CÁLCULO DE PROBABILIDADES

1. CÁLCULO DE PROBABILIDADES TEMA 13 Matemáticas Aplicadas CS I

2. REGLA DE LAPLACE TEMA 13.5 * 1º BCS Matemáticas Aplicadas CS I

3. REGLA DE LAPLACE • La probabilidad de un suceso A es el cociente entre el número de casos favorables y el número de casos posibles. • casos favorables • P(A) = ------------------------------------ • casos posibles o totales • Para que se pueda aplicar la fórmula de Laplace TODOS y cada uno de los sucesos elementales deben ser EQUIPROBABLES, tener la misma probabilidad de que sucedan. • Ejemplo 1: • Lanzamiento de una moneda al aire. • Casos posibles o totales E = {C, X}  2 • Casos favorables al suceso “Salir una cara” {C}  1 • P(A) = P(de que nos resulte cara) = casos favorables / casos posibles =1 / 2 = 0,5 Matemáticas Aplicadas CS I

4. REGLA DE LAPLACE • Ejemplo 2: • Lanzamiento de un dado al aire. • Casos posibles o totales E = {1, 2, 3, 4, 5, 6}  6 • Casos favorables al suceso “Salir par” {2, 4, 6}  3 • P(A) = P(de que nos resulte par) = • = casos favorables / casos posibles =3 / 6 = 0,5 • Ejemplo 3: • Extracción de una carta de baraja. • Casos posibles o totales E = {1, 2, 3, 4, 5, 6, …, 40}  40 • Casos favorables al suceso “Resulta un rey” {RO,RC,RB,RE}  4 • P(A) = P(de que nos resulte un rey) = • = casos favorables / casos posibles = 4 / 40 = 0,1 Matemáticas Aplicadas CS I

5. REGLA DE LAPLACE • Ejemplo 4: • Extracción de una carta de baraja. • Casos posibles o totales E = {1, 2, 3, 4, 5, 6, …, 40}  40 • Casos favorables al suceso “Resulta una carta de copas”  10 • P(A) = P(de que nos resulte una copa) = c.f. / c.p. = 10 / 40 = 0,25 • Ejemplo 5: • Extracción de una bola de una urna que contiene 5 bolas blancas y 3 bolas negras. • Casos posibles o totales E = {B1, B2, B3, B4, B5, N1, N2, N3}  8 • Casos favorables al suceso “Resulta blanca” {B1, B2, B3, B4, B5}  5 • P(A) = P(de que nos resulte una bola blanca) = • = casos favorables / casos posibles = 5 / 8 = 0,625 Matemáticas Aplicadas CS I

6. Valor de la probabilidad • P(Suceso imposible) = 0 • Axioma 1 P(Suceso seguro) = P(E) = 1 • Axioma 2 P(Cualquier suceso) = P(A) ≥ 0 • Luego la probabilidad de cualquier suceso A será siempre: • 0 ≤ P(A) ≤ 1 • Ejemplos: • Sea A el suceso “Obtener un 7 en el lanzamiento de un dado normal” • Como es un suceso imposible, entonces P(A) = 0 • Sea A el suceso “Obtener un número entero en el lanzamiento de un dado” • Como es un suceso seguro, entonces P(A) = 1 • Sea A el suceso “Obtener un número múltiplo de 3 en el lanzamiento de un dado normal” • Por Laplace: P(A = 2 / 6 = 1/3 = 0,3333. Vemos que 0 ≤ 0,3333 ≤ 1 Matemáticas Aplicadas CS I

7. AXIOMA 3 Si A y B son sucesos incompatibles( no se pueden dar a la vez ) la probabilidad de AUB es la suma de las probabilidades. • Si A∩B = ø P(A U B) = P(A)+P(B) • Ejemplo • Al extraer una carta de una baraja, que el resultado sea un oro o una copa. • P(A U B) = P(A)+P(B) = (10/40)+(10/40) = 0,25+0,25 = 0,5 • Por el contrario, si A y B son sucesos compatibles (se pueden dar a la vez) la probabilidad de AUB es la suma de las probabilidades menos el producto de las mismas. • Si A∩B ≠ ø P(A U B) = P(A)+P(B) – P(A).P(B) • Ejemplo • Al extraer una carta de una baraja, que el resultado sea un oro o una figura. • P(AUB) = P(A)+P(B) - P(A).P(B) = (10/40)+(12/40) - (10/40).(12/40) = • = 0,25+0,30 – 0,25.0,3 = 0,55 – 0,075 = 0,475 • De otra manera, para comprobar: P(AUB) = (10+9)/40 = 19/40 = 0,475 Matemáticas Aplicadas CS I

