nur akzeptable Ergebnisse, wenn thermische Grenzschicht zwischen den Schichten verschwindet • Aber: es müssen Ergebnisse erwartet werden, die zwischen beiden Betrachtungen liegen

47. β in S – M – K konstant gehalten • Vergrößerung von β • Verkleinerung von β • Obere Schicht niedrigere β als untere Schicht • Obere Schicht höheres β als untere Schicht Letztere am wahrscheinlichsten

48. Wärmeflüsse über jede Grenzschicht

49. Ergebnisse bevorzugen G – M – K mehr als S – M – K, in der Hinsicht, die Bedingungen des Wärmeflusses, der Temperatur und der Viskosität zu erfüllen.