1 / 65

PENGGUNAAN INTEGRAL

PENGGUNAAN INTEGRAL. Disampaikan Oleh Agus Sudiana, S.Pd. Kompetensi. Pendahuluan. Luas daerah. Volume benda putar. 9. Latihan. Referensi. Readme. Author. Exit. MEDIA PRESENTASI PEMBELAJARAN. Penggunaan Integral. Penggunaan Integral. Matematika SMA/MA Kelas XII IPA Semester 1

giza
Download Presentation

PENGGUNAAN INTEGRAL

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript

  1. PENGGUNAAN INTEGRAL Disampaikan Oleh Agus Sudiana, S.Pd

  2. Kompetensi Pendahuluan Luas daerah Volume benda putar 9 Latihan Referensi Readme Author Exit MEDIA PRESENTASI PEMBELAJARAN Penggunaan Integral Penggunaan Integral Matematika SMA/MA Kelas XII IPA Semester 1 Berdasarkan Kurikulum Berbasis Kompetensi (KBK)

  3. AuthorPenggunaan Integral Penggunaan Integral Kompetensi Pendahuluan Luas daerah Volume benda putar Latihan Referensi Readme Author Exit Home

  4. KompetensiPenggunaan Integral Penggunaan Integral Kompetensi Kompetensi Dasar Menggunakan integral untuk menghitung luas daerah dan volume benda putar. Pendahuluan Luas daerah Volume benda putar Latihan Indikator Hasil Belajar • Setelah pembelajaran siswa diharapkan dapat : • menggambarkan suatu daerah yang dibatasi oleh beberapa kurva. • menentukan luas daerah dengan menggunakan limit jumlah. • merumuskan integral tentu untuk luas daerah dan menghitungnya. • merumuskan integral tentu untuk volume benda putar dari daerah yang diputar terhadap sumbu koordinat dan menghitungnya. Referensi Readme Author Exit Home

  5. ReferensiPenggunaan Integral Penggunaan Integral Kompetensi Pendahuluan Luas daerah Volume benda putar Latihan Referensi Readme Author Exit Home Abdul Karim, dkk, Geometri : Lingkaran, Semarang, 2005 Edwin J. Purcell, Kalkulus dan Geometri Analitis Jilid 1, Erlangga, Jakarta 1996 Kastolan dkk, Kompetensi Matematika SMA Kelas XII Program IPA Jilid 3A, Yudhistira, Jakarta 2005 _______, Kurikulum Berbasis Kompetensi (KBK) Tahun 2004, Depdiknas, Jakarta 2004 ________, Microsoft Encarta Encyclopedia ________, Tutorial Maple 9.5 ________, Kitaro ________, Bersyukur - Opick www. mathdemos.gcsu.edu www. curvebank.calstatela.edu www. clem.mscd.edu www.mathlearning.net

  6. Readme Penggunaan Integral Penggunaan Integral Kompetensi Pendahuluan Luas daerah Volume benda putar Latihan Referensi Readme Author Exit Home Media Presentasi Pembelajaran ini disusun untuk membantu guru dalam pembelajaran penggunaan integral untuk menghitung luas daerah dan volume benda putar. Pembahasan luas daerah diawali dari luas sebagai limit jumlah, dilanjutkan dengan integral tentu, dan diakhiri penggunaan integral tentu untuk menghitung luas daerah. Pembahasan volume benda putar dikaji dari bentuk partisi setelah diputar yang meliputi bentuk : cakram, cincin, dan kulit tabung. Agar dapat memahami keseluruhan materi, maka pembahasan harus dilakukan secara berurutan dimulai dari kompetensi, pendahuluan, luas daerah, dan volume benda putar. Di akhir kegiatan diberikan soal latihan. Sebaiknya dalam penggunaan media ini guru juga menyiapkan soal latihan untuk menambah pemahaman konsep dan melatih keterampilan siswa. Untuk beberapa slide guru perlu menekan tombol klik kiri agar prosedur yang diinginkan dalam slide tersebut berjalan secara berurutan.

  7. PendahuluanPenggunaan Integral Penggunaan Integral Kompetensi Pendahuluan Luas daerah Volume benda putar Latihan Referensi Readme Author Exit Home Next Back Runtuhnya Jembatan Tacoma, Washington Jembatan Tacoma yang panjangnya 1,8 km di buka pada 1Juli 1940. Empat bulan kemudian jembatan tersebut runtuh karena badai yang berkekuatan 68 km/jam.

