מודלים דטרמיניסטיים בחקר ביצועים Deterministic Models in Operations research 1. הקדמה

1. מודלים דטרמיניסטיים בחקר ביצועיםDeterministic Models in Operations research1. הקדמה • תחילת הפעילות בחקר ביצועים במלחמת העולם השניה – הקצאת משאבים (מוגבלים) למבצעים צבאיים. • לאחר המלחמה הגיעו למסקנה שהטכניקות שפותחו להקצאת משאבים צבאיים יכולות לשמש להקצאת משאבים בתעשייה, בשירותים ובמוסדות ממשלתיים. • גורם נוסף בפיתוח תחום חקר הביצועים הנו התפתחות המחשבים. פתרון בעיות בעזרת טכניקות של חקר ביצועים ללא שימוש במחשבים אינו בא בחשבון ברוב המקרים. מודלים דטרמיניסטיים בחקר ביצועים

2. הקדמה (2) • חקר ביצועים הנו: גישה מדעית לקבלת החלטות במערכות ארגוניות. • תהליך קבלת ההחלטות מורכב מהשלבים הבאים: • ביצוע תצפיות על הבעיה. • ניסוח הבעיה בצורה מתמטית באופן שמהות הבעיה נשמרת באופן מדויק מספיק. • פתרון הבעיה – מתן דרכי פעולה מיטביות למחליט. • חקר ביצועים מתחלק לשני שטחים: • מודלים דטרמיניסטיים: תכנות לינארי, תכנות דינמי, תכנות בשלמים, זרימה ברשתות ועוד. • מודלים סטוכסטיים: תורת התורים, תורת המלאי, תהליכי החלטה מרקוביים ועוד. מודלים דטרמיניסטיים בחקר ביצועים

3. 2. הדוגמה הבסיסית ופתרונה הגרפי • מפעל מסוגל לייצר שני מוצרים A ו B. • במפעל שלוש מחלקות ייצור: • מחלקה מס’ 1 מכינה את מוצר A. • מחלקה מס’ 2 מכינה את מוצר B. • מחלקה מס’ 3 מרכיבה את המוצרים שהוכנו במחלקות הקודמות. • הנהלת המפעל מעונינת לקבוע את תוכנית הייצור שתשיא (תביא למקסימום) את הרווחים. מודלים דטרמיניסטיים בחקר ביצועים

4. הדוגמה הבסיסית ופתרונה הגרפי (2) • כבסיס לתכנון המיטבי של הייצור בוצע במפעל סקר נתוני הייצור. התקבלו הנתונים הבאים: מודלים דטרמיניסטיים בחקר ביצועים

5. הדוגמה הבסיסית ופתרונה הגרפי (3) • נניח שמחליטים לייצר כמות של X1 מנות (יחידות) ממוצר A ו X2 מנות (יחידות) ממוצר B. • בהתחשב בנתוני הייצור לעיל הכמויות X1 ו X2 חייבות לקיים את האילוצים (Constraints) הבאים: 1) X1 <= 4 2) 2 X2 <= 12 3) 3 X1+ 2 X2 <= 18 4) X1 >= 0 5) X2 >= 0 • מטרת ההנהלה מבוטאת ע"י פונקצית המטרה (Objective Function): Z= 3 X1+ 5 X2 מודלים דטרמיניסטיים בחקר ביצועים

6. הדוגמה הבסיסית ופתרונה הגרפי (4) • תכונות הבעיה: • בעיה דטרמיניסטית. • המשתנים אינם שליליים אך יכולים להיות שברים. • קיימת פרופורציונליות לינארית באילוצים ובפונקצית המטרה. כלומר, אם דרושות שתי יחידות משאב כדי להכין יחידה של מוצר B, אזי כדי להכין 2 יחידות דרושים 4 משאבים. • השפעות המשתנים על האילוצים ופונקצית המטרה הן מצטברות (תכונת האדטיביות). כלומר אם במחלקה 3 דרושים 3 X1 משאבים עבור הרכבת מוצר A ו 2 X2 משאבים עבור הרכבת מוצר B אזי סה"כ המשאבים הנדרשים הוא 3 X1 + 2 X2. • המשתנים חייבים להיות לא שליליים. • מכיוון שיש לבעיה רק שני משתנים ניתן לפתור אותה באופן גרפי. מודלים דטרמיניסטיים בחקר ביצועים

