1 / 65

STATISTIČNA TERMODINAMIKA

STATISTIČNA TERMODINAMIKA. Doslej smo obravnavali fenomenološko, makroskopsko termodinamiko. Ta nivo popisa ne upošteva, da je sistem sestavljen iz številnih majhnih delcev. Povezave med obnašanjem makroskopskega in mikroskopskega sveta

goldy
Download Presentation

STATISTIČNA TERMODINAMIKA

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript

  1. STATISTIČNA TERMODINAMIKA Doslej smo obravnavali fenomenološko, makroskopsko termodinamiko. Ta nivo popisa ne upošteva, da je sistem sestavljen iz številnih majhnih delcev. Povezave med obnašanjem makroskopskega in mikroskopskega sveta so pomembne zaradi vzpostavitve novega, bolj poglobljenega nivoja razumevanja, kako se obnaša snov. V primeru makroskopske termodinamike uporabljamo eksperimentalne spremenljivke. V primeru mikroskopske termodinamike nas zanima, zakaj so eksperimentalne spremenljivke različne pri različnih strukturah delcev in kolikšne so te spremembe. Atomistični pristop tako podaja dodatni nivo razumevanja. Prav tako na podlagi mikroskopskega pristopa poglobimo razumevanje koncepta entropije. TERMODINAMIKA / THERMODYNAMICS STATISTIČNA / STATISTICAL

  2. KONCEPT MIKROSKOPSKEGA POPISA OBNAŠANJA SNOVI Pri mikroskopskem popisu predpostavimo, da lahko vsak delec popišemo z mikroskopskimi spremenljivkami kot so položaj, hitrost,... Ta popis ima bistveno pomankljivost. Kubični centimeter tipične kondenzirane snovi ima okoli 10e22 atomov (desetino mola). Specifikacija makroskopskih lastnosti na podlagi specifikacije mikroskopskih spremenljivk 10e22 atomov trenutno ni možna. V primeru samo enega vhodnega podatka za vsak delec, ki ga z računalnikom preberemo npr. v nanosekundi, bi trajala samo specifikacija stanja 10e22 atomov več kot 3000 stoletij. TERMODINAMIKA / THERMODYNAMICS STATISTIČNA / STATISTICAL

  3. KONCEPT ATOMISTIČNEGA POPISA OBNAŠANJA SNOVI Specifikacijo termodinamskega stanja sistema na podlagi mikroskopskega popisa imenujemo mikrostanje sistema. Matematično vejo, ki popisuje obnašanje velikega števila delcev sistema, imenujemo statistika. Statistika mikrostanje sistema popiše s porazdelitveno funkcijo. Na podlagi porazdelitvene funkcije sestavne dele sistema združujemo v razrede. Namesto, da bi za vsak delec v sistemu povedali njegovo stanje, s porazdelitveno funkcijo povemo, koliko delcev sistema je v določenem razredu. Specifikacijo termodinamskega stanja sistema na podlagi porazdelitvene funkcije imenujemo makrostanje sistema. Popis obnašanja snovi na podlagi porazdelitve delcev sistema po dovoljenih stanjih imenujemo statistična termodinamika. TERMODINAMIKA / THERMODYNAMICS STATISTIČNA / STATISTICAL

  4. Tako je statistična termodinamika pravzaprav (pod)veja mikroskopske termodinamike. MIKROSTANJE, MAKROSTANJE IN ENTROPIJA Obravnavamo enosestavinski termodinamski sistem, kjer so na mikroskopskem nivoju vsi sestavni deli enaki. Cilj razprave je v prvi vrsti ugotoviti povezavo med makroskopskim in mikroskopskim opisom entropije. Mikrostanje sistema lahko opišemo s tabelo. Vendar, če je delcev veliko, lahko to storimo samo v principu, v praksi pa ne. Poglejmo, kaj se zgodi, če imamo mikroskopsko gledano štiri enake delce, ki lahko zavzemajo dva energijska nivoja. TERMODINAMIKA / THERMODYNAMICS STATISTIČNA / STATISTICAL

