1 / 61

CÁLCULO LAMBDA

CÁLCULO LAMBDA. Base da programação funcional e um modelo alternativo de computabilidade. Inventor: Alonzo Church. Modelos de Computabilidade. Máquina de Turing (Alain Turing- 1936) Lambda cálculo (Alonzo Church - 1936) Linguagens While (Michael Arbib-1982)

hagop
Download Presentation

CÁLCULO LAMBDA

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript

  1. CÁLCULO LAMBDA Base da programação funcional e um modelo alternativo de computabilidade. Inventor: Alonzo Church

  2. Modelos de Computabilidade • Máquina de Turing (Alain Turing- 1936) • Lambda cálculo (Alonzo Church - 1936) • Linguagens While (Michael Arbib-1982) Alan Turing provou em 1937 a equivalência entre uma Máquina de Turing e o Cálculo Lambda em termos de computabilidade

  3. A. Church, Washington1903 Doutor pela Universidade de Princepton. Após seu doutoramento foi para Harvard trabalhar com Birkhoff e Huntington. E foi nesta época em que Birkhoff e ele tiveram discussões que resultaram na Teoria das Categorias como a conhecemos hoje. Trabalhou até 1990 quando com oitenta e sete anos parou de dar aulas mas continuou a orientar alguns pesquisadores selecionados, Turing tendo sido um de seus doutorandos.

  4. Programaçãp Funcional (1/2) • A maioria das Linguagens de Programação Funcional são semelhantes e diferem somente em aspectos sintáticos. O Cálculo lambda pode ser considerado como a ferramenta mais adequada a escrever programas usando o paradigma funcional. Neste paradigma, em que a solução de um problema é considerada como sendo implementar uma função, usa nesta implementação um conjunto de primitivas e regras de construir novas funções a partir destas primitivas.

  5. Programação Funcional (2/2) • Interessantes pela sua simplicidade sintática • Facilidade de escrever problemas recursivos. • Maioria das implementações são poucos aceitas devido à ineficiência em comparação com linguagens de programação comuns. • Novas implementações de interpretadores e/ou compiladores e novas linguagens mais modernas tem surgido.

  6. Exemplos de Linguagens Funcionais - LISP (LISt Processing - década de 60). Muito simples em muitos aspectos. É a mais utilizada devendo continuar por muito tempo. - Miranda (Turner 1985) - Haskell (1990) - Orwell (Wadler 1985) - Outras: ML, KRC, LML, SASL.

  7. Sintaxe do Cálculo Lambda O cálculo lambda pode ter sua sintaxe definida como um sistema formal.

  8. Termos do Cálculo Lambda • A linguagem do cálculo lambda usa um alfabeto S constituído de: • - um conjunto de variáveis: vo, v1, v2,....vn.... • - abstrator l(lambda) • - agrupadores (,) • Ao conjunto de cadeias finitas sobre S denota-se por S* e a cadeia que não contem elementos por e. Usam-se as variáveis x, y, z, ... para denotar cadeias de S*

  9. Cadeias de Símbolos: definições • Definição(Equivalência de duas cadeias) • Duas cadeias x e y são equivalentes e se escreve (x,y) Eq x = y • Definição (Comprimento de uma cadeia) • É uma função: • : S* Z+ • em que o número inteiro exprime o número de elementos da cadeia.

  10. Termo Lambda: definição • Um termo lambda, denotado pelas letras M, N, O, P,.. é um elemento da linguagemL, ondeS*  L definido da seguinte forma: • - vi é termo lambda; • - dado M, (lvi M) é termo lambda; • - dados dois termos lambda M, N então (MN) é termo lambda; • - e nada mais é termo lambda.