7. הדוגמה הבסיסית ופתרונה הגרפי (5) • קבוצת הפתרונות האפשריים (Feasible Region) היא קבוצה קמורה (Convex Set). • פתרון אפשרי (feasible Solution) הוא פתרון המקיים את כל האילוצים. • הפתרון המיטבי של הבעיה: • הפתרון המיטבי נמצא בנקודת פינה אפשרית (Corner Point Feasible Solution). מודלים דטרמיניסטיים בחקר ביצועים

8. 3. ניסוח בעיית התכנות הלינארי • לבעיה הרשומה לעיל נקרא בעיית תכנות לינארי סטנדרטית. • לעיתים מגדירים את הבעיה הסטנדרטית עם אילוצי גדול-שווה (=<) ואז הבעיה היא בד"כ בעיית מזעור (מינימום). לעיתים האילוצים הם שיוויונות. • לבעיה יש n משתנים, m אילוצים פונקציונליים כלליים ו n אילוצי אי-שליליות. מודלים דטרמיניסטיים בחקר ביצועים

9. ניסוח בעיית התכנות הלינארי (2) • בכתיב מטריציוני מוגדרת בעיית התכנות הלינארי ע"י מודלים דטרמיניסטיים בחקר ביצועים

10. 4. שיטת הסימפלקסSimplex Method • הגדרות: • פתרון אפשרי (feasible solution) הוא פתרון המקיים את כל האילוצים. אם לבעיה שהוצגהנוסיף את האילוץ 1.5 x1 + x2 >= 9.75 (מס. 6) הבעיה הייתה הופכת לחסרת פתרון אפשרי. • פתרון מיטבי (Optimal Solution) הוא פתרון בעל ערך פונקצית מטרה מיטבי (מזערי או מרבי). מודלים דטרמיניסטיים בחקר ביצועים

11. שיטת הסימפלקס (2) • לעיתים קרובות יש לבעיה פתרון מיטבי יחיד. אם יש יותר מפתרון מיטבי יחיד אזי יש אינסוף פתרונות מיטביים. אם פונקצית המטרה של בעיית הדוגמה הנה: Z=6 x1 + 4 x2 אזי כל הנקודות על הישר בין (2,6) ו (4,3) הן מיטביות. • קורה שלבעיה יש פתרון אפשרי אך אין פתרון מיטבי. כלומר,הפתרון המיטבי הנו בלתי חסום. אם אילוצי בעיית הדוגמה הם: 2 x1 – x2 <=6 -6 x1 + 3 x2 <=12 אזי התחום האפשרי והפתרון המיטבי בלתי חסומים. מודלים דטרמיניסטיים בחקר ביצועים

12. שיטת הסימפלקס (3) • משוואה גבולית (Boundary Equation) היא משוואה המתקבלת מאילוץ ע"י הפיכת סימן האי שוויון לשוויון. • משוואה גבולית מגדירה צורה גיאומטרית שטוחה הנקראת Hyperplane. במרחב הדו מימדי צורה זאת הנה ישר, במרחב התלת מימדי – מישור. הגבולות של האזור האפשרי מורכבים מפתרונות אפשריים הנמצאים על משוואה גבולית אחת או יותר. • נקודת פינה אפשרית (CPF- Corner Point Feasible Solution)הנה נקודה המתקבלת מהפתרון של nמשוואות גבוליות, והמקיימת את שאר mהאילוצים. בדוגמה לעיל, היות ו – 2= n , נקודת קצה מתקבלת מחיתוך של שתי משוואות גבוליות. הנקודות קצה אפשריות. הנקודות (0,9), (6,0), ו (4,6) הן נקודות קצה לא אפשריות. מודלים דטרמיניסטיים בחקר ביצועים