  5. MIKROSTANJE TERMODINSMSKEGA SISTEMA Obravnavamo sistem s 4 delci ter dvemi energijskimi nivoji. Delci so označeni z malimi črkami a,b,c,d. Energijska nivoja sta označeni z grškimi črkami Šestnajst nastalih mikrostanj je označenih s črkami od A do P. TERMODINAMIKA / THERMODYNAMICS STATISTIČNA / STATISTICAL

  6. MAKROSTANJE TERMODINAMSKEGA SISTEMA Iz 16 mikrostanj smo naredili 5 makrostanj tako, da smo v vsako makrostanje razvrstili mikrostanja, ki imajo enako energijo. Makrostanja smo označili z rimskimi številkami I, II, III, IV, V. TERMODINAMIKA / THERMODYNAMICS STATISTIČNA / STATISTICAL

  7. SPLOŠNA OBLIKA ZAPISA MAKROSTANJA Z MIKROSTANJI TERMODINAMIKA / THERMODYNAMICS STATISTIČNA / STATISTICAL

  8. ŠTEVILO MIKROSTANJ IN MAKROSTANJ V primeru, da imamo 10 delcev na 3 energijskih nivojih, je število mikrostanj Se pravi, de je v tem primeru v povprečju približno 1000 delcev v enem makrostanju. TERMODINAMIKA / THERMODYNAMICS STATISTIČNA / STATISTICAL

  9. VERJETNOST, DA SISTEM NAJDEMO V DANEM MIKRO ALI MAKROSTANJU Predpostavimo, da je čas, ki ga sistem porabi v kateremkoli mikrostanju enak za vsa mikrostanja. Potem je čas, ki ga sistem porabi v kateremkoli makrostanju enak vsoti časov vseh mikrostanj, ki jih vsebuje dano makrostanje. Delež časa, ki ga sistem porabi v kateremkoli makrostanju je enak razmerju vsote časov vseh mikrostanj, ki jih vsebuje dano makrostanje, ulomljeno z vsoto časov vseh mikrostanj. To razmerje lahko interpretiramo kot verjetnost, da bo sistem v danem makrostanju ob določenem naključno izbranem času. TERMODINAMIKA / THERMODYNAMICS STATISTIČNA / STATISTICAL

  10. KOLIKO MIKROSTANJ VSEBUJE DANO MAKROSTANJE Število mikrostanj, ki jih vsebuje dano makrostanje, predstavlja standardni problem kombinatorike, ki je veja statistike. Koliko mikrostanj vsebuje dano makrostanje lahko preformuliramo v problem iskanja različnih načinov kako žog postavimo v škatel, kjer je v prvi škatli žog, v drugi , itd.? Odgovor je: Pri tem ne pozabimo, da je makrostanje definirano z TERMODINAMIKA / THERMODYNAMICS STATISTIČNA / STATISTICAL

  11. KOLIKO MIKROSTANJ VSEBUJE DANO MAKROSTANJE Uporabimo formulo za izračun števila mikrostanj v petih makrostanjih s primera na začetku obravnave (število delcev 4, število energijskih nivojev 2) Spoznamo, da formula kombinatorike daje enake rezultate, kot so dejansko prej “na roko” prešteta stanja. TERMODINAMIKA / THERMODYNAMICS STATISTIČNA / STATISTICAL

  12. Verjetnost, da se sistem nahaja v danem makro stanju M je večji, obstajajo v sistemu dalj časa. Makrostanja, pri katerih je Med vsemi makrostanji je eno, ki ima največjo verjetnost obstoja. To makrostanje interpretiramo kot makrostanje, ki je ravnovesno. TERMODINAMIKA / THERMODYNAMICS STATISTIČNA / STATISTICAL