  11. Exemplos de Termos lambda • Verificar quais das expressões abaixo são termos lambda, justificando sua resposta: • vo • (vov1) • (vo) • (lvo(vov1)) • (lv1(vo(lv1(vov1)))) • (lvo(vov1)

  12. Notacão Lambda Simplificada • 1-Precedência a esquerda. ((MN)L)  MNL • 2-Sucessão de abstratores: • Assim (lx(ly(lz........))) lxyz... • 3-Separador: usa-se um ponto para designar o final de uma lista de argumentos lambda • Assim lx.xly.y  (lx(x(ly.y))) • 4-Supõe-se que letras diferentes designam entidades diferentes. • Assim x ¹ y em lx.y

  13. Semântica Operacional do Cálculo l Até agora foi descrita a sintaxe do cálculo-l. Sua semântica operacional diz como um programa Lambda opera, isto é, calcula.

  14. O Porque da Semântica: • Para chamá-lo de "cálculo'', deve-se porém dizer como "calcular'' com ele. Basicamente isto é realizado através de três regras de conversão, que descrevem como converter uma expressão-l em outra que lhe seja equivalente. • Mostra também como se introduzem os argumentos a serem usados como dados do programa.

  15. Programa Lambda • Um programa Lambda se escreve como um conjunto de expressões lambda. Normalmente, usando notação simplificada encontra-se o símbolo lambda seguido de lista de variáveis. limitando estas variáveis vem um ponto ".'' seguido pelo corpo da função. As variáveis são chamadas de parâmetros formais e diz-se que o lambda os liga. Exemplo: xy.(+ x y)

  16. Programa Lambda • Os dados são escritos logo depois da função lambda, como uma lista e são consumidos durante a operação do programa. • Exemplos: • > (xy. (y x)) dia bom • > (xy. (+ x y)) 3 6 • > (xy. (x y z)) 3 1 4 5

  17. Executar Programa Lambda • Para executar um programa lambda é suficiente dar valores às variáveis lambda. Assim tem-se: • xy.(+ x y) 3 4 • y.(+ 3 y) 4 • (+ 3 4) • 7 • Nota: geralmente operadores são pré-fxados. Isto na realidade é uma conversão de uma expressão em uma mais simples. Há 3 tipos de conversão.

  18. Funções embutidas • Funções embutidas como + não existem no cálculo lambda na sua forma mais pura. Para fins práticos, uma extensão que as suporte é útil. Estas incluem funções aritméticas (como +, -, *, /), constantes (como 0, 1,...), funções lógicas (como E, OU, NÃO,...), constantes lógicas (VERDADE, FALSO), manipulação de listas (PRIMEIRO, CAUDA, CONSTRUA, IGUAL) e reconhecedoras de listas (ATOM).

  19. Avaliação de programa lambda • A avaliação ocorre através da seleção repetida de uma expressão redutível (redex) e de sua redução. Expressão redutível é aquela que pode ser avaliada imediatamente. No exemplo : • (+ (* 5 6) (* 8 3)) • Que são: (* 5 6) e (* 8 3) • A escolha do primeiro redex para redução fornece: • (+ (* 5 6) (* 8 3)) -> (+ 30 (* 8 3)) • Do qual resulta: (+ 30 24) -> 54

  20. Regras de Conversão • Introdução à -conversão: Variáveis atadas e livres • Conversão-Alfa () • Conversão-Beta (ß) • Conversão-Eta () • Provas de Interconvertibilidade

  21. Variáveis atadas e livres(1/2) • Seja a expressão-l: (lx. + x y) 4 • Para avaliar esta expressão é necessário: • saber o valor "global'' de y. • não é necessário saber o valor global de x, pois é o parâmetro formal da função. • x ocorre atado pelo lx, y não é atado por nenhum e assim ocorre livre na expressão.

  22. Variáveis atadas e livres (2/2) • .A ocorrência de uma variável é atada se há uma expressão-l envolvente que a amarra, senão é livre. • No exemplo a seguir, x e y ocorrem atados, z porém, ocorre livre: • lx. + ((ly. + y z) 7) x • Observe que os termos atado e livre se referem a ocorrências específicas da variável em uma expressão. Note ainda que x é atado mas não sabe-se seu valor para calcular a expressão-l.