  8. PendahuluanPenggunaan Integral Penggunaan Integral Kompetensi Pendahuluan Luas daerah Volume benda putar Latihan Referensi Readme Author Exit Home Back Next Pilar-pilar jembatan pada gambar di atas membentuk partisi-partisi yang akan kita temukan dalam pokok bahasan menghitung luas daerah dengan menggunakan integral.

  9. PendahuluanPenggunaan Integral Penggunaan Integral Kompetensi Pendahuluan Luas daerah Volume benda putar Latihan Referensi Readme Author Exit Home Back Next Bola lampu di samping dapat dipandang sebagai benda putar jika kurva di atasnya diputar menurut garis horisontal. Pada pokok bahasan ini akan dipelajari juga penggunaan integral untuk menghitung volume benda putar.

  10. Luas sebagai limit jumlahLuas Daerah Luas Daerah Y X Next Home Back Menentukan luas daerah dengan limit jumlah dapat diilustrasikan oleh gambar di samping. Langkah utama yang dilakukan adalah memartisi, mengaproksimasi, menjumlahkan, danmenghitung limitnya. 1/19

  11. Luas Sebagai Limit JumlahLuas Daerah Luas Daerah y Li x 0 a x Back Next Home • Langkah menghitung luas daerah dengan limit jumlah adalah: • Bagilah interval menjadi selang yang sama panjang. • Partisilah daerah tersebut. • Masing-masing partisi buatlah persegi panjang. • Perhatikan persegi panjang pada interval [xi-1 , xi]. xi 2/19

  12. Luas Sebagai Limit JumlahLuas Daerah Luas Daerah y Li x xi 0 a x Back Next Home • Langkah menghitung luas daerah ( lanjutan ) : • Tentukan luas persegi panjang ke-i(Li) • Jumlahkah luas semua persegi panjang • Hitung nilai limit jumlahnya Luas sebuah persegi panjang: Li = f(xi) x Jumlah luas persegi panjang :Lf(xi) x Limit jumlah : L = limf(xi) x(n  ∞ ) 3/19

  13. Luas Sebagai Limit JumlahLuas Daerah Luas Daerah Jawab y Li x xi xi+1 x3 x1 x2 0 3 3/n Back Next Home Contoh 1. Tentukan luas daerah yag dibatasi oleh kurva y = x2, sumbu X, dan garis x = 3 dengan menggunakan cara limit jumlah. • Langkah penyelesaian: • Bagilah interval [0, 3] menjadi n buah selang yang sama panjang; yaitu 3/n. • Partisi daerah tersebut menurut persegi panjang luar. • Tentukan ukuran persegi panjang pada interval [xi , xi+1] dan hitunglah luasnya. • x0 = 0 • x1 = 3/n • x2 = (3/n) × 2 = 6/n • Jadi xi = 3i/n dan xi + 1 = 3(i +1)/n 4/19

  14. Luas Sebagai Limit JumlahLuas Daerah Luas Daerah y Li x xi xi+1 x3 x1 x2 0 3 3/n Back Next Home • Jumlahkan luas semua partisi • Tentukan limitnya Jadi luas daerah = 9 satuan 5/19

  15. Integral TentuLuas Daerah Luas Daerah Misalkan selang [a, b] dibagi menjadi n bagian (lebar tidak harus sama) dengan lebar selang ke-i adalah xi = xi – xi-1. Pada selang [xi-1, xi] diambil titik sampel xk maka jumlah Riemann dituliskan sebagai: y x a 0 xk b xi xi-1  xi Selanjutnya didefinisikan bahwa: Bentuk disebut dengan integral tertentu (Integral Riemann) Back Next Home Perhatikan gambar di bawah ini! 6/19

  16. Integral TentuLuas Daerah Luas Daerah Teorema Dasar Kalkulus Misalkan f adalah fungsi yang kontinyu pada selang [a, b] dan misalkan F adalah anti turunan dari f pada selang tersebut, maka berlaku : Untuk meringkas penulisan, F(b) – F(a) dinotasikan sebagai Contoh 2. Hitunglah nilai dari = = 2(2)3 – 2(2)2 – [2(-1)3 – 2(-1)2] = 16 – 8 + 2 - 2 = 8 Jawab Back Next Home 7/19

  17. Menghitung Luas dengan IntegralLuas Daerah Luas Daerah Berubah Menjadi Integral y y Tentukan limitnya n   x x a 0 b a 0 x b Back Next Home Secara geometri definisi integral Riemaan di atas dapat diartikan sebagai luas daerah di bawah kurva y = f(x)pada interval[a, b]. Jumlah Luas Partisi 8/19

