Plena am … für …. Do, 1.h – SAKA 2, SHUB 5.h – FLEK, GORE, WITT Fr, 2.h GLOK, SAKA 1

1. Plena am … für ….Do, 1.h – SAKA 2, SHUB 5.h – FLEK, GORE, WITT Fr, 2.h GLOK, SAKA 1

2. Exponentielles Zerfallen Wachsen oder

3. Heute: Exponentielles Wachstum

4. ExponentiellesWachstum

5. Exponentielles Wachstum

6. ExponentiellesWachstum Bakterienvermehrung

7. Bakterien und exponentielles Wachstum Bakterienvermehrung Quellen: www.bakterien.org und http://de.wikipedia.org/wiki/Bild:Bacillus_subtilis.jpg gefunden am 03.01.2006 Modellierung von Wachstumsprozessen

8. Welt der Welt der Reale Welt Reale Welt V Ü R Z A V Ü R Z A Mathematik Mathematik Bakterien und exponentielles Wachstum Wir betrachten eine Bakterienkultur. Ihr Wachstum (das aufgrund von Zellteilung zustande kommt) sei durch folgende drei Eigenschaften charakterisiert: • In gleich langen Zeitintervallen vergrößert sich die Zahl der Bakterien um denselben Faktor. • Zu Beginn besteht die Kultur aus 1000 Bakterien. • Während jeder Stunde verdoppelt sich die Zahl der Bakterien.

9. Wachstum von Bakterienkulturen • In gleich langen Zeitintervallen vergrößert sich die Zahl der Bakterien um denselben Faktor. • Zu Beginn besteht die Kultur aus 1000 Bakterien. • Während jeder Stunde verdoppelt sich die Zahl der Bakterien. Wie viele Bakterien gibt es nach 1, 2, 4 und nach 6 Stunden? TOP:Wie viele Bakteriengibt es nach 12 Stunden, wie viele nach t Stunden?

10. Exponentielles Wachstum Bakterienkulturen x bezeichnet die Stunden, f(x) die Anzahl der Bakterienkulturen

11. Exponentielles Wachstum Bakterienkulturen x bezeichnet die Stunden, f(x) die Anzahl der Bakterienkulturen

12. Mathematischer Hintergrund „Vokabeln“ Eine Potenz ist ein Term der Form bcBedeutung: b wird c-mal mit sich selbst multipliziert. Beispiel: 35 = 3 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 3 Spezialfall: 30 = 1 b wird Basis genannt.c wird Exponent genannt. Potenz-Rechenregeln s. Formelsammlung Weil wir den Exponenten verändern, schreiben wir im Folgenden bx.

13. Exponentielles Wachstum Bakterienkulturen x bezeichnet die Stunden, f(x) die Anzahl der Bakterienkulturen = 1000  2 X

14. Vergleich von linearem Wachstum und exponentiellem Wachstum

15. Z. B. Lineares Wachstum mit f(x) = 0,5x + 2 Quelle: Schmid, A./ Weidig, I. (1996). Lambacher Schweizer 10. Stuttgart: Klett, S.60

16. Exponentielles Wachstum Z. B. f(x) = 2x 2x

17. Lineares Wachstum: f(x) = 0,5x +2 Exponentielles Wachstum: f(x) = 2x

18. Exponentielles Wachstum - Exponentialfunktion Natur des Bakterienwachstums:In gleich langen Zeitintervallen vergrößert sich die Zahl der Bakterien um denselben Faktor. Unsere Frage war:Wie verändert sich die Anzahl der Bakterien in Abhängigkeit von der Zeit? Oder rein mathematisch:Wie verändert sich der Wert der Potenz, wenn man den Exponenten verändert? Die Funktion, die diese Veränderung beschreibt, wird deshalb Exponentialfunktion genannt. f(x)=bx bist dieBasisund xder veränderliche Exponent.

19. Wachstum – Funktionaler Zusammenhang Die Frage nach der Art des Wachsens führte zur Frage, welche Art von Funktion das Wachstum adäquat beschreiben kann. „Die Anzahl der Bakterien wächst exponentiell.“Oder:„Der funktionale Zusammenhang zwischen der Zeit und der Anzahl der Bakterien ist exponentiell.“ (Zur Erinnerung:Der funktionale Zusammenhang zwischen der Länge eines Holzstabes und seinem Gewicht ist linear.Der funktionale Zusammenhang zwischen der Länge der Seite eines Quadrates und der Fläche ist quadratisch.)

20. Exponentielles Wachstum - Exponentialfunktion f(x)=bx b ist die Basis und x der veränderliche Exponent. In unserem Beispiel gab es zum Zeitpunkt 0(x = 0) bereits 1000 Bakterien.Deshalb hatte unsere Funktion einen Faktor: f(x) = 1000 ∙ 2x Allgemein:f(x) = a ∙ bxa ist der „Startwert“ für x = 0 (im Beispiel 1000),b ist der Wachstumsfaktor (im Beispiel verdoppeln)a, b und x sind reell, b > 0, b ≠ 1

21. Frage: Wie wäre der Funktionsterm, wenn sich eine Menge m0 alle Stunde verdreifachen würde ? Antwort: Menge m0, also ist m(0) = m0, Verdreifachen, also mal3 3, und das für x Stunden, also  3 x somit ist der Funktionsterm : m(x) = m0  3X

22. Zurück zu unseren Bakterien: f(1) = 1000 ∙ 21 bezeichnet die Anzahl der Bakterien nach einerStunde. Aber … Wie viele Bakterien gibt es nach einer halbenStunde ?

