Teoria haosului determinist î n fizica atmosferei

1. Teoria haosuluideterminist în fizica atmosferei V. Cuculeanu , M. Pavelescu Comunicare susţinută în cadrul AOŞR în 24 februarie 2011

2. 1.Introducere • 2.Concepte şi mărimi care descriucaracterul haotic • determinist • 3.Studii de caz din fizica atmosferei: • atractorul Lorenz • radioactivitatea atmosferei (radon, toron) • ozon total • 4.Considerente epistemologice • 5.Instituţii şi reviste de specialitate

3. 1.Introducere “Haos” derivă din cuvântul grecesc “χάος ” cu semnificaţia initială de spaţiu infinit gol care a existat înaintea tututor lucrurilor-vidul iniţial [Enciclopedia britanica].În acepţiunea modernă termenul are semnificaţia de stare a unui sistem caraterizată prin absenţa totală a ordinii/stare de dezordine şi iregularitate Un sistem dinamic este un concept matematic care presupune existenta unor relaţii matematice care descriu dependenta de timp a unui punct intr-un spatiu geometric. Modelele fizico-matematice sunt sisteme dinamice care descriu evoluţia în timp a proceselor şi fenomenelor fizice Un sistem dinamic se numeste determinist dacă este caracterizat printr-o dependenţa de timp deterministă, adică, există un set de ecuaţii (diferenţiale sau cu diferenţe) care permite determinarea stării viitoare a sistemului pornind de la condiţii iniţiale bine cunoscute

4. Prin haos determinist se inţelege comportamentul haotic specific sistemelordinamice neliniare, determinat de sensibilitatea la condiţiile iniţiale. Cel mai relevant mod de a descrie aceasta sensibilitate este efectul de fluture ( Butterfly Effect), introdus de Lorenz (1969): o bătaie din aripi a unui fluture undeva în Chicago va cauza o tornadă In Tokio.Altfel spus,diferenţe mici in stările iniţiale pot produce în timp diferenţe însemnate in stările finale

5. 2.Concepte si mărimi care descriucaracterul haotic determinist • Atractor straniu Atractorul unui sistem dinamic este domeniul din spatiul fazelor unde se află traiectoria sistemului când timpul tinde la infinit. Atractorul straniu are dimensiunea fractală un număr fracţionar şi caraterizează sistemele dinamice a căror dependenţă de timp este intrinsec neliniara şi includ un numar mare de variabile ce interactionează puternic, astfel incât sistemul devine impredictibil • Caracteristicile care indică comportamentul haotic determinist al unei serii de timp: • Spectrul de putere • Dimensiunea de corelatie • Exponentul Lyapunov • Entropia

6. Spectrul de putere • Spectrul de putere este folosit pentru a distinge, calitativ, dinamica haotică sau cvasiperiodică de cea periodică şi pentru a pune în evidenţă periodicităţi ale proceselor ce au determinat seria de timp. • O serie haotică este caracterizată printr-un spectru de bandă largă cu aparentă continuitate. Peste acest fond pot exista picuri mai mult sau mai puţin accentuate. • Existenţa unui spectru de bandă largă este numai condiţie necesară pentru existenţa haosului, deoarece semnale cvasiperiodice sau periodice cu zgomot pot produce acelaşi tip de spectru de putere. • Pentru deducerea spectrului de putere, se folosesc două metode: transformata Fourier rapidă şi metoda entropiei maxime

7. Dimensiunea de corelatie • Fie {xi = x (ti) }i=1,N o seriede timpde valori ale unei mărimi fizice măsurate la intervale de timp egale. • Din această serie de timp se reconstruieşte un spaţiu al fazelor m-dimensional considerând seria de timp originală • X(ti)şi cele deplasate succesiv cu timpul τ ca si coordonate ale unui vector cu componentele • Xi ={ x (ti),x (ti+ τ),……… x [ti +(m-1) τ ]} • unde m este dimensiunea vectorului Xi, numită dimensiunea de scufundare, iar τeste timpul de întârziere. Dacă τ este ales astfel încât valorile x (ti), x (ti+ τ),…… să fie decorelate, atunci x(ti), x(ti + τ) .....x[ti + (m-1) τ] vor fi independente, ceea ce reprezintă condiţia de definire a spaţiului fazelor (bază de reprezentare).