  18. Menghitung Luas dengan IntegralLuas Daerah Luas Daerah xi y x 0 Back Next Home • Kegiatan pokok dalam menghitung luas daerah dengan integral tentu adalah: • Gambar daerahnya. • Partisi daerahnya • Aproksimasi luas sebuah partisi Li  f(xi) xi • Jumlahkan luas partisi • L  f(xi) xi • 5. Ambil limitnya L =lim f(xi) xi • 6. Nyatakan dalam integral Li xi a 9/19

  19. Menghitung Luas dengan IntegralLuas Daerah Luas Daerah Contoh 3. Hitunglah luas daerah tertutup yang dibatasi kurva y = x2, sumbu x, dan garis x = 3 xi Jawab y Li x 0 3 Back Next Home • Langkah penyelesaian : • Gambarlah daerahnya • Partisi daerahnya • Aproksimasi luasnya Li xi2 xi • 4. Jumlahkan luasnya L xi2 xi • Ambil limit jumlah luasnya • L=lim xi2 xi • Nyatakan dalam integral dan hitung nilainya xi 10/19

  20. Menghitung Luas dengan IntegralLuas Daerah Luas Daerah y Contoh 4. Hitunglah luas daerah tertutup yang dibatasi kurva y = 4x - x2, sumbu x, dan garis x = 5 xi xj Jawab 4 5 x 0 Li Aj Back Next Home • Langkah penyelesaian: • Gambar dan Partisi daerahnya • Aproksimasi : Li (4xi - xi2)xi dan Aj  -(4xj - xj2)xj • 4. Jumlahkan : L  (4xi - xi2)xi dan A   -(4xj - xj2)xj • 5.Ambil limitnya L = lim (4xi - xi2)xidanA = lim  -(4xj - xj2)xj • Nyatakan dalam integral xj xi 11/19

  21. Menghitung Luas dengan IntegralLuas Daerah Luas Daerah y xi xj 4 5 x 0 xj xi Li Aj Back Next Home 12/19

  22. Menghitung Luas dengan IntegralLuas Daerah Luas Daerah y x Li x a b 0 x Back Next Home LUAS DAERAH ANTARA DUA KURVA Perhatikan kurva y = f(x) dan y = g(x) dengan f(x) > g(x) pada selang [a, b] di bawah ini. Dengan menggunakan cara : partisi, aproksimasi, jumlahkan, ambil limitnya, integralkan, maka dapat ditentukan luas daerah antara dua kurva tersebut. • Langkah penyelesaian: • Partisi daerahnya • Aproksimasi : Li [ f(x) – g(x) ] x • 4. Jumlahkan : L  [ f(x) – g(x) ] x • 5.Ambil limitnya : • L = lim [ f(x) – g(x) ] x • 6. Nyatakan dalam integral tertentu 13/19

  23. Menghitung Luas dengan IntegralLuas Daerah Luas Daerah Contoh 5. Hitunglah luas daerah tertutup yang dibatasi kurva y = x2dan garis y = 2 - x Jawab y 5 x 4 3 Li 2 1 x x 0 -3 -2 -1 1 2 Back Next Home • Langkah penyelesaian: • Gambar daerahnya • Tentukan titik potong kedua kurva • x2 = 2 – x  x2 + x – 2 = 0  (x + 2)(x – 1) = 0 • diperoleh x = -2 dan x = 1 • Partisi daerahnya • Aproksimasi luasnya • Li (2 - x- x2)x • 4. Jumlahkan luasnya • L  (2 - x - x2)x • 5.Tentukan limit jumlah luasnya • L = lim (2 - x - x2)x • 6. Nyatakan dalam integral tertentu 14/19

  24. Menghitung Luas dengan IntegralLuas Daerah Luas Daerah y 5 x 4 3 Li 2 1 x x 0 -3 -2 -1 1 2 Back Next Home 15/19

  25. Menghitung Luas dengan IntegralLuas Daerah Luas Daerah y a Li b x x Ai x 0 Luas daerah = Back Next Home Untuk kasus tertentu pemartisian secara vertikal menyebabkan ada dua bentuk integral. Akibatnya diperlukan waktu lebih lama untuk menghitungnya. 16/19

  26. Menghitung Luas dengan IntegralLuas Daerah Luas Daerah y d y x 0 c Li Luas daerah = Back Next Home Jika daerah tersebut dipartisi secara horisontal, maka akan diperoleh satu bentuk integral yang menyatakan luas daerah tersebut. Sehingga penyelesaiannya menjadi lebih sederhana dari sebelumnya. 17/19