13. שיטת הסימפלקס (4) • נקודות פינה סמוכות (Adjacent Corner Points) הן נקודות פינה שהקו המחבר אותן מהווה משוואה גבולית. נקודות פינה סמוכות נבדלות במשוואה גבולית אחת בלבד כלומר יש להן n-1משוואות גבוליות משותפות. שתי נקודות פינה סמוכות מחוברות ע"י קטע קו ישר (line segment) המוגדר ע"י המשוואות הגבוליות המשותפות. קטע זה הוא הגבול (edge) של האזור האפשרי. • בדוגמה לעיל הנקודות (0,6) ו (2,6) הן נקודות פינה סמוכות. הראשונה מוגדרת ע”י: 2 X2 =12, 3X1 + 2 X2 = 18 • והשניה מוגדרת ע”י : X1 = 0, 3X1 + 2 X2 = 18 מודלים דטרמיניסטיים בחקר ביצועים

14. שיטת הסימפלקס (5) • מבחן המיטביות (Optimality Test). לכל בעית תכנות לינארי, שיש לה לפחות פתרון מיטבי אחד, אזי פתרון פינה אפשרי הוא הפתרון המיטבי אם הוא עדיף על כל הפתרונות הסמוכים.המבחן מפשט מאד את תהליך בדיקת המיטביות של פתרון נתון. • עקרונות שיטת הסימפלקס: • השיטה מתמקדת בנקודות פינה בלבד. לכל בעיית תכנות לינארי יש איפה מספר סופי (לא גדול) של נקודות שיש לבדקן. • שיטת הסימפלקס היא שיטה איטרטיבית (iterative algorithm). כלומר, תהליך הפתרון מורכב מצעדים (iterations) חוזרים עד שמשיגים את התוצאה הדרושה. • בתחילה יש לקבוע פתרון (אפשרי) לבעיה. • אחר כך יש לבצע מבחן מיטביות – אם הפתרון מיטבי הסתיים התהליך. • אם הפתרון אינו מיטבי יש לבצע צעד לשיפור הפתרון הנוכחי, ולחזור לבדיקת מיטביות. מודלים דטרמיניסטיים בחקר ביצועים

15. שיטת הסימפלקס (6) • במידת האפשר בוחרים בראשית הצירים כפתרון התחילי (initial solution). ניתן לבחור בפתרון זה כאשר האילוצים הם מסוג קטן-שווה וכל איברי וקטור b אינם שליליים. • כאשר נתון פתרון CPF הכי יעיל לעבור בצעד הבא ל CPF שכן – כך לא נדרשים הרבה חישובים. לכן, המסלול לנקודה המיטבית עובר בנקודות CPF לאורך גבול האזור האפשרי. • כאשר נמצאים ב CPF שיטת הסימפלקס בודקת את כל קווי הגבול המוליכים מהנקודה. כל אחד מהקווים מוליך לנקודת פינה סמוכה. יבחר הקו שקצב השיפור בו הוא מרבי, ותקבע ה CPF הבאה כנקודה שבקצה קו גבול זה. • אם מ CPF אין קו גבול שלאורכו יש שיפור בפונקצית המטרה משמע שהנקודה היא המיטבית. מודלים דטרמיניסטיים בחקר ביצועים

16. שיטת הסימפלקס (7) • התהליך האלגברי של הפתרון אינו יכול להיות מופעל על מערכת של אי-שויונים. מסבים איפה את האילוצים הפונקציונליים לשיוויונים. בבעיה עם אילוצי קטן-שווה ואגף ימין (RHS) חיובי ההסבה נעשית ע"י הוספת משתנים הנקראים משתני חסר (slack variables). • נוסיף איפה לבעיית הדוגמה את משתני החסר X3, X4, X5. Max Z= 3 X1+ 5 X2 Subject to 1) X1+ + X3 = 4 2) 2 X2 + X4 = 12 3) 3 X1+ 2 X2 + X5 = 18 Xj >= 0 , j=1,…,5. מודלים דטרמיניסטיים בחקר ביצועים

