Seqüências

1. Seqüências Prof. Marcelo de Oliveira Rosa

2. Seqüências • Representação amostral de um sinal • Processo de amostragem • Conversor AD (analógico-digital) • Decorrente do uso de computadores em: • Aquisição via sensores e conversores AD • Controle digital • Atuação via atuadores e conversores DA

3. Seqüências • Definição • onde: • x(t) é um sinal/função contínua (t ∈R) • Ta é o período de amostragem • n é o instante de tempo (n ∈Z) • n é adimensional • Obs: não existe informação em x[n] entre n e n+1

4. Seqüências • Definição • Representação gráfica

5. Seqüência Efeito do período de amostragem

6. Sequências • Efeito do período de amostragem • Ao invés de reproduzir x(t) em x[n], reproduzimos outro sinal xT(t) com propriedades espectrais distintas. • Aliasing • Componentes de baixa-freqüência de x(t) se transformam em componentes de alta-freqüência em xT(t) • x(t)  conversão AD  x[n]  conversão DA xT(t) • x(t) ≠ xT(t) • Resolução do problema • Teorema de Nyquist

7. Seqüências • Seqüências periódicas e não-periódicas • onde • σ e ω∈R • Incluem-se também

8. Seqüências • Seqüências periódicas e não-periódicas • Para todo x(t) periódico, x[n] é periódico? • A freqüência de amostragem influencia a periodicidade da seqüência?

9. Seqüências • Seqüências periódicas e não-periódicas • Definição de periodicidade • x[n] = x[n+N] • N ∈Z* • Para seqüência senoidais, f = ω / 2π = m / N • x[n] = A cos(ωn + θ) • Referência para seqüência senoidal • f é razão entre números inteiros (f ∈Q) • Condiçãopara x[n] senoidalser periódica

10. Seqüências • Seqüências periódicas e não-periódicas • Considerando o processo de amostragem • Temos: • Condiçãopara sinal periódico amostrado produzir seqüência periódica

11. Seqüências • Seqüências periódicas e não-periódicas • N = 8, zero ≤ m ≤ 3  zero ≤ f < 0,5

12. Seqüências m=8 • Seqüências periódicas e não-periódicas • N = 8, 5 ≤ m < 8  0,5 < f < 1

13. Seqüências • Seqüências periódicas e não-periódicas • Padrão senoidal discreto se repete a múltiplos de f • Intervalos úteis • zero ≤ f < 1 [ciclos/amostra] • zero ≤ ω < 2π [radianos/amostra]

14. Seqüências • Seqüências periódicas e não-periódicas • Interpretação • N Número de amostras de um período discreto • m Número de ciclos contínuos reproduzidos em um período discreto • m/N Fração do ciclo contínuo usado na amostragem • f ou ω Freqüência discreta

15. Seqüências • Seqüências com “singularidades” • Similaridade com sinais singulares • Não existe conceito de descontinuidade • Representação de fenômenos como • Liga-desliga • Amostragem • Representação matemática de séries numéricas • Série de Fourier

16. Seqüências • Seqüências com “singularidades” • Delta unitário • Ou delta de Kronecker • Observe que não há problemas na definição para n=0, como ocorre com o delta de Dirac. • Não há problemas de escala como no delta de Dirac • δ[an] = δ[n]

17. Seqüências • Seqüências com “singularidades” • Degrau unitário • Observe que para n=0, u[0] = 1, não havendo problema de definição como em u(t)

18. Seqüências • Seqüências com “singularidades” • Sinal unitário • Rampa unitária

19. Seqüências • Seqüências com “singularidades” • Pulso unitário • Note que para qualquer N, o total de amostras é sempre ímpar (2N+1). Como representar um pulso unitário com um total par de amostras?

20. Seqüências • Seqüências com “singularidades” • Trem de impulsos unitário

21. Seqüências • Operações básicas • Soma e subtração de sinais • Multiplicação e quociente de sinais • São realizadas amostra-a-amostra • Deslocamento temporal • Operação de atraso ou avanço de seqüências • f[n] = g[n + n0]  f(t) está adiantado em relação a g[n] • h[n] = g[t – t0]  h[n] está atrasada em relação a g[n] • Escala em amplitude • y[n] = α x[n]

22. Seqüências • Operações básicas • Escala no “tempo” • Escala dos instantes “n” • y[n] = x[A n] • y[n] = x[n/A] • Os resultados da escala no “tempo” para seqüências são equivalentes àqueles obtidos para escala no tempo de sinais?

23. Seqüências • Operações básicas • Escala no “tempo” • Primeiro caso: compressão ou decimação • y[n] = x [A n] • Perda de amostras decorrente de n ∈ Z • Tal perda não ocorre com y(t) = x(A t) • Se a é par • apenas amostras em instantes pares serão mantidas

24. Seqüências • Operações básicas • Escala no “tempo” • Segundo caso: dilatação ou interpolação • y[n] = x [n/A] • Existência de situações com (n/A) ∉Z • Nesses casos, y[n] é indefinido • O que fazer?

25. Seqüências • Operações básicas • Escala no “tempo” • Segundo caso: dilatação ou “interpolação” • y[n] = x [n/A] • Existência de situações com (n/A) ∉Z • Nesses casos, y[n] é indefinido • Redefinição de escala no “tempo” para “interpolação”

26. Seqüências • Operações básicas • Acumulação • Semelhante à integração no domínio contínuo • Mesma ambigüidade da integração • Problema da constante de integração

27. Seqüências • Operações básicas • Diferença finita • Semelhante à diferenciação no domínio contínuo • Pode gerar várias expressões

28. Seqüências • Energia e Potência de Seqüências • Equivalente às grandezas de x(t) • Estimativa de energia que a seqüência carrega • Energia da seqüência • Usado quando o somatório converge • Seqüências finitas, por exemplo

29. Seqüências • Energia e Potência de Seqüências • Potência da seqüência • Usado em seqüências periódicas • N é um período completo da seqüência • Para um instante k qualquer (para facilitar o cálculo)