Lav en tilfældig retvinklet trekant

1. u u u u hyp hyp hyp hyp hos hos hos hos 90-u 90-u 90-u 90-u mod mod mod mod Bevis I • Lav en tilfældig retvinklet trekant • Lav en kopi af trekanten, drej den 90 og placer den med u-spidsenmod 90-u spidsen • Gentag proceduren med den nye trekant to gange

2. u u u u hyp hyp hyp hyp hos hos hos hos 90-u 90-u 90-u 90-u mod mod mod mod Et kvadrat er kendetegnet ved, at vinklerne er 90, og alle fire sider er lige store w Gør rede for, at den store firkant er et kvadrat w w Siderne er alle hos + mod & vinklerne er 90, da de grå trekanter er retvinklede w Gør rede for, at den lille firkant er et kvadrat Siderne er alle hyp & vinklerne er 90, da u + 90 - u = 90, og dermed er der 90 tilbage til w.

3. u u u u hyp hyp hyp hyp hos hos hos hos 90-u 90-u 90-u 90-u mod mod mod mod Overvej, at det store kvadrat kan dannes af det lille kvadrat Klille og de fire trekanter T w T T Opstil en ligning for arealet af det store kvadrat udtrykt ved arealerne af det lille kvadrat og trekanterne Klille w w T T Kstor = Klille + 4T  (mod + hos)2 = hyp2 + 4½modhos w Udnyt dette og kvadratsætn. til at vise den pythagoræiske sætn. (mod + hos)2 = hyp2 + 4½modhos  mod2 + hos2 + 2modhos = hyp2 + 2modhos  mod2 + hos2 = hyp2 Kvadratet på hypotenusen er summen af kateternes kvadrater

4. Bevis II • ΔABC tegnes med C = 90° • Højden hc fra C tegnes og fodpunktet kaldes D. • AD og DB kaldes hhv. x og y, dvs. c = x + y. B benævnes v, og da gælder: BCD = 180 °- 90 °- v = 90 ° - v ACD = 90 °- BCD = 90 °- (90 °- v) = v A = 180 ° - 90 °- v = 90 ° - v Overbevis dig om at ΔABC, ΔACD og ΔBCD er ensvinklede: A x 90- v D c ∟ y b hc v v a 90- v ∟ C B

5. Sammenlign ΔABC med ΔACD: Sammenlign ΔABC med ΔBCD: A 90-v b x A x C v 90- v D D C hc c ∟ 90- v a y b hc hc v v 90- v v a ∟ B C B D y

6. De to udtryk, og , kombineres: Kvadratet på hypotenusen er summen af kateternes kvadrater