Standardimenetelmät markkinariskien mallintamiseen

1. Standardimenetelmät markkinariskien mallintamiseen Elina Lepomäki 14.9.2011 Työn saa tallentaa ja julkistaa Aalto-yliopiston avoimilla verkkosivuilla. Muilta osin kaikki oikeudet pidätetään.

2. Yhteenveto • Rahoitusmarkkinoilla käytetään erilaisia menetelmiä markkinariskin mittaamiseen lyhyellä aikavälillä • Ongelma yhtenevä tappiojakauman mallintamisen kanssa • Missä on vektori riskitekijöiden muutoksista ajanhetkestä t ajanhetkeen t+1 ja on portfolion tappio-operaattori ajanhetkellä t • Riskimittarit Value-At-Risk (VaR) ja odotettu vaje (expected shortfall) • Riskien mittaamisessa on olennaista käytetäänkö ehdollistamatonta vai ehdollista tappiojakaumaa • Menetelmät: • Varianssi-kovarianssi, historiallinen simulaatio, Monte Carlo, Usean periodin tappiot ja skaalaus • Näiden yhteydessä usein sovellettu ennustekyvyn testaus (backtesting)

3. Varianssi-kovarianssi • Oletus. Riskimuuttujien muutokset noudattavat monimuuttujaista normaalijakaumaa • Missä μ on keskiarvo-vektori ja Σ kovarianssimatriisi • Oletus. Lineaarinen tappio riskitekijöiden osalta on riittävän tarkka approksimaatio todellisesta tappiosta • Lineaarinen tappio-operaattori • Missä on vakio ja vakiovektori • Yleisistä lineaarikombinaatioiden keskiarvoa ja varianssia koskevista säännöistä saadaan • Tästä tappiojakaumasta on helppo laskea VaR ja odotettu vaje • Menetelmän hyvät ja huonot puolet • Yksinkertainen analyyttinen ratkaisu • Linearisaatio ei tarpeeksi hyvä approksimaatio tappiojakauman ja riskitekijöiden muutosten suhteesta • Normaalisuusoletus ei välttämättä realistinen riskitekijöiden muutoksille, etenkään päivätasolla

4. Historiallinen simulaatio (1/2) • Sen sijaan että estimoidaan tappiojakaumaa parametrimallin avulla, tappiojakaumaa haetaan riskitekijän historiallisen (empiirisen) jakauman avulla • Muodostetaan yhden muuttujan datajoukko: lisätään tappio-operaattori jokaiseen riskimuuttujien muutosvektorin historialliseen havaintoon • :n arvot kertovat mitä nykyiselle portfoliolle tapahtuu mikäli päivän s riskitekijämuutokset toistuvat • Ehdollistamaton menetelmä • Jos oletetaan, että riskitekijöiden muutokset ovat stationäärisiä jakaumafunktiolla Fx, silloin datan empiirinen jakaumafunktio on Fx:n konsistentti estimaattori • Tällöin tappioiden jakaumafunktio on tappio-operaattoreiden konsistentti estimaattori Fx:ssä

5. Historiallinen simulaatio (2/2) • Käytännössä esimerkiksi VaR estimoidaan empiirisellä kvantiili-menetelmällä jossa tappiojakauman teoreettisia kvantiileja estimoidaan datan kvantiiliotoksilla • Merkitään datan järjestetyt alkiot • Tällöin :n mahdollinen estimaattori on , missä [n(1-α)] merkitsee suurinta n(1-α) pienempääkokonaislukua • Esimerkki: n=1000, α=0.99, VaR estimoidaan ottamalla 10:ksi suurin arvo • Menetelmän hyvät ja huonot puolet • Helppo ottaa käyttöön, redusoi riskimittarin estimoinnin yksiulotteiseksi ongelmaksi; ei tarvita X:n monimuuttujajakauman estimointia eikä riskimuuttujien riippuvuuksista tarvita oletuksia • Vaikeuksia voi olla löytää tarpeeksi historiallista dataa • Ehdollistamaton menetelmä: ehdollinen menetelmä yleensä sopivampi päivittäisen markkinariskin hallintaan

