Transmitancja widmowa i charakterystyki częstotliwościowe

1. Transmitancja widmowa i charakterystyki częstotliwościowe Przykładowy obiekt: Model matematyczny:

2. Dla: gdzie: Odpowiedź operatorowa układu:

3. Znajdźmy odpowiedź naszego przykładowego układu na wymuszenie sinusoidalne Interesują nas odpowiedzi na pytania:  czy odpowiedź układu będzie sinusoidalna dla t0 (ogólnie dla tt0 – chwili początkowej obserwacji  co można będzie powiedzieć o stosunku amplitud sygnału wyjściowego i wejściowego - wzmocnieniu  co można będzie powiedzieć o kątach fazowych sygnału wyjściowego i wejściowego – przesunięciu fazowym

4. Przedstawmy równanie różniczkowe modelu układu w postaci: Rozwiązanie tego równania uwy(t) (odpowiedź układu) dla dowolnego wymuszenia uwe(t) ma postać: (*)

5. Jaka będzie odpowiedź układu, jeżeli wymuszenie będzie miało postać: (**)

6. Podstawiając (**) do (*) Drogą całkowania przez części (pomoc można znaleźć w podręcznikach matematyki) obliczamy całkę nieoznaczoną U nas:

7. Dla naszych danych: Wykorzystując ten wynik możemy odpowiedź układu na sinusoidalne wymuszenie przedstawić w postaci: Wniosek: odpowiedź układu na wymuszenie sinusoidalne nie jest sinusoidalna dla dowolnego t0

8. Jeżeli interesujemy się odpowiedzią układu dla chwil t wystarczająco odległych od chwili t>>0 takich, że składowa swobodna będzie pomijalnie mała: sygnał odpowiedzi układu na wymuszenie wyniesie Odpowiedź częstotliwościowa układu

9. Wejście Wyjście gdzie: Wnioski:  Odpowiedź ustalona układu liniowego stacjonarnego pobudzanego sygnałem sinusoidalnym jest również sygnałem sinusoidalnym

10. Wejście Wyjście gdzie: Wnioski:  Amplituda odpowiedzi ustalonej układu jest różna od amplitudy wymuszenia i zależy od pulsacji ω sygnału wymuszającego (poza oczywistą zależnością od parametrów układu)

11. Wejście Wyjście gdzie: Wnioski:  Kąt fazowy odpowiedzi ustalonej układu jest różny od kąta fazowego wymuszenia i zależy od pulsacji ω sygnału wymuszającego (poza oczywistą zależnością od parametrów układu)

12. =

13. Policzmy: a. Stosunek amplitudy sygnału wyjściowego do amplitudy sygnału wejściowego b. Różnicę kątów fazowych sygnału wyjściowego i sygnału wejściowego

14. Amplituda sygnału wejściowego: a. Amplituda sygnału wyjściowego: Stosunek amplitud:

15. Kąt fazowy sygnału wejściowego: b. Kąt fazowy sygnału wyjściowego: Różnica kątów fazowych:

16. Wróćmy do opisu dynamiki przykładowego układu za pomocą transmitancji operatorowej G(s) jest funkcją zespoloną zmiennej zespolonej s =σ+jω W szczególności jej wartości można obliczać dla s=jω

17. Możemy poszukiwać dla przedstawienia w postaciach używanych dla liczb zespolonych Policzmy zatem wartości G dla s=j

18.  G(jω) ReG(jω) ImG(jω) |G(jω)| Przykład 1: Przypomnieć sobie zasady rachunku liczb zespolonych!!!

19. ImG(jω) ReG(jω) Przykład 2:

20. Wykonajmy eksperyment – policzmy dla pokazanego na początku układu RL transmitancję dla s=j Moduł: Faza:

21. Wniosek:!!! Transmitancja dla s=j zawiera pełną informację o odpowiedziach częstotliwościowych (ustalonej odpowiedzi wymuszonej na sygnał sinusoidalny) układu dynamicznego dla różnych pulsacji ω Porównanie:

22. Stąd: Transmitancja dla s=j stosowana jest jako narzędzie analizy układów dynamicznych i nosi nazwę transmitancji widmowej Definicja transmitancji widmowej

23. Matematycznie: G(jω) odwzorowuje dziedzinę (oś) pulsacji ω płaszczyznę zespoloną

24. Stosowane nazwy: - wzmocnienie amplitudowe, moduł - przesunięcie fazowe, faza

25. Przykład 3:

26. Przykład 3: c.d. Dyskusja: Jeżeli dla to Jeżeli dla to Element inercyjny zmniejsza amplitudę i wprowadza opóźnienie fazowe

27. Dlaczego interesują nas odpowiedzi częstotliwościowe?  sygnały sinusoidalne są często wymuszeniami układów  Dowolne sygnały dobrze aproksymują się za pomocą szeregów Fouriera Możliwość eksperymentalnego wyznaczenia transmitancji widmowej

28. Przykład 4: rozważany układ RL z T = 1 Weźmy wymuszenie: Odpowiedź:

30. Formy graficznego przedstawiania transmitancji widmowej

31. Charakterystyki amplitudowo – fazowe; wykresy Nyquist’a

32. Przykład 4:

34. Charakterystyki logarytmiczne amplitudy i fazy; wykresy Bode’a Transmitancję dowolnego elementu można przedstawić:

37. Przykładowo:

38. Szkicując charakterystyki asymptotyczne przyjmuje się zwykle zgrubnie i prościej:

39. Charakterystyki amplitudy

40. Charakterystyka błędu modułu

41. Charakterystyki fazy

42. Charakterystyki rzeczywiste i asymptotyczne

43. Przykład 5: ω1 = 10

44. Przykład 6: ω1 = 10

45. Przykład 7:

46. Dokładność aproksymacji: