Introducción al análisis de algoritmos

1. Introducción al análisis de algoritmos

2. Factores • Consumo de memoria • Tiempo de ejecución • Independiente de la máquina • Independiente del lenguaje de programación

3. Conceptos Básicos Contador de frecuencias: Expresión algebraica que indica el número de veces que se ejecutan las instrucciones de un algoritmo

4. Ejemplos: Algoritmo 1 Lea a,b,c 1 x=a+b 1 y=a+c 1 z=b*c 1 w=x/y-z 1 Escriba a,b,c,w 1 ----------------- Contador de frecuencias 6

5. Algoritmo 2 Lea n 1 s=0 1 i=1 1 While i<=n n+1 s=s+1 n i=i+1 n End While n Escriba n,s 1 ------------- Contador de frecuencias 4n + 5

6. Algoritmo 3 Lea n,m 1 s=0 1 i=1 1 While i<=n n+1 t=0 n j=1 n While j<=m (n*m)+n t=t+1 n*m j=j+1 n*m End While n*m s=s+t n i=i+1 n End While n Escriba n,m,s 1 ----------------- Contador de frecuencias:4(n*m) + 7n + 5

7. Algoritmo 4 Lea n 1 s=0 1 i=1 1 While i<=n n+1 t=0 n j=1 n While j<= n n2+n t=t+1 n2 j=j+1 n2 End While n2 s=s+t n i=i+1 n End While n Escriba n,s 1 ----------------- Contador de frecuencias:4n2 + 7n + 5

8. Algoritmo 5 Lea n,m 1 s=0 1 i=1 1 While i<=n n+1 s=s+1 n i=i+1 n End While n Escriba n,s 1 s=0 1 i=1 1 While i<=m m+1 t=t+1 m i=i+1 m End While m Escriba n,s 1 ----------------- Contador de frecuencias:4n + 4m + 9

9. Conceptos Básicos (cont.) Orden de Magnitud: • Indica como crece el tiempo de ejecución de un algoritmo cuando crece el tamaño del problema resuelto por el algoritmo, es decir, se mide en base a un tamaño de entrada el cual puede ser el número de elementos a imprimir, a sumar a ordenar etc. • Se puede obtener a partir del contador de frecuencias así:

10. Se eliminan del contador de frecuencias los coeficientes, constantes y términos negativos • De cada conjunto de términos dependientes (de una misma variable) se selecciona el término dominante (mayor) • El orden de magnitud será la suma de los términos seleccionados (normalmente es uno solo…)

11. Para los algoritmos anteriores se tienen los siguientes órdenes de magnitud: AlgoritmoOrden 1 O(1) 2 O(n) 3 O(nxm) 4 O(n2) 5 O(n+m)

12. Órdenes de magnitud más frecuentes ordenados en forma ascendente desde el más eficiente: O(1) Constante O(log2n) Logarítmico O(n) Lineal O(nlog2n) Semilogarítmico n2 Cuadrático n3 Cúbico 2n Exponencial

13. Algoritmo a: Lea n s=1 suma=0 While s<=n suma=suma + s s=s+1 End While Escriba suma Algoritmo b Lea n suma=n*(n+1)/2 Escriba suma Ejemplo: Suma de los n números enteros: El algoritmo a es O(n) mientras que el algoritmo b es O(1)

14. Más ejemplos Lea n 1 s=0 1 i=n 1 While i>1 Log2n + 1 s=s+1 Log2n i=i/2 Log2n End While Log2n Escriba n,s 1 ---------------- Contador de frecuencias= 4 Log2n + 5  O(Log2n)

15. Lea n 1 s=0 1 For i=1 to n n+1 t=0 n For j=1 to i n*(n+1)/2 + n t=t+1 n*(n+1)/2 End For n*(n+1)/2 s=s+t n End For n Escriba n,s 1 --------------------------- Contador de frecuencias: 3n*(n+1)/2 + 5n + 4 = (3n2 + 3n)/2 + 5n + 4  O(n2)

16. Lea n 1 s=0 1 i=1 1 while i<= n n+1 t=0 n j=n n while j>1 n*Log2n + n t=t+1 n*Log2n j=j/2 n*Log2n End while n*Log2n Escriba t n s=s+t n i=i+1 n End while n Escriba n,s 1 ------------------------- Contador de frecuencias: 8n + 4n*Log2n + 5  O(n*Log2n)

17. Lea n 1 s=0 1 For i=1 to n n+1 t=0 n For j=1 to i n*(n+1)/2 + n For k=1 to j z+ n*(n+1)/2 s=s+1 z End For z End For n*(n+1)/2 End For n --------------------------- Contador de frecuencias: 3 + 4n + (3/2)n*(n+1) + 3z Donde z = , desarrollando se obtiene: n  w(w+1)/2 w=1

18. n n n  w(w+1)/2 = ½  w2 + ½  w w=1w=1 w=1 Y como: Al simplificar se obtiene: z=(n3 + 3n2 + 2n) /6 Por lo tanto el contador de frecuencias es un polinomio de grado 3, entonces el algoritmo es O(n3) n  w= n(n+1)/2 w=1 n  w2 = n(n+1)(2n+1)/6 w=1 y

19. void ejemplo(int *T, int n) { contador int k=0; 1 for(int i=0; i<n; i++) n+1 { for(int j=0; j<T[i]; j++) s+n { k=k+T[j]; s } s } n } ----------------- Contador de frecuencias: 3n + 3s + 2 Orden: O(n+s) O(Max(n,s)) ¿Qué es s?