  13. TERMODINAMIKA / THERMODYNAMICS STATISTIČNA / STATISTICAL

  14. Makrostanja, trije delci, trije energijski nivoji TERMODINAMIKA / THERMODYNAMICS STATISTIČNA / STATISTICAL

  15. Makrostanja, trije delci, trije energijski nivoji TERMODINAMIKA / THERMODYNAMICS STATISTIČNA / STATISTICAL

  16. TERMODINAMIKA / THERMODYNAMICS STATISTIČNA / STATISTICAL

  17. mikrostanja makrostanja ravnovesno makrostanje Če imamo ogromno makrostanj in energijskih nivojev izgleda porazdelitev mikrostanj po makrostanjih kot zgornji graf TERMODINAMIKA / THERMODYNAMICS STATISTIČNA / STATISTICAL

  18. BOLTZMANNOVA HIPOTEZA V fenomenološki termodinamiki definiramo ravnovesno stanje kot tisto, ki ima ekstremno in maksimalno entropijo. V mikroskopski termodinamiki definiramo makrostanje, ki je ravnovesno, kot tisto, ki ima največjo verjetnost obstoja. Verjetnost obstoja ravnovesnega stanja je ekstremna in maksimalna. Ugotovimo lahko, da ekstrem pri fenomenološki termodinamiki variira preko enega ali dveh redov velikosti, pri mikroskopski termodinamiki pa preko številnih redov velikosti. Ta razmislek je uporabil Boltzmann pri svoji hipotezi, ki je genialno povezala fenomenološki in mikroskopski pogled na termodinamiko TERMODINAMIKA / THERMODYNAMICS STATISTIČNA / STATISTICAL

  19. BOLTZMANNOVA HIPOTEZA makrostanje z največ mikrostanji TERMODINAMIKA / THERMODYNAMICS STATISTIČNA / STATISTICAL

  20. POGOJI ZA RAVNOVESJE V STATISTIČNI TERMODINAMIKI Uporabimo Boltzmannovo hipotezo. Tako lahko trdimo, da je v statistični termodinamiki ravnovesno stanje tisto makrostanje, pri katerem je v izoliranem stanju entropija najvišja. ISKANJE EKSTREMA - OPIS POSTOPKA Napišite izraz za spremembo entropije sistema s spremenljivkami, ki definirajo stanje. Te spremenljivke so . Napišite izraze za omejitve variacije teh spremenljivk zaradi izoliranosti sistema. Izpeljite sistem enačb, ki mora biti zadovoljen, da doseže entropija maksimum, glede na omejitve zaradi izoliranosti sistema. TERMODINAMIKA / THERMODYNAMICS STATISTIČNA / STATISTICAL

  21. IZRAČUN ENTROPIJE V STATISTIČNI TERMODINAMIKI Izračunajmo entropijo makrostanja M Uporabimo Stirlingovo formulo za aproksimacijo fakultete Natančnost formule narašča z x. TERMODINAMIKA / THERMODYNAMICS STATISTIČNA / STATISTICAL

  22. IZRAČUN ENTROPIJE V STATISTIČNI TERMODINAMIKI Uporabimo Stirlingovo formulo TERMODINAMIKA / THERMODYNAMICS STATISTIČNA / STATISTICAL

  23. IZRAČUN ENTROPIJE V STATISTIČNI TERMODINAMIKI To namesto to Na podlagi zgornje formule lahko entropijo tudi dejansko izračunamo. TERMODINAMIKA / THERMODYNAMICS STATISTIČNA / STATISTICAL

  24. SPREMEMBA STANJA V STATISTIČNI TERMODINAMIKI Sprememba stanja Spremeni se zasedenost makrostanj. Infinitezimalna sprememba stanja TERMODINAMIKA / THERMODYNAMICS STATISTIČNA / STATISTICAL

  25. SPREMEMBA STANJA V STATISTIČNI TERMODINAMIKI Izračunajmo infinitezimalno spremembo entropije TERMODINAMIKA / THERMODYNAMICS STATISTIČNA / STATISTICAL

