Stacionarita v modeloch založených na časových radoch

1. Stacionarita v modeloch založených na časových radoch

2. Mnohé ekonomické časové rady sú nestacionárne • Nestacionarita vedie k vážnym dôsledkom pre vlastnosti estimátorov najmenších štvorcov (falošná regresia) • Skúmanie stacionarity predstavuje dôležitú časť modernej ekonometrie

3. Časový rad – množina pozorovaní premennej vykonaných v čase, spravidla v rovnakých časových intervaloch. • Časový rad Ztnazývame stacionárnym, ak jeho stredná hodnota a rozptyl sú v čase konštantné a ak kovariancia medzi Zt a Zt+k závisí iba od k a nie od t.

4. Časový rad je stacionárny ak: 1. E(Zt)=μ, 2. var(Zt)=E(Zt- μ)2=σ2 3.cov(Zt,Zt+k)=cov(Zt,Zt-k)=γk

5. Proces náhodnej prechádzky: Zt=β0+ρZt-1+εt Je stacionárny ak je splnená podmienka |ρ|<1, Ak β0=0 a ρ=1 potom je proces nestacionárny, Zt=Zt-1+εt a nazýva sa procesom náhodnej prechádzky (random walk) Ak β0≠0 a ρ=1 potom časový rad generovaný procesom Zt=β0+ρZt-1+εt je nestacionárny a nazýva sa procesom náhodnej prechádzky s posunom (random walk with drift)

6. Falošná regresia • Problém ktorý vzniká ak sú závisle premenná aj nezávisle premenná nestacionárne • Koeficient determinácie je vysoký a parametre modelu sú vysoko štatisticky významné, aj napriek tomu že v skutočnosti medzi týmito premennými neexistuje žiadny vzťah • Hodnota DW štatistiky je extrémne nízka • O falošnú regresiu sa jedná vtedy ak je hodnota DW štatistika nižšia ako R2 (Granger, Newbold)

7. Testovanie stacionarity pomocou testov jednotkového koreňa (unit root) • Vychádza z jednoduchého autoregresného modelu: Zt=ρZt-1+εt • O náhodnej poruche εt predpokladáme že predstavuje biely šum • Ak ρ=1 potom ide o random walk Zt=Zt-1+εt a časový rad je nestacionárny • => má jednotkový koreň

8. Ak je rad typu random walk, jeho hodnoty sú v jednotlivých pozorovaniach generované nasledovne: • Stredná hodnota radu je μ=Z0 , je teda konštanta

9. Rozptyl radu vypočítame • Rozptyl čaového radu závisí od času, čiže nieje konštantný, rad je teda nestacionárny • Ak t→∞, potom var(Zt)→∞ • Ak teda |ρ|<1 proces AR(1) je stacionárny • Nestacionaritu testujeme tak, že testujeme nulovú hypotézu H0: ρ=1, oproti alternatívnej H1:|ρ|<1, resp. ρ<1

10. Ak od oboch strán odpočítame Zt-1 dostaneme: Kde =Zt-Zt-1, a γ=ρ-1, Potom pre hypotézy o ρ a γ platí: H0: ρ=1 <=> H0: γ=0 H1: ρ<1 <=> H1: γ<0 Ak premenná Zt je random walk, potom γ=0 a =Zt-Zt-1= εt

11. Rad prvých diferencií je stacionárny, pretože náhodná porucha εt spĺňa štandardné podmienky, t.j. predstavuje biely šum • Rady ktoré je možné stacionarizovať vytvorením prvých diferencií nazývame integrovanými prvého rádu, označujeme I(1) • Stacionárne rady sú integrované rádu 0, I(0) • Ak je na dosiahnutie stacionarity potrebná h-ta diferencia, rád je integrovaný rádu h, I(h)

