Equations différentielles dans le plan

1. Master IXXI, cours interdisciplinaire de systèmes dynamiquesEmmanuel Risler, INSA de Lyon2 - Equations différentielles dans le plan

2. Equations différentielles dans le plan x2 x’ = f(x) x = (x1, x2) f = (f1, f2) x1’=f1 (x1, x2) x2’=f2(x1, x2) Contrairement à la dimension 1, impossible de déterminer la dynamique uniquement à l’aide d’un dessin. On va devoir calculer. En général les solutions ne se calculent pas. x1

3. Etude locale au voisinage d’un équilibre Linéarisation au voisinage d’un équilibre : f(xe)=0 x = xe + ey e y’ = f(xe + ey) = Df(xe) . e y + O(e2) y’ = Df(xe) .y + O(e) y’ = Df(xe) .y y2 x2 0 y1 e xe x x1 Linéarisation en dimension un : x’ = f(x) f : R->R f(xe) = 0 y’ = Df(xe) . y = f’(xe) . y f(x) e 0 x y x xe

4. Equations différentielles linéaires en dimension 2 a b c d x1’ = a x1 + b x2 x2’ = c x1 + c x2 x’ = Ax x = (x1, x2) A = 1. Cas où la matrice A est diagonale l1 0 0 l2 x1’ = l1 x1 x2’ = l2 x2 x1(t) = x1(0) exp(l1 t) x2(t) = x2(0) exp(l2 t) A = 1.a. l1 < l2 < 0 1.a/b l1 < l2 = 0 x2 x1 « nœud attractif »

5. 1.b l1 < 0 < l2 1.b/c l1 = 0 < l2 x2 x2 x1 x1 « col » x2 1.c 0 < l1 < l2 x1 « nœud répulsif »

6. 2. Cas où la matrice A est diagonalisable (sur R) y2 x2 y2 y1 y1 x1

7. Plan Trace - Déterminant D = 0 D D < 0 D >0 nœud répulsif nœud attractif T col col Polynôme caractéristique : P(l) = l2- Tl + D Discriminant : D = T2-4D

8. 3. Cas où la matrice A a deux valeurs propres complexes conjuguées (D < 0) z’ = l z z = rexp (i q) r‘ = Re (l) r q‘= Im (l) Av=lv l C , v C2   Av=lv x = z v + z v Re (l) < 0 -> « Foyer attractif » Re (l) > 0 -> « Foyer répulsif » Re (l) = 0 -> « Centre » Im (z) x2 Re (z) x1

9. Plan Trace – Déterminant (suite) D = 0 D D < 0 D >0 foyer répulsif foyer attractif nœud répulsif nœud attractif T col col Polynôme caractéristique : P(l) = l2- Tl + D Discriminant : D = T2-4D foyer attractif / foyer répulsif nœud / foyer nœud / col

10. Allure locale au voisinage d’un point d’équilibre • La stabilité locale de l’équilibre est donnée par la stabilité du linéarisé à l’équilibre • Un point selle (linéarisé de type « col ») admet une variété stable et une variété instable • La variété stable va jouer un rôle de séparatrice entre des comportements asymptotiques différents • En dimension supérieure, la stabilité d’un point d’équilibre est donnée par la partie réelle des valeurs propres du linéarisé • Un point d’équilibre est dit non dégénéré (= transverse) si aucune de ses valeurs propres n’est égale à zéro • Un point d’équilibre non dégénéré est robuste (si on perturbe légèrement le système, on conserve un unique équilibre, du même type, au voisinage) • Les bifurcations de codimension un d’équilibres sont de trois types : • Une valeur propre s’annule (« nœud-col ») • Deux valeurs propres complexes conjuguées ont une partie réelle qui s’annule (Hopf) • Deux valeurs propres réelles deviennent complexes conjuguées (nœud-foyer) • (la troisième bifurcation est moins importante, car elle ne modifie pas la stabilité de l’équilibre) • Cette classification reste valable en dimension supérieure

11. Bifurcation nœud-col

12. Point « selle » (ou « col ») et sa séparatrice

13. Bifurcation nœud-col

14. Application de premier retour

15. Application de premier retour pour une bifurcation de Hopf

16. Bifurcation de Hopfsuper-critique Bifurcation de Hopf sous-critique Espace des paramètres…

17. Bifurcation de Hopfsuper-critique en dimension 3

18. Bifurcation de confusion de deux orbites périodiques