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Cálculo diferencial (arq)

Cálculo diferencial (arq). La derivada. El problema de la recta tangente. y = f(x). Se quiere hallar la recta tangente a la curva en el punto (a ; f(a)). y = f(x). Se quiere hallar la recta tangente a la curva en el punto (a ; f(a)). (x; f(x)). (a; f(a)).

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Cálculo diferencial (arq)

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Presentation Transcript

  1. Cálculo diferencial (arq) La derivada

  2. El problema de la recta tangente

  3. y = f(x) Se quiere hallar la recta tangente a la curva en el punto (a ; f(a))

  4. y = f(x) Se quiere hallar la recta tangente a la curva en el punto (a ; f(a)) (x; f(x)) (a; f(a))

  5. Se toma un punto arbitrario (x ; f(x)) y se traza la recta secante que pasa por esos dos puntos (x; f(x)) (a; f(a))

  6. (x; f(x)) (a; f(a))

  7. ¿Cuál es la pendiente de la recta secante? (x; f(x)) (a; f(a))

  8. Ahora hagamos que “x” aproxime a “a”

  9. Ahora hagamos que “x” aproxime a “a”

  10. Ahora hagamos que “x” aproxime a “a”

  11. Ahora hagamos que “x” aproxime a “a”

  12. Ahora hagamos que “x” aproxime a “a”

  13. Ahora hagamos que “x” aproxime a “a”

  14. Ahora hagamos que “x” aproxime a “a”

  15. Ahora hagamos que “x” aproxime a “a”

  16. Ahora hagamos que “x” aproxime a “a”

  17. Ahora hagamos que “x” aproxime a “a”

  18. Ahora hagamos que “x” aproxime a “a”

  19. Ahora hagamos que “x” aproxime a “a”

  20. Ahora hagamos que “x” aproxime a “a”

  21. Ahora hagamos que “x” aproxime a “a”

  22. Ahora hagamos que “x” aproxime a “a”

  23. Pendiente de la recta secante que pasa por los puntos (a; f(a)) y (x; f(x))

  24. Pendiente de la recta tangente en el punto (a; f(a))

  25. La siguiente es una forma equivalente:

  26. Ejemplos • 1) Encuentre una ecuación de la recta tangente a la parábola y = x2 en el punto (1;1). • 2) Encuentre una ecuación de la recta tangente a la curva y = 3/x en el punto (3;1).

  27. Ejemplos • 3) Encuentre la pendiente de la recta tangente en el punto (9;3) a la curva:

  28. Definición • La derivada de una función f en un número a, denotada con f’(a), es: si este límite existe.

  29. Definición alterna

  30. Interpretación geométrica de la derivada • La derivada de una función f en un número a es la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función en el punto (a; f(a)). • Posteriormente se verá que la derivada también se puede interpretar como la razón de cambio de una magnitud respecto de otra.

  31. La derivada como una función • Si en la definición anterior, cambiamos el número “a” por la variable “x”, obtenemos: En este caso, f’ es una nueva función llamada derivada de f.

  32. Ejemplos • Halle las derivadas de f, g y h enuncie sus respectivos dominios.

  33. Sección 2.8 • Ejercicios 2.8 (pág. 161) • 4; 5; 7; 8; 13; 14; 18- por definicion. • Sección 2.9 • Ejercicios 2.9 (pág. 171) • 19; 20; 22; 23

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