  23. Conversão Alfa • Usa a a-congruência: duas expressões-l M e N são a-congruentes (ou a-equivalentes), denotado por M  N se ou • M = N ou • MN, ou • N é obtido de M através da reposição de uma sub-expressão S de M por uma expressão-l T tal que S  T, ou existe alguma expressão-l, R tal que M  R e R  N.

  24. Exemplo 1: Nomes de parâmetros formais podem não ser únicos: (lx.( lx. + (- x 1)) x 3) 9 (lx. + (- x 1)) 9 3 + (- 9 1) 3 11 Exemplo 2: (lxy.+ x ((lx.- x 3) y)) 5 6 (ly.+ 5 ((lx.- x 3) y)) 6 + 5 ((lx.- x 3) 6) + 5 (- 6 3) 8 Conversão Alfa: exemplos

  25. Exemplo 3: (lx. (ly. - y x)) 4 5 (ly. - y 4) 5 - 5 4 1 Exemplo 4: Crie um exemplo semelhante aos 3 anteriores. Conversão Alfa: exemplos

  26. Conversão beta • Conversão beta consiste na substituição de uma variável ligada pelo valor que foi justaposto `a definição da função. • Exemplo: (lx. + x 1) 4 + 4 1 5

  27. O parâmetro formal pode ocorrer várias vezes no corpo: (lx. + x x) 5 + 5 5 10 Pode não haver ocorrências do parâmetro formal no corpo. Ex: (lx. 3) 5 3 Nada a converter! Conversão Beta Uma variável pode possuir tanto uma ocorrência atada como uma livre em uma expressão. Considere o exemplo: + x ((lx. + x 1) 4) Aqui x ocorre livre (a primeira vez) e atada (a segunda).

  28. Conversão eta • Sejam: (lx. + 1 x) e (+ 1). Estas expressões se comportam exatamente da mesma maneira, quando aplicadas a um argumento: ambas adicionam 1 ao argumento. Conversão-z é o nome dado à regra que expressa essa equivalência. Assim: (lx. + 1 x) -> (+ 1) Formalmente: (lx. F x) -> F desde que x não ocorra livre em F e F denote uma função.

  29. Conversão eta A condição de que x não deve ocorrer livre em em F previne conversões errôneas. Exemplo: (lx. + x x) não é e-conversível para (+ x) pois x ocorre livre em (+ x). Os dois x são ligados. Assim: • (lx. + x x) 5  ( + 5 5)  10

  30. Teorremas de Church-Rosser

  31. Teoremas de Church-Rosser

  32. Teoremas de Church-Rosser

  33. Funções Recursivas • No Cálculo lambda as funções não tem nomes. • Cálculo lambda é a base da programação funcional. • Um dos mecanismos mais importantes usados em programação funcional é a recursividade. • Recursividade exige que se nomeie funções para que possam ser referenciadas. • E agora? (Fico vermelho de vergonha!)

  34. Recursividade: exemplo introdutório • Suponha existir a primitiva SE com duas direções e seja a abstração: • (xn. SE (= n 0) (1) (* n x (-n 1))) • Vamos dar o nome de FAC à aplicação desta abstração à FAC; tem-se: • FAC = (xn. SE (= n 0) (1) (* n x (-n 1))) FAC = (n. SE (= n 0) (1) (* n FAC (-n 1))) • Que é a definição recursiva desejada.

  35. Transformação  ao inverso Se já fosse disponível a definição recursiva: • Seja F = (x …. F….) • Usando Transformação  ao contrário: • F = (f … (x . f….))F • Ou: F = H F onde H = (f … (x . f….)) F é dito ponto fixo de H

  36. Combinador de Ponto Fixo Para isto, invente-se, a título provisório, uma função Y, a qual toma uma função como argumento e devolve o seu ponto fixo como resultado. Logo será: YH = F Substituindo F por YH em F = H F tem-se: YH = H (YH) Esta é uma definição não recursiva de F!

