第27课时等腰三角形 复习指南 ［学生用书P24］ 本课时复习主要解决下列问题. 1.等腰三角形的有关概念，性质及判定

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2. 第27课时等腰三角形 复习指南［学生用书P24］ 本课时复习主要解决下列问题. 1.等腰三角形的有关概念，性质及判定 此内容为本课时的重点.为此设计了［归类探究］中的例1(包括预测变形1，2，3，4,5)，例2；［限时集训］中的第1，2，3，4，5，7，8题. 2.等边三角形的有关概念，性质及判定 此内容为本课时的重点.为此设计了［归类探究］中的例3；［限时集训］中的第11，13题. 3.运用等腰三角形的性质与判定解决有关问题 此内容为本课时的难点.为此设计了［限时集训］中的第6,9，10,12，14题. 新课标教学网（www.xkbw.com）--海量教学资源欢迎下载！

3. 考点管理［学生用书P24］ 1.等腰三角形的概念 定义：有 相等的三角形叫做等腰三角形，其中相等的两边叫做腰，另 一边叫做底边，两腰的夹角叫做 ，腰与底边的夹角叫做底角. 2.等腰三角形的性质 性质：（1）等腰三角形的两个底角相等（简称为“等边对等角”）； （2）等腰三角形的顶角平分线、底边上的高线、底边上的中线 （简称为“三线合一”）. 两边 顶角 互相集合 新课标教学网（www.xkbw.com）--海量教学资源欢迎下载！

4. 3.等腰三角形的判定 判定：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称为 “等角对等边”）. 注意：要正确区别等腰三角形的性质和判定.“性质”指的是由边相等得出角相 等，即“等边对等角”； 而“判定”指的是根据一些条件来判定三角形是不是等腰三角形,即最后得出边相等. 4.等边三角形 定义：三边都相等的三角形叫做等边三角形. 注意：等边三角形是等腰三角形的特殊情况，它是底边与腰相等的等腰三角形. 新课标教学网（www.xkbw.com）--海量教学资源欢迎下载！

5. 5.等边三角形的性质和判定 性质：（1）等边三角形的三条边都 ； （2）等边三角形的每一个角都等于 . 判定：（1）各边或角都相等的三角形是等边三角形； （2）有一个角等于 的等腰三角形是等边三角形. 相关规律：（1）边长为a的等边三角形面积等于; （2）等边三角形的内心、外心、垂心和重心重合于一点. 相等 60° 60° 新课标教学网（www.xkbw.com）--海量教学资源欢迎下载！

6. 6.线段的垂直平分线 定义：经过线段的 与这条线段 的直线叫做这条线段的垂直平分线. 注意：线段的垂直平分线的两个要点“垂直”和“平分”要同时存在. 性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离 . 判定：与一条线段两个端点距离 的点，在这条线段的垂直平分线上. 中点 垂直 相等 相等 新课标教学网（www.xkbw.com）--海量教学资源欢迎下载！

7. ［预测变形２］如图27-3，△ABC中，DE垂直平分AC交AB于E，∠A=30°，∠ACB=80°，则∠BCE=50°．［预测变形２］如图27-3，△ABC中，DE垂直平分AC交AB于E，∠A=30°，∠ACB=80°，则∠BCE=50°． 【解析】∵DE垂直平分AC，∴∠DCE=∠A=30°， ∴∠BCE=∠ACB-∠DCE=80°-30°=50°. ［预测变形３］如图27-4，在Rt△ABC中，∠B=90°，ED是AC的垂直平 分线，交AC于点D，交BC于点E．已知∠BAE=10°，则∠C的度数为 （ ） B 新课标教学网（www.xkbw.com）--海量教学资源欢迎下载！

8. ［预测变形1］［2010·烟台］如图27-2，等腰△ ABC中，AB=AC，∠A=20°，线段AB的垂直平分线交AB于D，交AC于E，连接BE，则∠CBE等于 （ ） A.80° B.70° C.60° D.50° 【解析】∵DE垂直平分AB，∴∠DBE=∠A=20°, ∴∠CBE=(180°-∠A)×1/2-∠A=60°. C 新课标教学网（www.xkbw.com）--海量教学资源欢迎下载！

9. 归类探究 类型之一等腰三角形的性质的运用 ［2011·预测题］如图27-1，等腰△ABC的周长为21，底边BC=5，AB的垂 直平分线DE交AB于点D，交AC于点E，则△BEC的周长为（ ） A.13B.14C.15D.16 【解析】由线段的垂直平分线性质可知AE=BE， ∴△BCE的周长为腰AC与底BC之和，即5+（21-5）×12=13，选A. A 新课标教学网（www.xkbw.com）--海量教学资源欢迎下载！