  26. SPREMEMBA STANJA V STATISTIČNI TERMODINAMIKI Tako dobimo izraz za infinitezimalno spremembo entropije Pri tem ni nobenih omejitev glede porazdelitve delcev po makrostanjih. TERMODINAMIKA / THERMODYNAMICS STATISTIČNA / STATISTICAL

  27. IZRAČUN IZOLACIJSKIH OMEJITEV Celotna število delcev sistema ter celotno notranjo energijo sistema izrazimo kot Predpostavimo, da se niti število delcev niti notranja energija sistema ne moreta spremeniti v izoliranem sistemu V izoliranem sistemu vidimo termodinamski proces kot preporazdelitev delcev po fiksnih energijskih nivojih. Ta preporazdelitev mora biti takšna, de se celotna notranja energija ne spremeni. TERMODINAMIKA / THERMODYNAMICS STATISTIČNA / STATISTICAL

  28. IZRAČUN MAKSIMUMA ENTROPIJE V IZOLIRANEM SISTEMU V poljubnem sistemu so vse spremenljivke makrostanja neodvisne. V izoliranem sistemu jih je neodvisnih samo Dve neodvisni spremenljivki sta manj zato, ker imamo dve dodatni omejitvi (za energijo in število delcev). TERMODINAMIKA / THERMODYNAMICS STATISTIČNA / STATISTICAL

  29. METODA LAGRANŽEVIH MULTIPLIKATORJEV – OPIS POSTOPKA ISKANJE EKSTREMA Z METODO LAGRANŽEVIH MULTIPLIKATORJEV Pomnožite vsako diferencialno obliko enačbe prisile s poljubno konstanto. Prištejte forme k diferencialu funkcije, katere ekstrem iščemo. Zberite ekvivalentne člene in skupno diferencialno formo enačite z 0. Postavite koeficiente vsakega izmed diferencialov, ki nastopajo v tej enačbi na 0. Rešite rezultirajoči sistem enačb in izračunajte Lagranževe multiplikatorje. TERMODINAMIKA / THERMODYNAMICS STATISTIČNA / STATISTICAL

  30. UPORABA METODE LAGRANŽEVIH MULTIPLIKATORJEV PRI IZRAČUNU MAKSIMUMA ENTROPIJE Enačba za iskanje ekstrema entropije je torej, z upoštevanjem omejitev: TERMODINAMIKA / THERMODYNAMICS STATISTIČNA / STATISTICAL

  31. Zberimo člene, ki so množeni z istim diferencialom Enačba vsebuje členov, ki so vsi med seboj enaki po obliki. in . Postavimo vsakega izmed členov na 0. Razlikujejo se le po TERMODINAMIKA / THERMODYNAMICS STATISTIČNA / STATISTICAL

  32. Sedaj rešimo še vrednost multiplikatorjev. Uporabimo Rešimo faktor, ki vsebuje prvi multiplikator. Uporabimo Definirajmo delilno (partition) funkcijo sistema (Običajno predpostavimo, da je poznana) Če poznamo delilno funkcijo, lahko izračunamo vse termodinamske lastnosti sistema. TERMODINAMIKA / THERMODYNAMICS STATISTIČNA / STATISTICAL

  33. Tako lahko napišemo uravnoteženo populacijo makrostanja kot Izračunajmo še drugi Lagranžev multiplikator TERMODINAMIKA / THERMODYNAMICS STATISTIČNA / STATISTICAL

  34. Analogno dobimo iz drugega zakona termodinamike za odprti sistem Modrega člena nimamo v izrazu iz statistične termodinamike, ker smo upoštevali, da je povprečni volumen delca enak v vseh mikrostanjih. TERMODINAMIKA / THERMODYNAMICS STATISTIČNA / STATISTICAL

  35. Tako dobimo IZRAČUN MAKROSKOPSKIH LASTNOSTI IZ DELILNE FUNKCIJE Helmoltzovo prosto energijo lahko neposredno izračunamo, če imamo znano delilno funkcijo. TERMODINAMIKA / THERMODYNAMICS STATISTIČNA / STATISTICAL

