1 / 22

A Kerr-téridő geodetikusai

A Kerr-téridő geodetikusai. Elméleti Fizikai Iskola Budapest 2008.08.25-30. Bevezetés. A Kerr-metrika A geodetikus egyenletek - megoldásuk – szeparáció - Killing-tenzor - geodetikus teljesség Geodetikus görbék vizsgálata

goldy
Download Presentation

A Kerr-téridő geodetikusai

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript


  1. A Kerr-téridő geodetikusai Elméleti Fizikai IskolaBudapest 2008.08.25-30.

  2. Bevezetés • A Kerr-metrika • A geodetikus egyenletek - megoldásuk – szeparáció - Killing-tenzor - geodetikus teljesség • Geodetikus görbék vizsgálata - Kepler-pályák – időszerű - Null pályák - Gravitációs lencsék – Einstein-gyűrűk

  3. Ívelem - Kerr-Newman tömegimp.mom/tömegtöltés • Tengelyszimmetrikus, töltött forrás gravitációs mezejét írja le • Boyer-Lindquist koordináták: • További paraméterek (összesen 7) az Einstein-Maxwell egyenletek általános, Petrov D típusú megoldásában: kozmológiai állandó, gyorsulás, mágneses töltés, NUT paraméter

  4. Ívelem • Tartományok a téridőben 1. Horizont: ∆ gyökei 0 = a Schwarzschild, 0, 2m 0 < a2 < m2lassan forgó Kerr 0 < r± = m ± (m2 - a2)1/2 < 2m a2 = m2extrém Kerr r = m kétszeres gyök a2 > m2gyorsan forgó Kerrnincs valós gyök 2. Gyűrűszingularitás: • A görbületi invariánsok, pl. a = 0.8 e = 0

  5. A geodetikus egyenlet • Kerr-koordináták:(a sokaság nagyobb részét fedik le) • Töltött részecske mozgása a KN téridőben (Carter, 1968)μ: tömeg, ε: töltés τ sajátidő szerinti kovariáns derivált A Lagrange-függvény: · a λ (affin) paraméter szerinti derivált A geodetikus egyenletek esetén teljesülnek, ami a normálási feltétellel ekvivalens

  6. A geodetikus egyenlet • Az impulzus és a Hamilton-függvény: H nem függ λ-tól, ezért megmaradó(a részecske nyugalmi tömege) • A legegyszerűbb vektorpotenciál,amiből ugyanaz a térerősség-tenzorszármazik: • Az impulzus és az inverz metrika:

  7. A geodetikus egyenlet • A Hamilton-függvény: • Megmaradó mennyiségek:H = H(r,θ) energia impulzusmomentum • Schwarzschild-téridőben4 Killing-vektor: ∂/∂t + gömbszimmetriából adódók+ geodetikusokra mindig létező mozg.áll: Imp.mom iránya → egyenlítői mozgás

  8. A geodetikus egyenlet • További megmaradó mennyiségek?Vizsgáljuk a Hamilton-Jacobi-egyenletet!Ha létezik szeparálható megoldás, akkorFelhasználva, hogy A szeparációs állandó pozitív A hatás bevezetése nélkül látható, hogy ezen mennyiségek Hamilton-függvénnyel vett Poisson-zárójele eltűnik

  9. A geodetikus egyenlet • Az egyenletek megoldása: • Ezek segítségével kifejezhetők a mozgásegyenletek: • Boyer-Lindquist koordináták:

  10. Geodetikus teljesség • A mozgásegyenletek integrál-alakja: A geodetikus teljes, ha a λ affin paraméter tetszőleges értéket felvehet a görbe mentén. Ez teljesül, kivéve, ha elérjük a szingularitást, vagy az integrálok divergensek: ∆ = 0 és Θ = R = 0 Θ = R = 0: λ teszőlegesen nagy lehet, kivéve, ha r = cos(θ) = 0 teljesül ∆ = 0: a geodetikusok folytathatók egy másik térképre

  11. Killing-tenzor • Carter néhány héttel az előző eredmények megadása után meghatározta azt az általános metrikaalakot, amiből szeparálható mozgásegyenletek adódnak. • Walker, Penrose (1970, K) és Hugston, Penrose (1972, KN) vizsgálták a kvadratikus első integrál eredetét. • Szimmetrikus, m-edrendű tenzor, ami kielégíti a Killing-egyenletet Spúrmentes része a konform Killing-tenzor Pl.: a metrikus tenzor és Killing-vektorok Kab=ξ(aηb) alakú szorzata, ezek (állandó együtthatós) lineárkombinációi + nem-triviális Killing tenzorokKerr-téridő esetén: Áll.: ha a konform Killing-tenzorra teljesül, hogy Pab;a egy gradiens, akkor a Pab–ból származó Kab Killing-tenzor

  12. Killing-tenzor • Killing-spinor (Hughston, Penrose 1972):Legyen és normált spinor diád, melyek null-vektorai nyírásmentes null-geodetikusok érintői, és legyen komplex skalár, hogy kielégíti a forrásmentes Maxwell-egyenleteket:Ekkor a Killing-spinor kielégíti a egyenletet, valamint a szimmetrikus spúrmentes tenzor a konform Killing-egyenletet • A Killing-tenzorra vonatkozó tételek:T.: 4 dimenziós téridőben max. 50 db lineárisan független kétindexes Killing-tenzor létezik (állandó görbületű terekben valósul meg).T.: Minden Petrov D típusú vákuum téridőben (a C-metrika és általánosításai kivételével) létezik Killing-tenzor