  27. Menghitung Luas dengan IntegralLuas Daerah Luas Daerah Contoh 6. Hitunglah luas daerah yang dibatasi kurva y2 = x, garis x + y = 6, dan sumbu x Jawab y 6 Li 2 x y y 0 6 Luas daerah = Back Next Home • Langkah penyelesaian: • Gambar daerahnya • Tentukan titik potong kedua kurva • y2 = 6 – y  y2 + y – 6 = 0  (y + 3)(y – 2) = 0 • diperoleh y = - 3 dan y = 2 • Partisi daerahnya • Aproksimasi luasnya • Li (6 - y- y2)y • 4. Jumlahkan luasnya • L  (6 - y - y2)y • 5.Tentukan limitnya • L = lim (6 - y - y2)y • 6. Nyatakan dalam integral tertentu 18/19

  28. Menghitung Luas dengan IntegralLuas Daerah Luas Daerah Luas daerah = Luas daerah = y 6 Luas daerah = Luas daerah = 2 x y Li y 0 Luas daerah = 6 Back Home Next 19/19

  29. PendahuluanVolume Benda Putar Volume Benda Putar Gb. 4 Next Home Back Suatu daerah jika di putar mengelilingi garis tertentu sejauh 360º, maka akan terbentuk suatu benda putar. Kegiatan pokok dalam menghitung volume benda putar dengan integral adalah: partisi, aproksimasi, penjumlahan, pengambilan limit, dan menyatakan dalam integral tentu. 1/17

  30. Pendahuluan Volume Benda Putar Volume Benda Putar x r = x y x y x 0 2 1 2 1 y x 4 3 2 0 h = x2 1 Back Next Home • Dalam menentukan volume benda putar yang harus diperhatikan adalah bagaimana bentuk sebuah partisi jika diputar. Berdasarkan bentuk partisi tersebut, maka metode yang digunakan untuk menentukan volume benda putar dibagi menjadi : • Metode cakram • Metode cincin • Metode kulit tabung 2/17

  31. Metode CakramVolume Benda Putar Volume Benda Putar Back Next Home Metode cakram yang digunakan dalam menentukan volume benda putar dapat dianalogikan seperti menentukan volume mentimun dengan memotong-motongnya sehingga tiap potongan berbentuk cakram. 3/17

  32. Metode CakramVolume Benda Putar Volume Benda Putar y x x a x x y x h=x 0 Back Next Home Bentuk cakram di samping dapat dianggap sebagai tabung dengan jari-jarir = f(x), tinggi h =x.Sehingga volumenya dapat diaproksimasi sebagai V  r2hatauV f(x)2x. Dengan cara jumlahkan, ambil limitnya, dan nyatakan dalam integral diperoleh: V    f(x)2 x V = lim   f(x)2 x 4/17

  33. Metode CakramVolume Benda Putar Volume Benda Putar Contoh 7. Hitunglah volume benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi kurva y = x2 + 1, sumbu x, sumbu y, garis x = 2 diputar mengelilingi sumbu x sejauh 360º. x Jawab y y x x 1 h=x x x 2 Back Next Home • Langkah penyelesaian: • Gambarlah daerahnya • Buat sebuah partisi • Tentukan ukuran dan bentuk partisi • Aproksimasi volume partisi yang diputar, jumlahkan, ambil limitnya, dan nyatakan dalam bentuk integral. 5/17

  34. Metode CakramVolume Benda Putar Volume Benda Putar y x h=x x Back Next Home V  r2h V  (x2 + 1)2 x V   (x2 + 1)2 x V = lim  (x2 + 1)2 x 6/17

  35. Metode CakramVolume Benda Putar Volume Benda Putar Contoh 8. Hitunglah volume benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi kurva y = x2, sumbu y, garis y = 2 diputar mengelilingi sumbu y sejauh 360º. y y Jawab 2 y x y y h=y x Back Next Home • Langkah penyelesaian: • Gambarlah daerahnya • Buatlah sebuah partisi • Tentukan ukuran dan bentuk partisi • Aproksimasi volume partisi yang diputar, jumlahkan, ambil limitnya, dan nyatakan dalam bentuk integral. 7/17

  36. Metode CakramVolume Benda Putar Volume Benda Putar y 2 y h=y x Back Next Home V  r2h V  (y)2 y V   y y V = lim  y y 8/17

  37. Metode CincinVolume Benda Putar Volume Benda Putar Back Next Home Metode cincin yang digunakan dalam menentukan volume benda putar dapat dianalogikan seperti menentukan volume bawang bombay dengan memotong-motongnya yang potongannya berbentuk cincin. 9/17