8. Pentru o dimensiune de scufundare m, seria de timp de vectori Xi în spaţiul de scufundare este utilizată pentru calculul sumei de corelaţie definită ca suma tututror perechilor posibile de puncte ( Xi, Xj )a căror distanţă este mai mică decât o distanţă dată r : unde N este numărul de valori din seria de timp,Heste funcţiatreaptăHeaviside. Distanţa dintre puncte, este dată de norma Euclidiană:

9. Dimensiunea de corelaţie Dsedefineşte prin relaţia: d log C(r) D= lim lim ─────── r→0 N→∞d log r Practic, mărimea D se calculează pentru valori crescătoare ale lui m. Când D atinge o valoare independentă de m, aceasta constituie dimensiunea de corelaţie a atractorului. Dimensiunea M dincolo de care D nu mai variază, este dimensiunea (minimă) de scufundare a atractorului Valoarea întreagă imediată (superioară) după dimensiunea de corelaţie D, indică numărul minim de variabileindependente necesar pentru a descrie evoluţia în timp a sistemului care a generat seria de timp respectivă.

10. Valoare 2D + 1 indică numărul de variabile independentesuficient pentru modelarea dinamicii sistemului fizic. • O valoare fracţionară a dimensiunii D indică comportamentul haotic al sistemului dinamic, cu dependenţă sensibilă de condiţiile iniţiale. • Dimensiunea de corelaţie este o măsură a complexităţii traiectoriei în spaţiul fazelor • Exponentul Lyapunov • Exponentul Lyapunov, λ, este o măsură a sensibilităţii sistemului dinamic la condiţiile iniţiale • Există un spectru de exponeţi Lyapunov; numărul lor este egal cu cel al dimensiunii spaţiului fazelor

11. Fie două puncte ( Xj , Xk )în spaţiul fazelor, corespunzătoare la două conditii iniţiale diferite, având distanţa δ0între ele la un moment dat : După un timp corespunzător numărului de puncte Δndin spaţiul fazelor, distanţa dintre cele două traiectorii considerate devine: |Xj-Xk|= δ0<< 1 δΔn =|Xj+Δn – Xk+Δn|

12. Exponentul Lyapunov maxim se defineşte prin relaţia: δΔn= δ0 e λΔn δΔn<< 1Δn>>1 • Dacă λ este pozitiv cele doua traiectorii diverg exponenţial ceea ce implică existenţa haosului, deci lipsa de predictibilitate a stărilor viitoare ale sistemului • Exponentul Lyapunov maxim determină predictibilitatea sistemuluiintrucât creşterea exponenţială a erorilor determinată de acesta estompează actiunea celorlalti exponenţi egali cu zero sau negativi

13. Entropia • Entropia Kolmogorov, K , este cea mai importantă mărime prin care se poate caracteriza dinamica haotic deterministă a unui sistem dinamic • Calculul practic al entropiei în cazul unei serii de timp de valori ale uni mărimi fizice, se poate face prin două procedee: • 1.Suma exponenţilor Lyapunov pozitivi ai unui atractor • este egala cu entropia sistemului dinamic, K=∑ λ+ • 2.Dacă dimensiunea de corelaţie se saturează atunci se • poate defini entropia ca:

14. Perioada de dublare a erorii este definită prin relaţia • Teste considerat ca intervalul de timp pe care se poate face predictie deterministă , dincolo de care se pot face numai predicţii statistice

15. 3.Studii de caz din fizica atmosferei • Atractorul Lorenz -paradigma haosului determinist • Model fizic: sitemul de ecuaţii Lorenz descrie mişcarea convectivă a unui strat de fluid atmosferic în câmp gravitaţional, încălzit de către sol în partea inferioară:

16. unde: • x = viteza fluidului • y = diferenţa de temperatură între curenţii ascendenţi si • şi cei descendenţi • z = deviaţia profilului vertical de temperatură faţă de • valoarea sa de echilibru • Parametrii folosiţi curent sunt σ=10, ρ=28, β=8/3 • Apariţia haosului este determinată de iniţiere curgerii turbulente a fluidului odată cu încălzirea treptată datorată solului • Caracteristicele atractorului Lorenz • geometrice: D =2,05 (numărul de variabile independente egal cu 3) • dinamice: λ= 0.9056, 0, -14.5723 Lorenz, E. N. [1963]: ‘Deterministic Nonperiodic Flow’, Journal of the Atmospheric Sciences, 20, pp. 130–41.