10. ［预测变形２］如图27-3，△ABC中，DE垂直平分AC交AB于E，∠A=30°，∠ACB=80°，则∠BCE=50°．［预测变形２］如图27-3，△ABC中，DE垂直平分AC交AB于E，∠A=30°，∠ACB=80°，则∠BCE=50°． 【解析】∵DE垂直平分AC，∴∠DCE=∠A=30°， ∴∠BCE=∠ACB-∠DCE=80°-30°=50°. ［预测变形３］如图27-4，在Rt△ABC中，∠B=90°，ED是AC的垂直平分线，交AC于点D，交BC于点E．已知∠BAE=10°，则∠C的度数为 （ ） A.30° B.40° C.50° D.60° 【解析】设∠C=x,则∠DAE=x,则10°+2x=90°,∴x=40°,选B. B 新课标教学网（www.xkbw.com）--海量教学资源欢迎下载！

11. ［预测变形４］在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线与AC所在的直线相交所得锐角为50°，则∠B=70°或20°．［预测变形４］在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线与AC所在的直线相交所得锐角为50°，则∠B=70°或20°． 【解析】当∠A为锐角时,可知∠A=40°, ∴∠B=（180°-40°）×12=70°; 当∠A为钝角时，可知∠A的补角=40°， ∴∠A=180°-40°=140°， ∴∠B=12×(180°-140°)=20°. ∴∠B=70°或20°. 新课标教学网（www.xkbw.com）--海量教学资源欢迎下载！

12. ［预测变形5］如图27-5，在△ABC中，BC边上的垂直平分线DE交边BC于点D，交边AB于点E.若△EDC的周长为24，△ABC与四边形AEDC的周长之差为12，则线段DE的长为6．［预测变形5］如图27-5，在△ABC中，BC边上的垂直平分线DE交边BC于点D，交边AB于点E.若△EDC的周长为24，△ABC与四边形AEDC的周长之差为12，则线段DE的长为6． 【解析】△ABC的周长-四边形AEDC的周长=12，∴BE+BD-DE=12，∴EC+DC-DE=12.∵DE+EC+DC=24，∴2DE=24-12，∴DE=6. 新课标教学网（www.xkbw.com）--海量教学资源欢迎下载！

13. 类型之二 等腰三角形的判定 ［2010·德州］如图27-6，点E，F在BC上，BE＝CF，∠A＝∠D，∠B＝∠C，AF与DE交于点O． (1)求证：AB＝DC； (2)试判断△OEF的形状，并说明理由． 【解析】（1）证明△ABF≌△DCE;(2)由等角对等边可判断其形状. 证明：（１）∵BE＝CF， ∴BE＋EF＝CF＋EF， 即BF＝CE． 又∵∠A＝∠D，∠B＝∠C， ∴△ABF≌△DCE（AAS）， ∴AB＝DC． 新课标教学网（www.xkbw.com）--海量教学资源欢迎下载！

14. （２）△OEF为等腰三角形. 理由如下：∵△ABF≌△DCE， ∴∠AFB=∠DEC， ∴OE=OF， ∴△OEF为等腰三角形． 【点悟】一般判定等腰三角形的方法是“两边相等”和“等角对等边”两种，这就涉及证明线段相等或角相等的问题，因此需要结合三角形全等解决线段相等或角相等的问题. 新课标教学网（www.xkbw.com）--海量教学资源欢迎下载！

15. 类型之三等边三角形的性质与判定 如图27-7，已知△ABC为等边三角形，点D、E分别在BC、AC边上，且AE=CD，AD与BE相交于点F. （1）求证：△ABE≌△CAD； （2）求∠BFD的度数. 【解析】（1）利用“SAS”证明. (2)利用（1）中的结论将∠ABF转化到∠FAE上去，即可求出∠BFD的度数. 新课标教学网（www.xkbw.com）--海量教学资源欢迎下载！

16. (1)证明：∵△ABC为等边三角形，∴∠BAC=∠C=60°，AB=CA.在△ABE和△CAD中，AB=CA，∠BAE=∠C，AE=CD，(1)证明：∵△ABC为等边三角形，∴∠BAC=∠C=60°，AB=CA.在△ABE和△CAD中，AB=CA，∠BAE=∠C，AE=CD， ∴△ABE≌△CAD. (2)解：∵∠BFD=∠ABE+∠BAD,又∵△ABE≌△CAD， ∴∠ABE=∠CAD，∴∠BFD=∠CAD+∠BAD=∠BAC=60°. 【点悟】在几何问题的解答过程中，有一部分思路来源于灵感，这种灵感建立在对一些几何图形的基本性质（如本题是等边三角形的基本性质）的掌握之上，借助这些图形的特性，可以启发我们寻找解答问题的思路和方法，从而达到解决问题的目的. 新课标教学网（www.xkbw.com）--海量教学资源欢迎下载！