12. Testovanie jednotkového koreňa pomocou Dickey-Fuller testov Hypotézy: H0: ρ=1 <=> H0: γ=0 =>časový rad má jednotkový koreň; nestacionarita H1: ρ<1 <=> H1: γ<0 => časový rad nemá jednotkový koreň, stacionarita Odhadneme parametre modelu: • MNŠ, pomocou t štatistiky by sme chceli testovať hypotézu γ=0 • Hodnota ktorú sme vypočítali ako t štatistiku teraz nemá Studentovo rozdelenie • Hodnoty Studentovho rozdelenia niesú v tomto prípade kritickými hodnotami • Kritické hodnoty tohto testu tabelovali pôvodne Dickey-Fuller (1979) preto sa test nazýva Dickey-Fuller testom jednotkového koreňa

13. Dickey-Fuller tabelovali kritické hodnoty pre tri typy modelov: • Random walk: • Random walk s posunom (with drift): • Random walk s posunom a deterministickým trendom: • Testovací postup je podobný ako v predchádzajúcom prípade

14. Aby sa v modeli zohľadnila autokorelácia, pridávajú sa do modelu posunuté hodnoty • Testovanie hypotézy H0: γ=0 v kontexte takto rozšíreného modelu sa označuje ako Rozšírený (augmented) Dickey-Fuller test • Kritické hodnoty sú rovnaké ako pri nerozšírenom teste • Ďalše možnosti ako testovania stacionarity sú napr. Phillips-Perron test jednotkového koreňa, Kwiatkowski–Phillips–Schmidt–Shin test stacionarity (nieje testom jednotkového koreňa)

15. Kointegrácia

16. V regresných modeloch by nemali vystupovať časové nestacionárne časové rady, inak hrozí falošná regresia • Ak Xt a yt sú nestacionárne I(1), očakávame že ich rozdiel alebo iná lineárna kombinácia bude tiež I(1) • Existujú prípady keď ich lineárna kombinácia , v takom prípade hovoríme že rady Xt a yt sú kointegrované

17. Kointegrácia vyjadruje existenciu vzťahu dlhodobej rovnováhy: Pričom ut je chyba rovnováhy a kvantitatívne vyjadruje odchýlku od tejto rovnováhy Kointegračný vzťah zisťujeme testovaním či chyby sú stacionárne, Keďže náhodné poruchy niesú priamo pozorovateľné používame v teste stacionarity ich odhady (reziduály) získané pri odhade parametrov metódov najmenších štvorcov

18. Na odhadnuté reziduá aplikujeme DF test • Ak reziduá majú jednotkový koreň sú nestacionárne => časové rady niesú kointegrované • Ak reziduá nemajú jednotkový koreň, sú stacionárne=> časové rady sú kointegrované • Ďalšie spôsoby testovania kointegrácie, napr. Johansenova procedúra.

19. Modely s korekčným členom

20. Ak sú premenné Xt a yt kointegrované existuje medzi nimi vzťah dlhodobej rovnováhy, krátkodobo však môžu byť v nerovnováhe, ut označujeme ako chybu tejto nerovnováhy • Túto chybu môžeme využiť pre spojenie krátkodobého správania premennej yt s jej dlhodobou hodnotou • Metodiku modelov s korekčným členom rozpracovali Sargan a neskôr Engle a Granger

21. Grangerova reprezentačná teoréma: Ak sú premenné Xt a yt kointegrované, potom ich vzájomný vzťah možno vyjadriť pomocou modelu s korekčným členom Model má tvar: Keďže , potom Premenná pri parametri lambda je vlastne oneskorená chyba z kointegračnej regresie

22. ECM (error correction) model zahŕňa krátkodobé aj dlhodobé vlastnosti pretože neobsahuje len zmeny premenných ale aj úrovne premenných • Pri odhade parametrov tohto modelu nevzniká problém falošnej regresie (Premenné Xt a yt sú I(1), ∆Xt a ∆yt sú stacionárne, keďže Xt a yt sú kointegrované ut-1 je stacionárna premenná) • Na odhad parametrov modelu s korekčným členom tak môžeme použiť MNŠ a pri hodnotení odhadov bežný t a F test

23. Pri odhade modelu s korekčným členom postupujeme nasledovne: • Preskúmame stupeň integrácie časových radov (Dickey-Fuller test) – časové rady by mali byť integrované rovnakého rádu • Odhadneme kointegračnú regresiu • Otestujeme stacionaritu reziduí z kointegračnej regresie =>zistíme či medzi premennými existuje dlhodobý rovnovážny vzťah (kointegrácia) • Reziduá z kointegračnej regresie posunuté o jedno obdobie dosadíme do modelu s diferenciami ako korekčný člen a odhadneme parametre modelu • Do modelu s korekčným členom možno zaradiť aj oneskorené premenné ∆Xt-j a ∆yt-j • O počte oneskorených diferencií zahrnutých do modelu je možné rozhodnúť na základe t alebo F testu, prípad s použitím informačného kritéria (AIC,SBC)

24. Grangerova kauzalita

25. Grangerovu kauzalitu nemožno stotožňovať s bežne chápaným pojmom príčinnej závislosti • Testovanie kauzality v Grangerovom poňatí nieje nieje nič iné ako overenie či zmeny určitej premennej predchádzajú zmenám inej premennej a nie ktorá veličina je príčinou a ktorá následkom • Ak X podmieňuje Y v prípade Grangerovej kauzality, zmeny v X predchádzajú zmenám v Y a mali by byť splnené dve podmienky

26. Premenná X prispieva k zväčšeniu presnosti predpovedi Y, teda v regresii premennej Y na jej posunutých hodnotách by rozšírenie množiny vysvetlujúcich premenných o bežné a minulé pozorovania X podstatne zlepšilo vypovedaciu schopnosť regresnej závislosti • Premenná Y nemôže zvýšiť presnosť predpovedi X. V opačnom prípade by to znamenalo nejaké ďalšie premenné podmieňujúce tak X ako Y, takže X napomáha k predikcii Y a zároveň Y zlepšuje predikciu X

27. K overeniu platnosti vyššie uvedených dvoch podmienok navrhol Granger (1969) jednoduchý testovací postup • Ak chceme testovať nulovú hypotézu že premenná X nepodmieňuje Y vychádzame z lineárnej regresie Yt na posunutých hodnotách Y a rovnako posunutých hodnotách X. Túto tzv.Neohraničenú regresiu možno zapísať:

28. Maximálne oneskorenie p určíme ľubovolne dlhé • V prípade že koeficienty βr=0 (r=1,2,...,p), premenná Xt nevyhovuje predpokladu Grangerovej kauzality. Podobne vyjadríme lineárnu závislosť Yt len na jej časovo posunutých hodnotách oneskorených maximálne o rovnaký počet období p v tvare: ktorý sa nazýva ohraničenou regresiou

29. K otestovaniu štatistickej významnosti oneskorených hodôt premennej X je možné použiť F test s q a T-m stupňami voľnosti, ktorého testovaciu štatistiku vypočítame zo vzťahu: Kde SSRo a SSRN sú reziduálne sumy štvorcov z ohraničenej a neohraničenej regresie T-počet pozorovaní m-počet odhadnutých parametrov v neohraničenej regresii q-počet ohraničení parametrov

30. Ak sa parametre β významne líšia od nuly, odmietneme nulovú hypotézu že X nepodmieňuje Y v zmysle Grangerovej kauzality. • V ďalšom kroku testujeme nulovú hypotézu že premenná Y nepodmieňuje v Grangerovom poňatí X, pričom postupujeme obdobným spôsobom. • K záveru že X podmieňuje Y z hľadiska Grangerovej kauzality dospejeme až vtedy ak v prvom kroku odmietneme hypotézu že X nepodmieňuje premennú Y a zároveň v druhom kroku akceptujeme nulovú hypotézu že premenná Y nepodmieňuje X, to však neznamená že X je príčinou a Y následkom ale len tým spôsobom že premenná X zlepší presnosť predpovedi Y

31. Koniec