1 / 20

Logistički model

Logistički model. Kolegij: Uvod u matematičke metode u inženjerstvu Studenti: Mario Lovrić Nino Barčanac. Teorijski uvod. Jednostavni jednodimenzionalni problem: dp/dt = rp

giselle-winters
Download Presentation

Logistički model

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript

  1. Logistički model Kolegij: Uvod u matematičke metode u inženjerstvu Studenti: Mario Lovrić Nino Barčanac

  2. Teorijski uvod Jednostavni jednodimenzionalni problem: dp/dt = rp Za kojeg vrijedi: p' = f(p,t), rješavamo integriranjem i dobivamo rješenje u eksponencijalnom zapisu: p=Cert

  3. Teorijski uvod • smjer i brzina promjene rasta veličine p ovise o parametrima p(0) i konstanti r. • modeli su idealni, u eksperimentu nećemo tako često naići na ovakva očekivana kretanja • potrebno je metodom najmanjih kvadrata odrediti odstupanja i na temelju tih vrijednosti optimizirati parametre i bolje aproksimirati rješenje. • eksponencijalni model nema granica i stalno ubrzano raste, što nije baš čest slučaj u prirodi nego uglavnom imamo nekakva ograničenja. Stoga u diferencijalnim jednadžbama kojima opisujemo prirodne pojave prilagođavamo parametre uvodeći granicu K preko koje veličina p ne može prijeći.

  4. Teorijski uvod Logistički model • Uvodi se za potrebe definiranja pojava sa ograničenim rastom npr.populacija, iskorištavanje resursa • veličina p raste do trenutka p = K, kad je vrijednost dosegla limit • u jednadžbu tipa p’ = rp uvodimo K pomoću funkcije r (1- p/K) i dolazimo do logističke jednadžbe: p’ = r p (1-.p/K) • vidimo da u funkciji imamo 2 fiksne točke, a to su 0 i K • u grafu se očekivano pojavljuje točka infleksije, tj trenutak kad ubrzani rast prijeđe u usporeni

  5. Teorijski uvod Slika: Grafički prikaz proizvodnje energije u vremenu t (sadržaj preuzet sa webstranice http://questioneverything.typepad.com/question_everything/2009/12/economic-dynamics-and-the-real-danger.html) Slika: Nekoliko primjera kretanja populacije u živom svijetu. (sadržaj preuzet sa webstranice http://kentsimmons.uwinnipeg.ca/16cm05/1116/16popbio.htm)

  6. 2. Modeliranje u programskom paketu Mathematica , p(0)=0,5 • Program u Mathematici: r:=1 K:=10 p0:=0.5 rez:=Evaluate[p[t]/.DSolve[{p'[t]==r*p[t]*(1(p[t]/K)),p[0]==p0},p[t],t]] rez Plot[{rez,K},{t,0,20},AxesLabel{t,Populacija}]

  7. 2. Modeliranje u programskom paketu Mathematica

  8. 2. Modeliranje u programskom paketu Mathematica

  9. 2. Modeliranje u programskom paketu Mathematica

  10. 2. Modeliranje u programskom paketu Mathematica r:=0.15 K:=10 p0:=20 rez:=Evaluate[p[t]/.DSolve[{p'[t]==r*p[t]*(1-(p[t]/K)),p[0]==p0}, p[t],t]] Plot[{rez,K},{t,0,20},AxesLabel{t,Populacija}, AxesOrigin{0,0},PlotRange{{0,20}, {0,20}}]

  11. 2. Modeliranje u programskom paketu Mathematica

  12. 2. Modeliranje u programskom paketu Mathematica

  13. 2. Modeliranje u programskom paketu Mathematica

  14. 2. Modeliranje u programskom paketu Mathematica Show[GraphicsArray[Partition[Table[ Plot[Evaluate[Table[( 10*ãr t* x0)/(10-x0+(ãr t)*x0),{x0,0,1,.05}]],{t,0,10}, DisplayFunctionIdentity, PlotLabelTraditionalForm[HoldForm[r]==PaddedForm[r,{2,1}]], AxesLabelTraditionalForm/@{t,x[t]},PlotStyleHue/@Range[0,1,.05],PlotRangeAll], {r,-1,1.5,.5}],3] ],ImageSize500,GraphicsSpacing{-.07,.1}]

  15. 2. Modeliranje u programskom paketu Mathematica a>0 - iseljavanje a<0 - useljavanje • Iseljavanje: r:=0.5 K:=10 p0:=20 a:=1 rez:=Evaluate[p[t]/.DSolve[{p'[t]==r*p[t]*(1-p[t]/K-a),p[0]==p0},p[t],t]] rez Plot[{rez,K},{t,0,20},AxesLabel{t,Populacija},AxesOrigin{0,0},PlotRange{{0,20}, {0,20}}]

  16. 2. Modeliranje u programskom paketu Mathematica

  17. 2. Modeliranje u programskom paketu Mathematica

  18. 2. Modeliranje u programskom paketu Mathematica • Useljavanje ( a<0): r:=1 K:=10 p0:=0.5 a:=-1 rez:=Evaluate[p[t]/.DSolve[{p'[t]==r*p[t]*(1-p[t]/K-a),p[0]==p0},p[t],t]] rez Plot[{rez,K},{t,0,20},AxesLabel{t,Populacija},AxesOrigin{0,0},PlotRange{{0,20}, {0,20}}]

  19. 2. Modeliranje u programskom paketu Mathematica

  20. 2. Modeliranje u programskom paketu Mathematica

More Related