  36. Izračun entropije in notranje energije TERMODINAMIKA / THERMODYNAMICS STATISTIČNA / STATISTICAL

  37. Izračun specifične toplote pri konstantnem volumnu Izračun ostalih vpeljanih termodinamskih funkcij v okviru tako preproste razprave ni možen. Potrebovali bi delilno funkcijo, ki je odvisna od volumna. Iz mikrostanja lahko izrazimo delilno funkcijo. Iz delilne funkcije lahko izračunamo makroskopske termodinamske funkcije. Statistična termodinamika tako podaja orodje s katerim lahko iz mikroskopskih značilnosti sistema izračunamo makroskopske značilnosti. TERMODINAMIKA / THERMODYNAMICS STATISTIČNA / STATISTICAL

  38. PRIMER UPORABE STATISTIČNE TERMODINAMIKE PREPROSTI SISTEM Z DVEMA ENERGIJSKIMA NIVOJEMA Definirajmo energijska nivoja. Lastnosti so določene samo s parametrom Izračunajmo delilno funkcijo TERMODINAMIKA / THERMODYNAMICS STATISTIČNA / STATISTICAL

  39. Izračunajmo porazdelitev delcev Pri nizkih temperaturah so vsi delci v prvem nivoju. Pri dovolj visokih temperaturah so enakomerno porazdeljeni po obeh nivojih. TERMODINAMIKA / THERMODYNAMICS STATISTIČNA / STATISTICAL

  40. TERMODINAMIKA / THERMODYNAMICS STATISTIČNA / STATISTICAL

  41. TERMODINAMIKA / THERMODYNAMICS STATISTIČNA / STATISTICAL

  42. TERMODINAMIKA / THERMODYNAMICS STATISTIČNA / STATISTICAL

  43. IZRAČUN HELMHOLTZOVE PROSTE ENERGIJE TERMODINAMIKA / THERMODYNAMICS STATISTIČNA / STATISTICAL

  44. IZRAČUN ENTROPIJE TERMODINAMIKA / THERMODYNAMICS STATISTIČNA / STATISTICAL

  45. IZRAČUN NOTRANJE ENERGIJE TERMODINAMIKA / THERMODYNAMICS STATISTIČNA / STATISTICAL

  46. IZRAČUN SPECIFIČNE TOPLOTE PRI KONSTANTNEM VOLUMNU Prvi, splošen način Drugi način, kjer uporabimo izpeljani izraz za notranjo energijo, je TERMODINAMIKA / THERMODYNAMICS STATISTIČNA / STATISTICAL

  47. IZRAČUN SPECIFIČNE TOPLOTE PRI KONSTANTNEM VOLUMNU Prvi način TERMODINAMIKA / THERMODYNAMICS STATISTIČNA / STATISTICAL

  48. IZRAČUN SPECIFIČNE TOPLOTE PRI KONST. V Enak izraz kot prej. Preverite! TERMODINAMIKA / THERMODYNAMICS STATISTIČNA / STATISTICAL

  49. PRIMER UPORABE STATISTIČNE TERMODINAMIKE EINSTEINOV MODEL KRISTALA Einstein je razvil konceptualno preprost model kot prvi poskus razumevanja termodinamike kristalov Model je s kvalitativnega stališča presentljivo pravilen. Atomi so organizirani v kubični rešetki. V vsakem ogljišču kocke je en atom. Energijski nivoji kristala so lahko (to dobimo iz kvantne mehanike) TERMODINAMIKA / THERMODYNAMICS STATISTIČNA / STATISTICAL

  50. Najprej izračunamo delilno funkcijo Zgornjo vsoto aproksimiramo z neskončno vsoto, ker je delež višjih energijskih nivojev k skupni vsoti zanemerljivo majhen TERMODINAMIKA / THERMODYNAMICS STATISTIČNA / STATISTICAL

More Related