  38. Metode CincinVolume Benda Putar Volume Benda Putar Gb. 5 R r h Back Next Home Menghitung volume benda putar dengan menggunakan metode cincin dilakukan dengan memanfaatkan rumus volume cincin seperti gambar di samping, yaitu V= (R2 – r2)h 10/17

  39. Metode CincinVolume Benda Putar Volume Benda Putar Contoh 9. Hitunglah volume benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi kurva y = x2 dan garis y = 2x diputar mengelilingi sumbu x sejauh 360º. y Jawab y =2x y 4 x x x 2x x2 2 x Back Next Home • Langkah penyelesaian: • Gambarlah daerahnya • Buat sebuah partisi • Tentukan ukuran dan bentuk partisi • Aproksimasi volume partisi yang diputar, jumlahkan, ambil limitnya, dan nyatakan dalam bentuk integral. 11/17

  40. Metode CincinVolume Benda Putar Volume Benda Putar y y =2x R=2x r=x2 4 x y x x 2 x Back Next Home V  (R2 – r2) h V   [ (2x)2 –(x2)2 ] x V   (4x2 – x4) x V    (4x2 – x4) x V = lim   (4x2 – x4) x 12/17

  41. Metode Kulit TabungVolume Benda Putar Volume Benda Putar Back Next Home Metode kulit tabung yang digunakan untuk menentukan volume benda putar dapat dianalogikan seperti menentukan volume roti pada gambar disamping. 13/17

  42. Metode Kulit TabungVolume Benda Putar Volume Benda Putar r r h h 2r Δr Back Next Home V = 2rhΔr 14/17

  43. Metode Kulit TabungVolume Benda Putar Volume Benda Putar Contoh 10. Hitunglah volume benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi kurva y = x2 , garis x = 2, dan sumbu x diputar mengelilingi sumbu y sejauh 360º. Jawab y 4 3 x 2 x2 1 x x 0 1 2 Back Next Home • Langkah penyelesaian: • Gambarlah daerahnya • Buatlah sebuah partisi • Tentukan ukuran dan bentuk partisi. • Aproksimasi volume partisi yang diputar, jumlahkan, ambil limitnya, dan nyatakan dalam bentuk integral. 15/17

  44. Metode Kulit TabungVolume Benda Putar Volume Benda Putar x r = x y y x 0 2 1 2 1 4 4 3 3 x 2 2 h = x2 x2 1 1 x x 0 1 2 Back Next Home V  2rhx V  2(x)(x2)x V   2x3x V = lim  2x3x 16/17

  45. Metode Kulit TabungVolume Benda Putar Volume Benda Putar y y 4 4 3 3 R = 2 r=x 2 2 y 1 1 x x x 0 1 2 -2 -1 0 1 2 Back Home Next Jika daerah pada contoh ke-10 tersebut dipartisi secara horisontal dan sebuah partisi diputar mengelilingi sumbu y, maka partisi tersebut membentuk cincin. Volume benda putar tersebut dihitung dengan metode cincin adalah sebagai berikut. V  (R2 – r2)y V  (4 - x2)y V   (4 – y)y V = lim  (4 – y)y 17/17

  46. Latihan Penggunaan Integral Penggunaan Integral Latihan (6 soal) Petunjuk : Kesempatan menjawab hanya 1 kali Next Back 1/19

  47. LatihanPenggunaan Integral Penggunaan Integral Y 4 X 0 2 Next Back Soal 1. Luas daerah yang diarsir pada gambar di bawah ini dapat dinyatakan dalam bentuk integral sebagai .... A D B E C 2/19

  48. LatihanPenggunaan Integral Penggunaan Integral Y 4 X 0 2  L  (4 – x2) x L   (4 – x2) x L = lim  (4 – x2) x ( Jawaban D ) Next Back Soal 1. Luas daerah yang diarsir pada gambar di bawah ini dapat dinyatakan dalam bentuk integral sebagai .... A D B E C Jawaban Anda Benar 3/19

  49. LatihanPenggunaan Integral Penggunaan Integral Soal 1. Luas daerah yang diarsir pada gambar di bawah ini dapat dinyatakan dalam bentuk integral sebagai .... Y A D 4 4 - x2 B E x X 0 2 C x  L  (4 – x2) x L   (4 – x2) x L = lim  (4 – x2) x ( Jawaban D ) Next Back Jawaban Anda Salah 4/19

  50. LatihanPenggunaan Integral Penggunaan Integral Soal 2. Luas daerah yang diarsir pada gambar di bawah ini sama dengan …. Y 4,5 satuan luas A 9 1/3 satuan luas D 6 satuan luas B 10 2/3 satuan luas E 7,5 satuan luas C X 0 Back Next 5/19

More Related