1 / 29

Braquistócrona vs. Geodésica

Braquistócrona vs. Geodésica. Um problema de C á lculo de Variaç ões. Hugo Ara újo Luso 2006. 1. C á lc ulo de Variaç ões. Objectivo: Procurar mínimos ou máximos de funcion ais. Funcional: Exemplo: Comprimento de arco de curva no plano entre o ponto e . Seja de classe

albin
Download Presentation

Braquistócrona vs. Geodésica

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript


  1. Braquistócrona vs. Geodésica Um problema de Cálculo de Variações Hugo Araújo Luso 2006

  2. 1. Cálculo de Variações Objectivo: • Procurar mínimos ou máximos de funcionais. • Funcional: • Exemplo: Comprimento de arco de curva no plano entre o ponto e .

  3. Seja de classe Cálculo variacional minimiza funcionais da forma onde e Diz-se que: minimiza a funcional se

  4. 1.1. Equação de Euler-Lagrange Pretende-se minimizar a funcional: Assume-se que é de classe Condição necessária para mínimo: Eq. de Euler-Lagrange Uma curva ao longo da qual é verificada a eq. de Euler-Lagrange chama-se de extremal.

  5. 1.1.1. Casos Particulares da eq. de E-L. 1º Caso - Se F não depende explicitamente de y, isto é, ou equivalentemente, , a equação de E-L escreve-se: 2º Caso - Se F não depende explicitamente de x, isto é, ou equivalentemente, , a equação de E-L implica: Eq. da energia

  6. 1.1.2. Demonstração do 2º caso particular Seja Logo, qualquer qualquer extremal verifica a eq. da energia. Nota 1: O recíproco é verdadeiro se é de classe e

  7. 1.2. Cálculo de Variações - Exemplo • Exemplo: Comprimento de arco da curva entre e é dado pela seguinte funcional: Como , e a eq. de E-L é: As extremais para este problema chamam-se geodésicas.

  8. 2. Braquistócrona no plano • O problema da Braquistócrona foi proposto em 1696 por Johann Bernoulli. • Este problema consiste em encontrar a curva que minimiza o tempo de queda, entre dois pontos num mesmo plano vertical, de um corpo largado do ponto inicial e sujeito apenas à força da gravidade. • A publicação da solução deste problema em 1697, assinala o inicio do cálculo de variações.

  9. Considere-se que o corpo que é largado do ponto e chega ao ponto com e Seja uma curva parametrizada pelo tempo t e o seu vector velocidade. Cálculo do tempo de percurso do corpo pela curva Assumimos que ao longo desta curva se tem Pelo Teorema da Conservação da Energia Assumindo que y é função de x: Tempo de percurso entre e ao longo de

  10. Seja Pretende-se minimizar a seguinte funcional: Como , utiliza-se a eq. da energia. Eq. da energia para o problema da Braquistócrona. Resolução da equação diferencial Utilize-se a seguinte mudança de variável: Pelo teorema da função implícita:

  11. A curva paramétrica satisfaz a eq. da energia . Esta curva tem o nome de ciclóide. • Nota 2:É possível mostrar que: • A ciclóide define com função de (expressão difícil de obter); • Essa função é de classe e • Pela nota 1 satisfaz a eq. de E-L, pelo que é uma extremal; • A ciclóide é a única extremal. • Usando técnicas de controlo óptimo é ainda possível mostrar que a ciclóide minimiza o tempo de percurso.

  12. e 2.1. Braquistócrona vs. Geodésica Vai-se comparar o tempo de queda do corpo pela ciclóide com constante entre os pontos e o tempo de queda do corpo pela geodésica entre os mesmos pontos.

  13. Tempo de queda do corpo numa curva paramétrica. Como já anteriormente tínhamos visto: Tempo de percurso na curva paramétrica. Consideremos a ciclóide com constante entre os pontos e

  14. Substituindo, Tempo de percurso pela ciclóide. Tempo de queda do corpo pela recta entre os pontos e Tempo de percurso pela geodésica. Verifica-se que o caminho mais rápido é pela ciclóide, com o tempo de aproximadamente 1,064.

  15. 2.2. Tautócrona

  16. Tempo de queda do corpo pela ciclóide entre os pontos e Considere-se a ciclóide: Analogamente ao que foi feito anteriormente, o tempo de queda do corpo pela ciclóide entre os pontos e , é obtido por: Tempo de percurso entre e , largado em

  17. Tempo de queda do corpo pela ciclóide entre os pontos e com , onde Seja uma curva parametrizada pelo tempo t e o seu vector velocidade. Analogamente ao efectuado anteriormente, pelo teorema da conservação da energia, Formula para o tempo de percurso entre e , largado em Ao longo da ciclóide tem-se:

  18. Utilize-se as seguintes igualdades trigonométricas: Para concluir que: Tempo de percurso entre e , largado em

  19. 3. Braquistócrona no cilindro vertical Comece-se por parametrizar o cilindro vertical no plano Considere-se que o corpo que é largado do ponto e chega ao ponto com e A curva no cilindro terá por coordenadas paramétricas . Assuma-se que é função de Proceda-se agora de forma análoga ao efectuado no plano. Tempo de percurso entre e ao longo da curva

  20. De forma análoga ao efectuado no plano obtem-se a eq. da energia para o problema da Braquistócrona no cilindro vertical: Prosseguindo-se chegou-se à seguinte curva como solução:

  21. 4. Braquistócrona no cilindro horizontal Analogamente ao problema para o cilindro vertical comece-se por parametrizar o cilindro horizontal. Considere-se que o corpo que é largado do ponto e chega ao ponto com e Assuma-se que e proceda-se agora de forma análoga ao efectuado no cilindro vertical. Tempo de percurso entre e ao longo da curva

  22. Analogamente obtem-se a eq. da energia para o problema da Braquistócrona no cilindro horizontal: Utilize-se agora a seguinte mudança de variável: , i. e. Nota 3: Quando , logo o ponto de partida verifica-se para Pelo teorema da função inversa: Obtem-se que:

  23. Realize-se agora a seguinte mudança de variável i. e. Obtem-se que: Se Se

  24. Como devemos ter , determina-se a constante , e obtem-se a solução paramétrica. Se Se

  25. Finalmente obteve-se a seguinte curva como solução: Se Se

  26. 4.1. Braquistócrona crescente no cilindro horizontal Se é ou não possível estender a braquistócrona para além de ? Defina-se o seguinte ramo direito para a Braquistócrona:

  27. Nota 4: Mostrámos que a curva paramétrica estendida tem as seguintes propriedades: • Define com função de • satisfaz a eq. da energia • é de classe • Logo pela nota 1 a eq. de Euler-Lagrange é satisfeita; Logo conclui-se que a curva ainda é uma extremal do problema da braquistócrona no cilindro horizontal.

  28. Curva paramétrica para :

  29. Bibliografia • Clegg, J. C., “Calculus of variations”, Oliver & Boyal, 1968. • Davis, F. Soares, “O cálculo variacional clássico e algumas das suas aplicações à física matemática”, EDP - Eletricidade de Portugal, 1986. • Makaremko, G. I. e Kiseliov, A. I., “Calculo Variacional: (Ejemplos y problemas)”, MIR, 1976. • Hector J. Sussmann and Jan C. Willems, “300 Years of Optimal Control: from the Brachystochrone to the Maximum Principle”.

More Related