  37. Exercício: Fac 1 • FAT = Y H onde: • H = (fat.  n. SE (= n 0) 1 (* n (fat (- n 1)))) • Assim: FAT 1 • Y H 1 • H (Y H) 1 • (fat. n.SE (= n 0) 1 (* n (fat (- n 1))))(Y H) 1 • ( n.SE (= n 0) 1 (* n (Y H (- n 1)))) 1 • SE (= 1 0) 1 (* 1 (Y H (- 1 1))) • * 1 (Y H 0) = * 1 (H (Y H) 0) • = * 1 ((fat.n.SE (= n 0)1(* n(fat(- n 1))))(Y H) 0) • * 1 ((n.SE (= n 0) 1 (* n (Y H (- n 1)))) 0) • * 1 (SE (= 0 0) 1 (* n (Y H(- 0 1)))) • 1

  38. Exercícios (Redução)

  39. Exercícios (Recursividade)

  40. E se estas coisas fossem usadas em uma linguagem real? Esta linguagem existe e é LISP! LISP é linguagem velha: tem 40 anos... Mas LISP se mantem jóvem pois LISP é estensível, suporta programação objeto e icônica!

  41. Noções de lisp Lisp: LISp Processing

  42. Qual a razão de conhecer LISP? • Segundo McDermot e Charniac a razão ér a mesma de aprender francês se vai estudar na França: é a lingua natural falada pelos franceses! • Será isto ainda verdade? • Nem tanto, mas... Será a Programação Funcional?

  43. Razões para usar LISP (1/4) • LISP é uma linguagem funcional pobre, mas raros são os profissionais de IA que escolhem LISP por suas características funcionais. Exatamente por esta razão ela é pobre em termos funcionais: juntam-se outras facilidades que mascaram o estilo funcional puro!

  44. Razões para usar LISP (2/4) • LISP é estensível e se não se gosta de um interface oferecido é fácil criar outro. • LISP tem programa e dados com a mesma estrutura de dados: listas. Logo, um programa pode facilmente ler a ele mesmo, modificar-se durante a execução e continuar funcionando modificado sem interrupção: isto é, torna-se fácil implementar algoritmos de aprendizado.

  45. Razões para usar LISP (3/4) • Estruturas de dados são facilmente manipuladas em LISP. • Por exemplo: • A pilha é a própria lista; • Existem primitivas para ler, juntar novo elemento na pilha, etc. • Árvores são implementadas como listas de listas., s3endo fácil percorrê-las e modificá-las.

  46. Razões para usar LISP (4/4) • É fácil aprender LISP e seu aprendizado ajuda a desenvolver capacidades mentais. Foi exatamente acreditando nisto que Papert, criou no MIT a linguagem LOGO, subconjunto de LISP, com ênfase gráfica, para uso do aprendizado de crianças. As experiências tem sido animadoras. E como nasceu esta linguagem?

  47. Lisp: Nota histórica (1/3) • John McCarthy vinha trabalhando há anos em uma linguagem que fosse, como provado por Turing, equivalente à sua máquina. Em 1960, dando aula no MIT demonstrou que a função “eval” era capaz de simular a máquina de Turing, resultado teórico de grande valor.

  48. Lisp: Nota histórica (2/3) • Um dos alunos de John McCarthy, Steve Russel comentou: “sendo verdade este teorema, basta implementar “eval” e teremos a Máquina de Turing”, ao que McCarthy contestou “Não confunda teoria com prática, este é um resultado teórico, para ter valor prático tem de percorrer um longo caminho”.

  49. Lisp: Nota histórica (3/3) • Russel não se satisfez. Implementou “eval” e algumas outras funções em Máquina IBM704, apresentou seu trabalho e assim nasceu Lisp, linguagem fruto do espírito prático de aluno com grande conhecimento teórico. Guarda ainda hoje lembranças do passado: car: “contents of address register; cdr: “contents of decrement register; • Símbolos do assembler do IBM704.

  50. Sintaxe de Lisp • Vocabulário de Lisp: • Atomos: elementos indivisíveis, podendo ser: • Números; ex: 1, 13, 15, -.35, etc. • Identificadores: sequencias de letras e números; ex: Lisa, Jane1, fibo, etc. • Identificadores reservados: +, -, /, *, car, cdr, etc. • Delimitadores: (,)

More Related