17. שיטת הסימפלקס (8) • הבעיה ה"חדשה" נקראת הצורה המורחבת (Augmented Form) מכיוון שהבעיה הורחבה במספר משתנים. • פתרון מורחב (augmented solution) הוא פתרון של הבעיה המקורית שהורחב וכולל עתה את ערכי משתני החסר. למשל הפתרון הקודם (0,0) יקרא עתה (18, 12, 4, 0, 0). • פתרון בסיסי (basic solution), הוא פתרון פינתי לבעיה המורחבת. למשל (4, 6, 0, 0, -6). • פתרון בסיסי אפשרי (basic feasible solution) הוא פתרון CPF לבעיה המורחבת. • בבעיה המורחבת יש (m+n) משתנים ורק m משוואות פונקציונליות. כלומר יש לנו n דרגות חופש ואנו יכולים לבחור n משתנים ולקבוע להם ערכים כרצוננו. אנו נבחר לאָפס n משתנים. מודלים דטרמיניסטיים בחקר ביצועים

18. שיטת הסימפלקס (9) • קבוצת המשתנים שלא אופסו נקראת הבסיס (basis) והמשתנים נקראים משתנים בסיסיים (basic variables). • פתרון בסיסי הנו בעל התכונות הבאות: • משתנה יכול להיות מסווג כבסיסי או כלא בסיסי. • מספר המשתנים הבסיסיים משתווה למספר האילוצים הפונקציונליים. • המשתנים הלא בסיסיים מקבלים את הערך 0. • ערכי המשתנים הבסיסיים מתקבלים ע"י פתרון המשוואות הפונקציונליות. • אם המשתנים הבסיסיים ממלאים את אילוצי האי שליליות הפתרון הבסיסי הנו פתרון בסיסי אפשרי (basic feasible solution). • כשם ששני CPF יכולים להיות סמוכים גם שני פתרונות בסיסיים יכולים להיות סמוכים. לדוגמה (0,6) ו (2,6) CPF סמוכים ואזי גם (0,6,4,0,6) ו-(2,6,2,0,0) הנן נקודות בסיסיות סמוכות. נקודות בסיסיות סמוכות קל יותר לזהות מכיוון שהן נבדלות במשתנה בסיסי אחד – X5 הוחלף ע"י X1. מודלים דטרמיניסטיים בחקר ביצועים

19. שיטת הסימפלקס (10) • פתרון בעיית הדוגמה בשיטת הסימפלקס. • קביעת הפתרון התחילי: Z – 3 X1 – 5 X2 = 0 X1 + X3 = 4 2 X2 + X4 = 12 3 X1 + 2 X2 + X5 = 18 • מקובל לרשום גם את פונקצית המטרה כמשוואה. • בבעיית מקסימום עם אגף ימין חיובי ואילוצי קטן שווה בוחרים את הראשית כפתרון התחילי של המשתנים המקוריים. כך נקבעים משתני החסר כבסיס התחילי (מודגשים). הפתרון התחילי הנו איפה (0,0,4,12,18). מודלים דטרמיניסטיים בחקר ביצועים

20. שיטת הסימפלקס (11) • סידרת נקודות הפינה הנבדקות במהלך הפתרון בשיטת הסימפלקס. מודלים דטרמיניסטיים בחקר ביצועים

21. שיטת הסימפלקס (21) • בדיקת מיטביות: מכיוון שמקדמי המשתנים הבסיסיים בפונקצית המטרה הנם אפס הרי שמקדמי המשתנים שאינם בסיסיים מהווים את שיעור השינוי בפונקצית המטרה עם כניסתם לבסיס. לכן קצב הגידול בפונקצית המטרה אם X1 ניכנס לבסיס הנו 3 וקצב הגידול אם X2 ניכנס לבסיס הנו 5. כניסת שני המשתנים תשפר את פונקצית המטרה ולכן הפתרון אינו מיטבי. משתנה X2 משפר בקצב מהיר יותר ולכן הוא ניכנס לבסיס. • צעד השיפור: מעונינים להגדיל את X2 לערך הגדול ביותר האפשרי מבלי שאפשריות הפתרון תפגע. מכיוון שמעונינים לשמור על בסיס הכולל מספר קבוע של משתנים הרי שכניסת משתנה צריכה להוציא מהבסיס את המשתנה שמתאפס ראשון. כך נשמרת אפשריות הפתרון. X1 + X3 = 4 2 X2 + X4 = 12 X4=12 – 2 X2 3 X1 + 2 X2 + X5 = 18 X5=18 – 2 X2 מודלים דטרמיניסטיים בחקר ביצועים