  13. Geodetikus görbék vizsgálata • TEST (Traction of Events in Space-Time) (M. Johnston and R. Ruffini, 1974) A. Pierelli szobra

  14. Marcel Grossmann díj Roy Kerr átveszi a Marcel Grossmann (MG11, 2006) díjat a 70. születésnapja alkalmából rendezett konferencián (Kerr Fest, Christchurch, 2004)

  15. Geodetikus görbék – általános tulajdonságok • A θ mozgásΘ > 0, független ε,e és m-től- Q > 0:θ mozgás, mely metszi az egyenlítői síkot, cos(θ) = 0, és kiterjed a szimmetriatengelyig, sin(θ) = 0, ha Φ = 0 és Q+a2(E2-μ2) ≥ 0.θ = áll = 0 megoldás, ha Φ=0, Q+a2(E2-μ2)=0, mozgás a szimm.tengely mentén. - Q = 0:θ = áll = π/2, egyenlítői mozgás.θ = áll, ha Φ=0, a2(E2-μ2)=0. θ mozgás elegendően nagy energia, a2(E2-μ2) > Φ2, esetén az egyenlítői síkot egyik oldalról érintve, ami kiterjed a szimmetriatengelyig, ha Φ = 0.- Q < 0: nincs megoldás, kivéve, ha a2(E2-μ2) > Φ2 és Q ≥ -{[a2(E2-μ2)]1/2 - |Φ|}2 . Ekkor θ az egyenlítői síkot nem érintő tartományban mozog, ami kiterjed a szimmetriatengelyig, ha Φ = 0.

  16. Geodetikus görbék – általános tulajdonságok • A radiális mozgásr4: E2 < μ2 esetén kötött pályák (szökési energia)r0: az r = 0 hiperfelület nem érhető el Q > 0 esetén. Az egyenlítői síkból sem érhető el a szingularitás miatt. Q=0 esetén az r = 0 felület a2(E2-μ2) > Φ2 esetén keresztezhető (θ mozgás).A gyűrűszingularitás (r = cos(θ) = 0) elérhető Q = 0 esetén,továbbá teljesülnie kell (r0 együtthatója alapján): Φ = aE, vagy e = 0 (Kerr).Idő és fényszerű geodetikusok esetén (μ2 ≥ 0) a Φ = aE egyenlőség nem kompatibilis a2(E2-μ2) > Φ2 -el, így a szingularitás egyenlítői mozgás esetén érhető el.e = 0: Boyel és Lindquist vizsgálta, adott imp.momentum és elegendően nagy energia esetén az idő és fényszerű geodetikusok elérik a szingularitást.e ≠ 0: r2 együtthatója pozitív: ε2 ≥ (1+a2/e2) μ2, elegendően nagy töltésű részecske esetén teljesül.ε = 0, μ2 > 0: csak Schw. esetben teljesíthető, időszerű görbék nem, de fényszerű görbék (ε = 0, μ= 0) elérik a szingularitást.

  17. Geodetikus görbék • Radiális mozgás (e=0)Null-geodetikusok, (r,θ) sík, a=0.8, R(r = rs)=0Időszerű geodetikusok rs = 1.85, Q = 1.65 rs = 3, Q = 27 Q = 0 Q = -0.3 rs = 4 rs = 5.4

  18. Geodetikus görbék • Egyenlítői mozgás, periodikus pályák (e = 0) (Levin és Perez-Giz, 2008)A mozgást jellemző frekvenciák:A periodikus pályákat racionális q, és így a (z,ω,v) számhármas jellemzi (a pályaperiódusa radiális periódus z-szerese, ∆φ = z ∆φr , 1 ≤ v ≤ z-1).Adott (z,ω,v), a és L esetén meghatározhatóE és a radiális fordulópontok, hogy zárt pályát kapjunk. a=0, L=3.98, E=0.973 a=0, L=3.72, E=0.966 a=0, L=3.83, E=0.979

  19. Geodetikus görbék a=0, L=3.834, E=0.979 • Az általános mozgás közelíthető periodikus pályával,pl.: legyen ω+v/z = 1+1/3+δ, ahol δ≈1/100(perihélium elfordulás) • Adott a és L esetén qc ≤ q ≤ qmax teljesül, ahol qc a körpályához, míg qmax a max. energiájú kötött pályához tartozó érték.Newtoni határesetben ezek a határok 0-hoz tartanak (Kepler-ellipszis)

  20. Geodetikus görbék • Kerr-geodetikusok(a=0.995) L=1.82 L=2

  21. Gravitációs lencsézés {rS, θS, φS} {r0, θ0, φ0=0} • Fényelhajlás (gyenge, erős elhajlás)Mi a kapcsolatot a forrás képének {θ1, θ2} és pozíciójának {B1, B2} koordinátái között?A megoldás vezető rendje:aholθ≈ 0 esetén : elhajlás szöge sorfejtés εm és εa szerint, ahol, (J^2+Q)1/2 impakt paraméter a=0 esetén.

  22. Einstein-gyűrűk • Ha B = 0 (forrás a lencse mögött):

More Related