23. 1.) In gleich langen Zeitintervallen vergrößert sich die Zahl der Bakterien um denselben Faktor. Nach  hist 1000 um einen Faktor q vermehrt, also 1000 q Nach 1 hist 1000 um q q = q ²vermehrt, also 1000 q² Andererseits istnach 2 h = 1 h ist 1000 verdoppelt, also 1000 q² = 21000 bzw. q² = 2 Somit ist Und mit

24. Zurück zu unseren Bakterien: f(1) = 1000 ∙ 21 bezeichnet die Anzahl der Bakterien nach einerStunde. Wie viele Bakterien gibt es nach einer halbenStunde? Als Potenz sind auch Brüche zulässig! Und es bezeichnet f( ½ ) = 1000 ∙ 2½≈ 1414 die Anzahl der Bakterien nach einer halben Stunde. Quelle: www.mathe-online.at/mathint/log/i.html (03.01.06)

25. Eine weitere Frage f(x) = 1000 ∙ 2x Jetzt sind wir in der Lage, einfache Aufgaben der folgenden Art zu lösen: Wie groß ist die Anzahl der Bakterien nach einer Stunde und 15 Minuten ? Lösung: Eine Stunde und 15 Minuten ist 1,25 Stunden. Wir setzen t = 1,25 ein und erhalten 2378,41423..., also sind nach 1,25 Stunden etwa 2378 Bakterien vorhanden. Quelle: www.mathe-online.at/mathint/log/i.html (03.01.06)

26. Erweiterung der Exponentialfunktion f(x) = 1000 ∙ 2x Man kann zeigen, dass als Exponent nicht nur rationale Zahlen (also Brüche), sondern alle reellen Zahlen gewählt werden können. Der Definitionsbereich einer Exponentialfunktion f(x) = bx ist also die Menge der reellen Zahlen. Quelle: www.mathe-online.at/mathint/log/i.html(03.01.06)

27. Erweiterung der Exponentialfunktion : Statt: f(x) = 2 x nun: g(x) = 2 – x = 1 : 2 x = (  ) x Man kann ebenso vermuten und zeigen, dass nicht positive, sondern negative Exponenten auftreten können. Das bedeutet, dass jetzt x und –x getauscht sind, der Graph also an der y-Achse gespiegelt erscheint und statt Wachstum (Verdopplung) haben wir Zerfall (Halbierung).

28. Rückblick Potenz ax, Basis a, Exponent x Exponentialfunktion: f(x) = a ∙ bx, wobei a, b, x reell,b > 0, b ≠ 1 Aufstellen einer Exponentialfunktion (Modellbildung auf Grundlage eines realen Problems) Schritte der Modellbildung: V – Ü – R – Z - A Beschreiben des Wachstums von Bakterienkulturen Erweiterung der Exponentialfunktion: Als Exponenten sind alle reellen Zahlen möglich.

29. Drei Fragen 1.) Was ist eine Potenz, was ist eine Exponentialfunktion? 2.) Worin bestehen Unterschiede zwischen einem linearen und exponentiellen Wachstum? 3.) Wie errechne ich Bestandszahlen mit Hilfe einer Exponentialfunktion ? (z. B. Die Anzahl von Bakterien)

30. Internetlinks http://www.mathe-online.at/mathint/log/i.html#Bakterien Selbstlernmaterial von Thomas Unkelbach unter http://www.thomas-unkelbach.de/

31. Aufgabe : Ein Ball fällt aus 2m Höhe auf eine feste Unterlage und springt nach jedem Aufprall jeweils auf 80% der Höhe zurück, aus welcher er gefallen ist. 1.) Stelle den Funktionsterm auf, der angibt, welche Höhe der Ball nach dem n-ten Aufprall erreicht. 2.) Wie hoch springt der Ball nach dem 5. Aufprall? 3.) Wann ist seine Sprunghöhe auf 1 cm gesunken?

32. Lösung : 1.) Der Funktionsterm : 2.) Höhe nach 5. Aufprall? 3.) Wann h=1 cm ?

33. Aufgabe : Abbau von Koffein im Blut Eistee kann einen Koffeingehalt von 50 Milligramm pro 0,33 l Dose haben. Bei einem Jugendlichen setzt die Wirkung des Koffeins nach ca. 1 Stunde ein. Der Koffeingehalt im Blut nimmt dann exponentiell mit einer Halbwertszeit von 3 Stunden ab. Eine Büchse Eistee enthält 50 mg Koffein. 1.) Stelle einen Funktionsterm für den Abbau auf ! 2.) Wann sind nur noch 0,01 mg Koffein im Blut vorhan- den, wenn der Abbau ca. 1 Stunde nach dem Verzehr beginnt?

34. Hausaufgabe Arbeitsblatt - gibt es jetzt.