6. Monte Carlo • Simuloidaan eksplisiittinen parametrimalli riskitekijän muutoksille 1. askel: mallin valinta ja sen kalibrointi historialliseen dataan 2. askel: generoidaan m riippumatonta riskitekijän muutostoteumaa • Historiallisen simulaatiomenetelmän tavoin tappio-operaattori liitetään simuloituihin vektoreihin, jotta saadaan simuloidut toteumat tappiojakaumasta • Menetelmän hyvät ja huonot puolet • Historiallisen simulaatiomenetelmään verrattuna voidaan simuloida enemmän mahdollisia toteutumia m kuin mikä oli alkuperäisen historiallisen datan lukumäärä n • Ei ratkaise ongelmaa löytää monimuuttujainen jakauma :lle • Kaikki saadut tulokset ovat korkeintaan yhtä hyviä kuin malli jota käytetään • Markkinariskien yhteydessä jokin dynaaminen malli on yleensä toimivin (lisäksi GARCH ja esimerkiksi jokin paksuhäntäinen monen muuttujan ehdollinen jakauma) • Suurille portfoliolle Monte Carlosta aiheutuva laskentatkustannus voi olla liian raskas

7. Usean periodin tappiot ja skaalaus (1/2) • Toistaiseksi käsitelty yhden periodin tappiojakaumia ja niiden riskimittareita • Tarve on kuitenkin mallintaa myös pidemmän aikavälin muutoksia • Skaalaus: yksinkertaiset säännöt yhden periodin riskimittareiden muuntamiselle h-periodisiksi (h>1) • Merkitään tappio h periodin yli :lla • Missä on tappio-operaattori h periodille ajanhetkellä t • Kysymys kuuluu miten :lle käytetyt riskimittarit skaalautuvat h:n mukana • Vastaus ei ole yksinkertainen paitsi erikoistapauksissa • H-periodillinen tappio-operaattori eroaa yksiperiodillisesta silloin kun siirtymä riippuu eksplisiittisesti ajasta (esim. johdannaisportfoliot)

8. Usean periodin tappiot ja skaalaus (2/2) • Esimerkki. Ajan neliöjuuri –skaalaus • Jakauman kvantiilit sekä odotetut vajeet skaalautuvat alemmalle frekvenssille ajan neliöjuuren mukaan • Skaalaussääntöä käytetään paljon, etenkin varianssi-kovarianssi-menetelmän yhteydessä • Empiirinen data ei kuitenkaan tue riskitekijöiden muutosten normaaliutta tai oletusta riippumattomista ja identtisesti jakautuneista muuttujista (iid) • Vaikka rahoitusriskitekijöiden muutokset ovatkin usein (vähäisesti) korreloituneita, niin niiden volatiliteetti ei ole vakio. Jälkimmäinen havainto on ristiriidassa iid-oletuksen kanssa • Järkevämpien mallien aikaansaamiseksi kaivataan dynaamisia aikasarjamalleja esim. GARCH • Myös Monte Carlo –menetelmää käytetään usein h-periodillisen tappiojakauman riskimittareiden selvittämiseen • (Dynaaminen malli) Simuloidaan riskimuuttujaprosessin tulevaisuuden polkuja • Lisätään h-periodillinen tappio-operaattori dataan • Monte Carlo –simuloituja tappioita käytetään tilastollisten päätelmien tekemiseen tappiojakaumasta ja siihen liittyvistä riskimittareista

9. Backtesting • Edellä esitettyjä menetelmiä voi vertailla kehityksen tiedon valossa • Ajanhetkellä t tehdään VaR- ja odotettu vaje –estimaatit (ES) yhdelle sekä h periodille • Ajanhetkellä t+1 ja t+h voidaan selvittää mitä todellisuudessa tapahtui • Todennäköisyys VaR:n rikkeelle (violation), seuraa määritelmästä • Indikaattorit VaR-estimaattien rikkeestä • Mikäli estimointimenetelmät ovat järkeviä, indikaattorit käyttäytyvät kuin satunnaiset Bernoulli-muuttujat joilla erotus (rike)

10. Kotitehtävä • Valitse kaksi riskitekijää A ja B joista sinulla on saatavilla n havainnon historiallinen aikasarja (esim. jonkin osakkeen tai hyödykkeen hinta) ja kalibroi näihin sopivat parametrimallit • Oleta salkku, jossa 50% riskitekijää A ja 50% riskitekijää B • Simuloi mallin avulla m toteumaa salkun arvosta (m > n) • Laske salkun tappiojakauma ja valitsemasi riskimittarit • Dokumentoi askeleet kaavioin ja R-komennoin