NÚMEROS DE FIBONACCI

1. NÚMEROS DE FIBONACCI Por Javier Abajo

2. ¿Quién es Fibonacci? -Leonardo Bigollo (Fibonacci) nació en 1180. -Su padre, le inició en asuntos de negocios y contabilidad mercantil, lo cual despertó en él un interés por las matemáticas. -Compuso Liber abaci en 1202 (donde aparece el número 0) -Sus servicios fueron reconocidos por la República de Pisa.

3. Sucesion de Fibonacci Una sucesión es la suma de los ``n``primeros números de una secuencia. Esto, se podría realizar de la siguiente manera: Sn= (a1/2 + an/2) · n La diferencia, es que en las sucesiones de Fibonacci, el primer término se repite 2 veces: Un + Un+1 = Un+2

4. Veamos con detalle estos números. 1; 1; 2; 3, 5; 8; 13; 21; 34; 55; 89, 144.... Fibonacci hizo el estudio a partir de parejas de conejos y su descendencia pero las sucesiones tienen aplicación también en biología, ya que las ramas y las hojas de las plantas se distribuyen buscando siempre recibir el máximo de luz para cada una de ellas. Por eso ninguna hoja nace justo en la vertical de la anterior. La distribución de las hojas alrededor del tallo de las plantas se produce siguiendo secuencias basadas exclusivamente en estos números.

5. De la fórmula Un + Un+1 = Un+2, podemos llegar a: Un + m = Un-1·Um + Un·Um+1 Y si igualamos m a n; m=n... U2n = Un-1·Un + Un·Un+1 ; U2n= Un · ( Un-1 + Un+1) ; Un = Un+1 – Un-1 Por tanto, un número cualquiera dentro de una sucesión tiene el mismo valor que la diferencia entre su sucesor con respecto a su anterior.

6. Tanto interés como los números de Fibonacci, tienen los coeficientes binomiales; coeficientes que tienen las potencias de X en el desarrollo de (1+X). Existen vínculos directos entre ellos y los números de Fibonacci. Por otra parte, los números de Fibonacci también pueden ser definidos como función de su índice, es decir, como soluciones de una ecuación. Desarrollando los supuestos para demostrar si las soluciones pueden ser (o no) proporcionales, llegamos a la ''Fórmula de Binet'', llamada así en honor al matemático que la descubrió.

7. Propiedades de la secuencia de números de Fibonacci: 1ª) Usando los términos de la sucesión de Fibonacci podemos dibujar rectángulos de dimensiones iguales a los términos de la sucesión, expresadas, por ejemplo, en centímetros. 2ª) Uniendo rectángulos de dimensiones igual a los términos correlativos de la sucesión de Fibonacci, formamos la llamada espiral de Fibonacci.

8. 3ª) La suma de diez elementos consecutivos cualesquiera de la sucesión de Fibonacci es igual a 11 veces, el 7º elemento de ese grupo. No hay que comenzar necesariamente por el primer término de la sucesión. 1 – 1 – 2 – 3 – 5 – 8 – 13 – 21 – 34 – 55 – 89 – 144 - 233 ....... 1+1+2+3+5+8+13+21+34+55 = 143 = 11 · 13 4ª) El cuadrado de un término de la sucesión de Fibonacci es igual al producto de los términos que quedan a su derecha e izquierda respectivamente, aumentado o disminuido en una unidad. Esta diferencia va haciéndose alternativamente positiva y negativa. fn-1 · fn+1 = (fn)2 +/-1

9. 5ª) La suma de los cuadrados de dos números de Fibonacci consecutivos fn y fn+1 es igual al término de Fibonacci de orden f2·n+1. 6º) Cualesquiera cuatro términos de Fibonacci consecutivos A, B, C y D, verifican que: C2 – B2 = A · D 7ª) A excepción del 3, todo número de Fibonacci que sea primo tiene también subíndice primo. 89 = f11 el 89 es primo y el 11 también Sin embargo al revés esto no se cumple ya que los términos de Fibonacci de orden no primo NO tienen que ser necesariamente primos.

10. 8ª) No se sabe si en la sucesión de Fibonacci existe un número infinito de términos que sean primos. El mayor número de Fibonacci primo conocido es f531 que tiene 119 cifras. Se ignora si existe alguno mayor. 9ª) Dos números de Fibonacci consecutivos cualesquiera son siempre primos entre sí. 10ª) Entre los términos de Fibonacci existe un solo cuadrado perfecto (dejando aparte el caso trivial del 1), el f12 = 144. Curiosamente su valor es el cuadrado de su subíndice. Está de-mostrado que no existe ningún otro cuadrado en la sucesión de Fibonacci. 11ª) De igual forma, sólo existe un cubo (dejando aparte el caso trivial del 1) entre los términos de Fibonacci, el f6 = 8

11. 12ª) En el triángulo de Tartaglia (Pascal) sumando los términos de las diagonales secundarias, obtenemos los términos de la sucesión de Fibonacci.

12. 13ª) En los girasoles, las semillas se distribuyen en forma de espirales logarítmicas, unas en sentido horario y otras en sentido contrario a las agujas del reloj, si contamos el número de espi-rales que hay en un sentido y las que hay en el otro aparecen términos de Fibonacci consecutivos. Igual sucede en las piñas de los pinos.

13. 14ª) Por último, la última propiedad, es su correlación con el número de oro, la llamada razón áurea φ. Φ = 1/2 + Ѵ5/2 = 1,6180...

14. Como conclusión, merece la pena destacar que pese a ser una secuencia matemática y en sus inicios sencilla, cómo es capaz de manifestarse en otras ciencias hermanas como la biología, la física o incluso la química. Sorprendentemente, ni el propio Fibonacci, el cual usó su secuencia para dar consejos acerca de la cría de conejos, era consciente de lo importante y revolucionario que sería su estudio.

15. BIBLIOGRAFÍA - Los números de Fibonacci. N.N.Vorobiov -Manual de matemáticas 3º ESO. Editorial S.M. (Tema de sucesiones y progresiones) http://www.ite.educacion.es/formacion/enred/web_espiral/naturaleza/vegetal/fibonacci/fibonacci.htm -Google Imágenes Otros: Uso de OpenOffice.org Math para la elaboración de algunas fórmulas