22. שיטת הסימפלקס (31) • מבדיקת מערכת המשוואות האחרונה מתברר: • X3 אינו מושפע מהגידול של X2. • X4 קטן עם גידול X2. אסור להגדיל את X2 מעבר ל- 6 אחרת X4 יעשה לשלילי (6=12/2). • X5 קטן עם גידול X2. אסור להגדיל את X2 מעבר ל- 9 אחרת X5 יעשה לשלילי (18/2). • בסיכום X2 נכנס ו- X4 יוצא (המינימום מבין השינויים האפשריים). • המשתנה היוצא מהבסיס הוא זה שהיה בסיסי באילוץ שבו התקבלה תוצאה מזערית מחלוקת אגף ימין של האילוץ במקדם של המשתנה הנכנס לבסיס (בתנאי שהמקדם חיובי). • נבצע עתה סידרת פעולות שמטרתן הבאת הבעיה לצורה דומה לזו שהייתה בפתרון התחילי: כל משתנה בסיסי מופיע רק פעם אחת, עם מקדם 1, במערכת המשוואות. הסדרה נקראת התמרה צירית. מודלים דטרמיניסטיים בחקר ביצועים

23. שיטת הסימפלקס (14) • התמרה צירית (Pivot Operation): Z – 3X1–5X2 = 02. מכפילים אילוץ 2 החדש ב 5 ומוסיפים לכאן. X1 +X3 = 43. משאירים אילוץ זה ללא שינוי. 2X2 +X4 =12 1. מחלקים את המשוואה ב-2. 3X1+2X2 +X5=18 4. מכפילים אילוץ 2 החדש ב 2 ומחסירים מכאן • הפעולות שבוצעו הן פעולות אלגבריות בסיסיות (elementary algebraic operations)והן אינן משנות את מרחב פתרונות הבעיה. כתוצאה מהפעולות נקבל: Z – 3 X1 +5/2 X4 = 30 X1 +X3 = 4 X2 +1/2 X4 = 6 3 X1 -X4 + X5 = 6 • הפתרון שהתקבל Z=30, X3=4, X2=6, X5=6. חוזרים לבדיקת מיטביות. מודלים דטרמיניסטיים בחקר ביצועים

24. שיטת הסימפלקס (15) • בדיקת מיטביות: מכיוון שקצב הגידול בפונקצית המטרה אם X1 ניכנס לבסיס הנו 3 אין הפתרון מיטבי. אין משתנה נוסף שהכנסתו לבסיס משפרת את פונקצית המטרה. משתנה X1 ניכנס לבסיס. • צעד השיפור: מעונינים להגדיל את X1 לערך הגדול ביותר האפשרי מבלי שאפשריות הפתרון תפגע. מכיוון שמעונינים לשמור על בסיס הכולל מספר קבוע של משתנים הרי שכניסת משתנה צריכה להוציא מהבסיס את המשתנה שמתאפס ראשון. Z – 3 X1 +5/2 X4 = 30 X1 +X3 = 4 X3=4 - X1 X2 +1/2 X4 = 6 3 X1 -X4 + X5 = 6 X5=6 – 3 X1 מודלים דטרמיניסטיים בחקר ביצועים

25. שיטת הסימפלקס (16) • מבדיקת מערכת המשוואות האחרונה מתברר: • X3 קטן עם גידול X1. אין להגדיל את X1 מעבר ל- 4. • X2 אינו מושפע מהגדלת X1. • X5 קטן עם גידול X1. אין להגדיל את X1 מעבר ל- 2 אחרת X5 יעשה לשלילי (6/3). • בסיכום X1 נכנס ו X5 יוצא (המינימום מבין השינויים האפשריים). • נבצע עתה את ההתמרה הצירית השניה: מודלים דטרמיניסטיים בחקר ביצועים

26. שיטת הסימפלקס (17) • התמרה צירית (Pivot Operation): Z – 3X1 +5/2 X4 = 302. מכפילים אילוץ 3 החדש ב 3 ומוסיפים לכאן. X1 +X3 = 4 3. מחסירים אילוץ 3 החדש מכאו. X2 +1/2 X4 = 6 4. משאירים אילוץ זה ללא שינוי. 3X1 - X4 +X5 = 6 1. מחלקים האילוץ ב 3. • כתוצאה מהפעולות נקבל: Z +3/2 X4 +X5 = 36 X3 + 1/3X4 – 1/3 X5 = 2 X2 +1/2 X4 = 6 X1 -1/3 X4 + 1/3 X5 = 2 • הפתרון שהתקבל Z=36, X3=2, X2=6, X1=2. חוזרים לבדיקת מיטביות. • בדיקת מיטביות. מכיוון שאין בפונקצית המטרה משתנים שהמקדמים שלהם שליליים הגענו לפתרון המיטבי. . מודלים דטרמיניסטיים בחקר ביצועים

27. שיטת הסימפלקס (18) • פתרון בעיית סימפלקס בעזרת טבלה. • מחלקים את משוואה 2 ב 2. • מכפילים את משוואה 2 החדשה ב 5 ומוסיפים לפונקצית המטרה. • משאירים את משוואה 1 ללא שינוי. • מכפילים את משוואה 2 החדשה ב 2 ומחסירים ממשוואה 3. מודלים דטרמיניסטיים בחקר ביצועים

28. שיטת הסימפלקס (19) • מחלקים משוואה 3 ב 3. • מוסיפים למשוואה 0 את משוואה 3 החדשה מוכפלת ב 3. • מחסירים ממשוואה 1 את משוואה 3 החדשה. • משאירים את משוואה 2ללא שינוי. מודלים דטרמיניסטיים בחקר ביצועים

29. שיטת הסימפלקס (20) • הגענו לפתרון המיטבי – אין מקדמים שליליים למשתנים בפונקצית המטרה. מודלים דטרמיניסטיים בחקר ביצועים

30. שיטת הסימפלקס (21) • סיכום האלגוריתם לפתרון בעיית תכנות לינארי סטנדרטית בשיטת הסימפלקס בטבלה: • תחילה יש להוסיף משתני חסר. משתני החסר יהיו הבסיס התחילי. • מבחן המיטביות: הפתרון הבסיסי הנוכחי הנו מיטבי אם ורק אם כל המקדמים בשורה 0 הנם לא שליליים. אם יש משתנים שמקדמיהם שליליים זה שמקדמו הוא הגדול בערכו המוחלט נכנס לבסיס. נציין ע"י ~ את האיברים בפתרון הנוכחי של הסימפלקס. משתנה נכנס לבסיס. מסמנים מלבן הכולל את כל מקדמי האילוצים של המשתנה הנכנס לבסיס. עמודה זאת נקראת עמודת ציר ההתמרה. מודלים דטרמיניסטיים בחקר ביצועים

31. שיטת הסימפלקס (22) • צעד סדרתי (איטרטיבי): קבע את המשתנה היוצא מהבסיס כדלקמן: אם לא קיים הבעיה אינה חסומה, אחרת המשתנה שהיה בסיסי באילוץ k יוצא מהבסיס. אילוץ k הנו שורת ציר ההתמרה. נסמן מלבן סביב שורה זו. מחלקים את שורת ציר ההתמרה ב . נסמן ע"י ` את האיברים בטבלת הסימפלקס הבאה ונקבל: מודלים דטרמיניסטיים בחקר ביצועים

32. שיטת הסימפלקס (23) מקדמי המטריצה הטכנולוגית בשורה i, (i=1,2,..,m) הם: מקדמי אגף ימין החדשים הם: מקדמי פונקצית המטרה החדשים הם: מודלים דטרמיניסטיים בחקר ביצועים