17. Seria de timp de 2000 de valori ale vitezei fluidului atmosferic, x, calculate la intervale de timp Δt = 0.05

18. Atractorul Lorenz pentru timpul de intarziere τ = n =2

19. Spectrul de putere al seriei de timp haotic deterministe, x(t)

20. Spectrele de putere ale sistemelor dinamice deterministe si aleatoare

21. Funcţia deautocorelaţie a seriei de timp x(t)

22. Dimensiunea decorelaţie a atractorului Lorenz

23. Evoluţia în timp a diferenţei între două traiectorii ale căror condiţii iniţiale în coordonata x(t) diferă numai la a cincea zecimală ( x0=0,x0=0.00001) “The butterfly effect in the Lorenz Attractor”

24. Radioactivitatea atmosferei: Rn-222 şi Rn-220 • Model fizic: radonul (Rn-222, T 1/2= 3.8 z ) şi toronul (Rn-220, T 1/2 = 55s ) sunt gaze radioactive emise de sol. Cei doi radionuclizi apar în seriile dedezintegrare ale U-238 şi Th-232 existenţi pretutindeni în scoarţa terestră.Dinamica concentraţiilor atmosferice ale celor doi izotopi depinde de rata de emisie din sol, rata de dezintegrare radioactivă şi condiţiilor fizice ale atmosferei. Ambele gaze şi descendenţii lor liberi sau ataşaţi pe aerosoli, ca şi fluidul atmosferic, sunt supuse proceselor specifice: difuzie turbulentă în stratul limită planetar, depunere uscată, gravitaţională şi umedă

25. În perioada 1993-1996 s-au măsurat concentraţiile de radonşi toron atmosferic la Observatorul de Fizica Atmosferei (INMH)cu un program de 4 prelevări zilnice (02.00-07.00, 08.00-13.00, 14.00-19.00, 20.00-01.00 UT) obţinându-se serii temporale de 5832 de valori pentru fiecare izotop

26. Atractorii seriilor detimp de concentraţii de radon şi toron în atmosfera au carater fractal, ceea ce pune în evidenţă natura neliniara a dinamicii acestor radionuclizi în atmosferă : Df = 1.191 (Rn222)Df = 1.104 (Rn220)

27. Atractorul seriei de timp de concentratii de radon obţinute prin rezolvareaecuaţiei difuziei dependente de timp are  Df =1.002, ceea cecorespunde unei linii, attractorul unui set determinist

28. Spectrele de putere ale celor două serii sunt de banda largă şi au ca frecvenţă dominanta cea corespunzătoare perioadei diurne( 24 ore)

29. Funcţiile de autocorelaţie definesc timpii de intârziere care asigura independenţa liniară a vectorilor bazei de reprezentare în spaţiul de scufundare al atractorului: • τ = 1 pentru ambii izotopi

30. Dimensiunile de corelaţie ale celor două serii de timp pun in evidenţă valoarea fracţionară a seriei toronuluicare se saturează la valoarea D=2.2 ÷2.3.In cazul radonului D nu se saturează şi este mai are dacât 5

31. Evidenţierea caracterului determinist al dinamicii seriei de radon folosind nestaţionaritatea densităţii de probabilitate

35. Sintezarezultatelor din teoria haosului determinist în cazul Rn220 şi Rn222: • Spectrele de putere ale celor două serii de timp sunt de bandă largă-condiţie necesarăsistemelor haotice- cu frecvenţe dominante care reflectă variabilitatea majoră a proceselor fizice care determină evoluţia temporală a concentraţiilor celor doi radionuclizi în atmosferă • Dimensiunea de corelaţie fracţionară , exponenţii Lyapunov pozitivi si entropia pun în evidenţă prezenţa haosului determinist în dinamica celor 2 serii de timp • Dimensiunea fractală scoate în relief caraterul neliniar al dinamicii concentraţiilor celor doi radionuclizi • Nestaţionaritatea densităţii de probabilitate a datelor stohastice asociate datelor reale evidentiază determinismul seriilor de timp