8. Sucesos CONTRARIOS • Cuando en un experimento aleatorio sólo hay dos posibilidades o dos sucesos posibles, que se excluyen mutuamente, se los llama sucesos contrarios. • En una moneda, lo contrario de resultar Cara es resultar Cruz. • En un dado, lo contrario de resultar Par es resultar Impar. • En un dado lo contrario de resultar un 5 es no resultar un 5. • Todos los experimentos aleatorios los podemos expresar como espacio muestral de dos únicos sucesos: El que interesa y el contrario. • _ _ • Como P(A) + P( A ) = 1 ; P( A ) = 1 - P(A) • Ejemplo • Al lanzar un dado al aire, que el resultado sea un 5 o que no sea un 5. • P(5) = 1 / 6 = 0,1667 • _ • P(5) = 1 – 1/6 = 5 / 6 = 0,8333 Matemáticas Aplicadas CS I

9. Tablas de contingencia • Son muy usadas en problemas donde se precisa organizar los datos para calcular probabilidades. • En general los sucesos a trabajar son incompatibles entre sí, aunque estén relacionados. • Ejemplo_1 • En la presente tabla de contingencia, hallar la probabilidad de que elegido un alumno al azar, este sea: • a) Chico. • b) Chica. • c) Chico en ESO • d) Chica en ESO • e) Chico en Bachillerato • d) Chica en Bachillerato. • d) Alumno en ESO • e) Alumno en Bachillerato Chico Chica ESO 145 130 275 BACH 50 75 125 195 205 400 Matemáticas Aplicadas CS I

10. Resolución • a) Chico. • P(A)=195/400=0,4875 • b) Chica. • P(B)=205/400=0,50125 • c) Chico en ESO • P(C)=145/400=0,3625 • d) Chica en ESO • P(D)=130/400=0,325 • e) Chico en Bachillerato • P(E)=50/400=0,125 • f) Chica en Bachillerato. • P(F)=74/400=0,185 • g) Alumno en ESO • P(G)=275/400=0,6875 • h) Alumno en Bachillerato • P(H)=125/400=0,3125 Chico Chica ESO 145 130 275 BACH 50 75 125 195 205 400 Matemáticas Aplicadas CS I

11. Ejemplo_2 • En la presente tabla de contingencia sobre la dedicación preferente del tiempo libre de los alumnos de un instituto, hallar la probabilidad de que: • a) Sea chico y se dedique al deporte. • b) Sea chica y se dedique a la lectura o los juegos. • c) Se dedique a ver Cine/TV • d) Se dedique a la música. • Resolución • P(A)= 60/400 = 0,15 • P(B)=45/400 + 10/400 = • =55/400 = 0,1375 • P(C)= 60/400=0,15 • P(D)=175/400 =0,4375 Chico Chica Música 55 120 175 Deporte 60 15 75 Lectura 20 45 65 Juegos 15 10 25 Cine/TV 45 15 60 195 205 400 Matemáticas Aplicadas CS I

12. Unión en sucesos compatibles • Cuando dos o más sucesos son compatibles (se pueden dar a la vez) ya hemos dicho que: • P(AUB)=P(A)+P(B)-P(A).P(B) • Ello es así porque si no restamos el producto, los elementos comunes estarían repetidos. • El producto simboliza a los elementos comunes. • Ejemplo 1 • Hallar la probabilidad de que al extraer una carta de una baraja el resultado sea un oro o un rey. • P(O)=10/40=0,25 • P(R) =4/40=0,1 • P(OUR)=P(O)+P(R) - P(O).P(R) • P(OUR)=0,25+0,1 – 0,25.0,1 • P(OUR)=0,35 – 0,025 • P(OUR)=0,325 • 1 2 3 Rc • 4 5 Re • 7 Ro Rb • So Co Matemáticas Aplicadas CS I

13. FAMILIA A • Ejemplo 2 • Una vivienda rural es compartida por tres familias, A, B y C. • Ocupan el 55%, el 40% y el 30% de la vivienda respectivamente. Hay espacios comunes a dos y a las tres familias. • Hallar la probabilidad de que eligiendo un lugar al azar: • a) Coincidan A y B • b) Coincidan A y C • c) Encontremos B o C • d) Encontremos A o C • e) Encontremos A, B o C FAMILIA B FAMILIA C Matemáticas Aplicadas CS I

14. Resolución • Aunque no nos lo hubiera indicado el enunciado, hay zonas comunes, pues en total no pueden ocupar el 55+40+30 =125% de la vivienda. • a) Coincidan A y B • P(A∩B)=P(A).PB)= 0,55.0,40=0,22 • b) Coincidan A y C • P(A∩C)=P(A).P(C)= 0,55.0,30=0,165 • c) Encontremos B o C • P(BUC)=P(B)+P(C) - P(B).P(C)= 0,40+0,30 – 0,40.0,30 =0,58 • d) Encontremos A o C • P(AUC)=P(A)+P(C) - P(A).P(C)= 0,55+0,30 – 0,55.0,30 =0,685 • e) Encontremos A , B o C • P(AUBUC)=P(A)+P(B)+P(C) - P(A).P(B) - P(B).P(C) – P(A).P( C) + • + P(A).P(B).P(C) = • = 0,55+0,4+0,30 – 0,22 – 0,12 – 0,165 + 0,55.0,4.0,30 = 0,811 Matemáticas Aplicadas CS I