Introdução a Algoritmos Numéricos

1. Introdução a Algoritmos Numéricos Prof. Renata S.S. Guizzardi 2012/01

2. Agenda • Introdução • Erros • Detalhes da Disciplina: • Ementa • Métodos de Avaliação • Outros Detalhes

3. Introdução

4. O que são Algoritmos Numéricos? • São programas de computador capazes de solucionar problemas matemáticos, fornecendo resultado numérico aproximado. • Apesar de aproximada, a solução pode ser obtida em um grau crescente de exatidão.

5. Por que utilizar? (1/2) 1) Um problema de Matemática pode ser resolvido analiticamente, mas esse método pode se tornar impraticável com o aumento do tamanho do problema. Ex.: solução de sistemas de equações lineares.

6. Por que utilizar? (2/2) 2) O problema não tem solução analítica. Exemplos: a) não representável por funções elementares; b) não pode ser resolvido analiticamente;

7. Função de Algoritmos Numéricos na Engenharia Solucionar problemas técnicos através de métodos numéricos, usando um modelo matemático

8. Exemplo de Aplicação (1/2) • Calcular tensões dos nós do circuito elétrico (pag. 117): • No nó 1, pela lei de Kirchhoff: 3 2 4 1

9. Exemplo de Aplicação (2/2) • O problema é resolvido a partir de um sistema linear de quatro equações e quatro variáveis V1, V2, V3 e V4.

10. Resolução de Problemas Problema Real Levantar Dados Construir Modelo Matemático Eventualmente Rever Escolher Método Numérico Analisar Resultados Implementar Método Computacionalmente Solução Numérica

11. No exemplo anterior • Problema real: determinar tensões nos nós dos circuitos. • Levantamento de dados: valores das resistências e tensões nos pontos A e B. • Construir modelo matemático: montar equações e criar as matrizes a partir delas. • Escolher método numérico: Decomposição LU, Decomposição de Cholesky, Fatoração LDLT, Método de Jacobi etc. • Implementar Método Computacionalmente: criar e processar programa. • Analisar resultados e verificar se o modelo matemático ou o método numérico precisam ser alterados.

12. Erros

13. Tipos de Erros (1/6) • Erro na Modelagem • Devido à expressão matemática que não reflete perfeitamente o fenômeno físico ou aos dados terem sido obtidos com pouca exatidão. • Erro Grosseiro • Devido a erro na elaboração ou implementação do algoritmo ou a erro de digitação.

14. Tipos de Erros (2/6) - Truncamento • Erro de Truncamento: • Devido à aproximação de uma fórmula. expansão da função exponencial em séries de potência Exercício: Calcular o valor de e1 por meio de uma série truncada de segunda ordem. Verificar o erro sabendo-se que o valor com 4 algarismos significativos é 2,718.

15. Tipos de Erros (3/6) - Arredondamento • Erro de Arredondamento: • Devido à forma de representação de números no computador. • Conversão de base (decimal→binário) • Problema com o número de bits que são usados para representar os números (números fracionários). • Nem sempre um número decimal exato tem representação exata em binário. Ex. 0,110→ 0,0001001100110012= 0,09999084410 (erro de 0,000009155 ≈ 9.10-6).

16. Tipos de Erros (4/6) - ArredondamentoAritmética de Ponto Flutuante • Números em ponto flutuante (reais) são representados no formato normalizado: • 5 = 0.5 x 101 • 0,007 = 0.7 x 10-2 • 35,42 = 0.3542 x 102 • Representação no computador

17. Tipos de Erros (5/6) - ArredondamentoAritmética de Ponto Flutuante • Suponha uma mantissa e expoente de tamanho 4 (excluindo bit de sinal): • Represente -8 • Represente 37 • Some 0,375 e 0,05 • Qual o maior número que pode ser representado nesse computador?

18. Tipos de Erros (4/6) - ArredondamentoAritmética de Ponto Flutuante • Formato IEEE de ponto flutuante

19. Erro Absoluto e Erro Relativo • Duas formas de medir o erro. • Erro Absoluto = valor real – valor aproximado. • Erro Relativo = valor real – valor aproximado valor real

20. Outros Conceitos Importantes • Complexidade computacional • Medida do esforço computacional despendido para resolver o problema. • Medido pelo número necessário de operações aritméticas e lógicas. • Convergência • Propriedade de gerar solução exata. • Ordem de Convergência: rapidez com que a sequência gerada por dado método converge para a solução exata.

21. Desastres Causados por Erros nas Soluções (1/3) Exemplo 1: Falha no lançamento de mísseis (25/02/1991 – Guerra do Golfo – míssil Patriot) Limitação na representação numérica (24 bits) Erro de 0,34 s no cálculo do tempo de lançamento

22. Desastres Causados por Erros nas Soluções (2/3) Exemplo 2: Explosão de foguetes (04/06/1996 – Guiana Francesa – foguete Ariane 5) Limitação na representação numérica (64 bits/ 16 bits) Erro de trajetória 36,7 s após o lançamento Prejuízo: U$ 7,5 bilhões

23. Desastres Causados por Erros nas Soluções (3/3) Exemplo 3: Afundamento de Plataforma Marítima • (23/08/1991 – Mar do Norte/Noruega – Plataforma Sleipner) Parcialmente causada por erro de análise no elemento finito Rompimento de uma das Células que compunham a parede Prejuízo: U$ 700 milhões