36. Numarul de vriabile necesar pentru descrierea dianamicii • Cazul toronului : minim 3 , maxim 7 • Cazul radonului: minim > 5, maxim > 11 • Perioada depredicţie deterministă • Cazul toronului: λRn220=̃ 0.2(zi)-1,T =̃3÷4 zile • Cazul radonului: valori aproximative, din cauza • numărului insuficient de date: • λRn222=̃ 0.4(zi)-1 , T =̃1÷2 zile

37. Publicaţii proprii 1.V. Cuculeanu and A. Lupu • “Fractal dimensions of the outdoor radon isotopes time series” • International Symposium on the Natural Radiation Environment (NRE – VI), June 5 – 9, 1995, Montreal, Canada • Environment International, Vol. 22, Suppl. 1, S 171–S 179, 1996, Pergamon, Elsevier, Printed in USA • 2. V.Cuculeanu and A.Lupu • Deterministic chaos in atmospheric radon dynamics • Journal of Geophysical Research – Atmospheres*, • Vol.106, No.D16, 17.961-17.968, August 27, 2001, • American Geophysical Union, USA

38. Citări • 1.In lucrarea “Analysis of chaotic behaviour of indoor radon concentrations”, autoriG. Pausch1, P. Bossew1, W. Hofmann1, • F. Steger2, • 1 Institute of Physics and Biophysics, University of Salzburg, Austria • 2 Division of Radiation Protection, Austrian Research Center Seibersdorf, Austria • (Culegerea de lucrări a Conferinţei internaţionale “Radonul în Mediul Locuit” ,19-23 aprilie 1999, Atena, Grecia)se recunoaşte prioritatea lucrării 1 privind introducerea conceptelor teoriei fractale în radioactivitatea radonului si toronului din atmosferă, cu următorul text:

39. “The application of fractal methods to radon time series has previously been demonstrated by Cuculeanu et al. (1996), who determined the fractal properties of 222Rn and 220Rn outdoor time series using Hurst´s rescaled range analysis and the box counting method.” (traducerea în limba română: Aplicarea metodelor fractale la seriile de timp de radon a fost demonstrată anterior de Cuculeanu şi altii (1996), care au determinat proprietăţile fractale ale seriile de timp 222Rn şi 220Rn din atmosferă folosind analiza domeniului rescalat a lui Hurst şi metoda domeniilor finite). 2.In lucrarea“An automatic static chamber for continuous 220Rn and 222Rn flux measurements from soil”,autoriB.E. Lehmann1, B. Ihly1, S. Salzmann1, F. Conen2, E. Simon3 1 Physics Institute, University of Bern, Switzerland 2 School of Geosciences, University of Edinburgh, Scotland, UK 3 MPI for Chemistry, Mainz, Germany,

40. publicată în revista Radiation Measurements 38 (2004) 43– 50 Elsevier (SUA),se exprimă următorul punct de vedere asupra lucrării 2: “Longterm records of 222Rn and 220Rn daughter products have enabled Cuculeanu and Lupu (2001) to get fundamental insights into the dynamics of the near-ground air layer” (traducere în limba română: “Înregistrările pe termen lung ale produşilor de dezintegrare radioactivă ai 222Rn şi 220Rn au dat posibilitatea lui Cuculeanu şi Lupu (2001)să obţină cunoştinţe ştiinţifice fundamentale privind dinamica stratului de aer din vecinătatea scoarţei terestre)”

41. Ozonul total • Ozonul apare în atmosferă prin următoarele reacţii fotochimice: • în stratosferă: O2 + hυ O+O O + O2  O3 • în apropierea scoarţei terestre: NO2 + hυ NO+O O + O2  O3 • Pierderile de ozon au loc prin: • fotoliză : O3+hυ O2+O O3+O 2O2 • reacţii cu monoxidul de azot: O3+ NONO2+O2 • reacţii cu substanţele halogene sub forma de gaz (Cl, Br)

42. Seria de timp de valori zilnice de ozon total de la staţia AROSA (Elveţia) acoperă perioada 1926-2005 • S-au analizat 2 serii: • una completă pe perioada 1926-2005 (28.822 valori ), • una pe perioada 1931-2005 ( 26.968 valori ) • Caracteristicel atactorului • Dimensiunea corelaţie: > 5 • Exponetul Lyapunov: 0.246 ± 0.006(zi)-1 • Entropia: 0.535 ÷0.562 (zi) -1 • Perioda de predicţie deterministă: 1÷2 zile

43. Spectrul de putere al seriei de timp AROSA este de bandă largă cu fecvenţa dominantă corespuzătoare variabilităţii sezoniere primavară-toamnă

46. 4.Considerente epistemologice • În Essai philosophique sur les probabilités(1814), Pierre-Simon Laplace introduce ideea de determinism fizic: “ Se poate considera starea prezentă a universului ca efectul trecutului său şi cauza stării viitoare. Un intelect care la un moment ar cunoaşte toate forţele care pun natura în mişcare, şi toate poziţiile componentelor naturii, dacă acest intelect ar avea o capacitate deosebită să analizeze datele respective, ar putea ingloba într-o singură formulă mişcările celor mai mari corpuri din univers şi ale celor mai mici atomi; pentru un astfel de intelect nimic nu ar fi incert şi viitorul ca şi trecutul sunt prezenti în faţa ochilor săi ”

47. Aspecte ale haosului au fost enunţate încă de la începutul secolului XX: • In 1887 regele Suediei a oferit un premiu de 2500 coroane celui care ar putea rezolva problema celor n-corpuri şi de aici ar demonstra stabilitatea sistemului solar. Premiul a fost acordat în 1889 lui H.Poincaré, nu pentru rezolvarea problemei, ci pentru o lucrare de 200 pagini care arăta ca nici problema gravitaţionala a celor 3 corpuri (Sore, Pamânt, Lună) nu poate fi rezolvată. • De asemenea , el a ajuns la concluzia că diferenţe extrem de mici în condiţiile iniţiale ar putea conduce la soluţii foarte diferite după un timp lung

48. Într-un eseu din 1903, numit “Stiinţă şi metodă ”, • Poincare scria: • “Dacă cunoşteam exact /complet legile naturii şi starea universului la momentul iniţial, puteam prevedea exact starea aceluiaşi univers la un moment ulterior. Dar chiar dacă era cazul ca legile naturii să nu mai aibă nici un secret pentru noi, totuşi cunoşterea stării iniţiale ar fi fost numai aproximativă. Daca am face predicţia stărilor ulterioare succesive cu aceeaşi aproximatie(ceea ce este tot ce pretindem) ar trebui sa spunem ca am anticipat fenomenul, deci că acesta este guvernat de legi. Dar nu este intotdeauna asa; se poate întâmpla ca diferenţe mici în condiţiile iniţiale să producă diferenţe mari în fenomenul final.O eroare mică în condiţiile iniţiale va produce o eroare enorma în fenomenul final. Predicţia devine imposibilă, şi avem un fenomen întâmplător (fortuitous)”

49. Poincaré a anticipat haosul modern, dar descoperirea lui a ramas inactivă peste o jumătate de secol aşteptănd apariţia computerelor care au permis oamenilor de ştiinţă să rezolve probleme ale căror soluţii sunt haotice şi să vizualizeze aceste soluţii • În 1963 Edward Lorenz ( Massachusetts Institute of Technology ) pune bazele teoriei moderne a haosului determinist prin descoperirea unui exemplu concret de sistem dinamic cu dimensionalitate joasă care prezintă sensibilitate la condiţiile iniţiale. Atractorul Lorenz constituie primul exemplu de atractor straniu / haotic • Termenul “haos ” a fost folosit pentru prima data în sensul său modern în lucrarea: • Li,T.Y and Zorke, J.A.(1975).“ Period three implies chaos”, American Mathematical Monthly 82, 985-92

50. Fizicianul James Lighthill, comentând asupra impactului haosului asupra impredictibilităţii, are următorul punct de vedere: • “Suntem foarte conştienţi astăzi că entuziasmul strămoşilor (forebears) noştri privind realizările uimitoare ale mecanicii newtoniene i-a condus la generalizări în domeniul pedictibilităţii, în care , în adevar, am fost tentaţi să credem înainte de 1960, dar care acum recunoaştem ca erau false ” • Lighthill, J. (1986): ‘The Recently Recognized Failure of Predictability in Newtonian Dynamics’, Proceedings of the Royal Society of London, Series A, 407, pp. 35–50.