オペレーションズリサーチ A 第１３回 (2011/01/14)

1. オペレーションズリサーチA第１３回(2011/01/14)オペレーションズリサーチA第１３回(2011/01/14) • ロットサイズ決定問題 • 問題紹介、定式化、最適解の特徴 • 凸集合，凸多面体，端点，凸関数，凹関数 • 凹関数の（有界）凸多面体上での最適化 • 動的計画解法

2. 3次元3目並べThree-dimensional Noughts and Crosses • 27個の箱が図のように3×3×3の立方体の形に組まれている。三つの箱が,縦,横,あるいは斜めの1直線上にあるとき、「線をなす」という。斜めの線は、縦横の断面上のものと、立方体の反対の頂点を結んだものがある。線は全部で49本ある。 • 13個の白い球(○)と14個の黒い球(●)がある。これらの球を立方体を構成する個々の箱に一つずつ入れる。このとき,同じ色のボールのみからできている線の数を最小にしたい。

3. 3次元3目並べ • 各マスに1から27まで番号をつける • 各マスj（j＝1,…,27)に白なら0、黒なら1という0-1変数xjを定義 • 49本の「線」にも番号をつける • ｉ 番目の線に関わるマスの番号がi1,i2,i3とする • ｉ 番目の線が同色ｘi1＋ｘi2＋ｘi3＝0 or 3→δi＝1 (対偶）　 δi＝0→ｉ 番目の線が同色でないδi＝0→ • 0-1変数xjの合計Σj=1,…,27 xj＝14 • 目的関数はΣi=1,49δiの最小化 ｘi1＋ｘi2＋ｘi3≧1 and ｘi1＋ｘi2＋ｘi3≦2

4. 動的ロットサイズ決定問題Wagner-Whitin（WW)モデル動的ロットサイズ決定問題Wagner-Whitin（WW)モデル • 計画期間T=6，各期の需要dt • t期に生産する場合の段取り費（製造固定費）は生産量に関係なく　at＝100（万円），∀t • t期に生産する場合の製造単価（製造変動費）は製品あたり　vt（万円），∀t • t期末の在庫に対する、製品1個当たりの在庫保管費ht＝2（万円），∀t • 生産は瞬時；　品切れは不許可 • 総費用を最小にする生産計画を決めたい

5. WWモデルの特徴 • １品種のロットサイズ決定問題 • EOQ（経済発注量）モデル、EOQ公式の動的な拡張 • EOQモデルは、一定スピードの需要を想定した静的モデルであるのに対して、WWモデルでは時間とともに変動する動的需要を扱う • 「期」（月、週など）という概念のある有限期間を想定した離散時間モデル（EOQは無限期間を想定した連続時間モデル） • WWモデルにおいて、需要量が時間とともに変化しないものとし、1期の長さを十分短くしていくとEOQモデルに一致する（EOQモデルの一般化・拡張）

6. 経済発注量EOQ 単位時間（1日）あたり需要θ • Economic order quantity • 発注費K円/1回 • 在庫費h円/個・日 • 1回の発注量q • 総費用K+h{q(q/θ)/2} • 単位時間あたり v(q)=Kθ/q+hq/2 • v(q)を最小⇒d v(q)/ dq=0 • 経済発注量q*=√(2Kθ/h) • 発注間隔 t*= √(2K/θh) • v(q*)= √(2Kθh) θ 発注量 q θ θ θ 発注間隔 q/θ

7. 数値例 • q*=63.25 • v(q*)=632.5 • K=200円 • h=10円/日・個 • θ=100個/日

8. xt t It It-1 dt WWモデルの定式化１ 最小化　z＝Σt=1,…,T（pt(xt)＋htIt） 制約　　　It-1＋xtーdt ＝It ，　∀t（流量保存） It≧0（品切れ不許可）， xt≧0， ∀t I0＝0， IT＝0 製造費pt(xt)は以下のように表される pt(xt)＝　at＋vt xtxt＞0のとき　　 ＝　0xt＝0のとき

9. WWモデルの定式化２ 最小化　z＝Σt=1,…,T（ at yt＋vtxt＋htIt） 制約　It-1＋xtーdt ＝It ，　∀t（流量保存）xt＞0 ⇒ yt＝1 (yt：t期に製造を行うとき1, 製造を行わないとき0） （対偶をとりyt＝0⇒ xt＝0（or xt≦0）を表すようにするには） xt≦MytただしMは十分大きい正数 It≧0（品切れ不許可）， xt≧0， ∀t I0＝0， IT＝0

10. 線形計画問題の実行可能解の集合は凸集合 • 凸集合(convex set)：＜幾何的＞　2点x,y∈S⊆Rnを結ぶ線分上のすべて点が集合Sに含まれる集合 • 凸結合(convex combination)2点x , y∈Rnの凸結合とは、z＝ λx＋ (1－λ)y，λ∈R1，0≦λ≦1 • 凸集合：＜代数的＞　 集合S⊆Rnに対して、2点x,y∈Sのすべての凸結合が集合Sに含まれる集合 • 例：　線形不等式の共通集合として表わされる解の集合は凸集合を構成する

11. 凸集合 定義　凸集合(convex set) 　 集合S⊆Rnは、2点x,y∈Sのすべての凸結合が集合Sに含まれるとき凸集合という ABJOS1＝｛x＝(x1,x2)： x2≦3，x1+x2≦4，x≧0｝ ODH S2＝ ｛x＝(x1,x2)： ーx1+x2≦0, 3x1ーx2≦8，x≧0｝ KFGO S3＝ ｛x＝(x1,x2)： x2≦1，x1≦5，x≧0｝ x∈ S1 ∩S2∩S3 黒の領域は凸集合ではない！！ x∈ S1 ∪S2∪S3

12. 有界凸多面体(Convex Polytope) • Ｒnの超平面(hyperplane)は、すべてのａjが０でないとし、ａ１ｘ１＋ａ２ｘ２＋…＋ａｎｘｎ＝ｂを満たす点の集合である。 • 超平面により、二つの（閉）半空間が定義されるａ１ｘ１＋ａ２ｘ２＋…＋ａｎｘｎ≧ｂａ１ｘ１＋ａ２ｘ２＋…＋ａｎｘｎ≦ｂ • 半空間は凸集合；　凸集合の共通集合は凸集合 • 複数の半空間の共通集合が、空でなく、かつ有界であるとき、凸多面体(convex polytope)、または、単に多面体(polytope)と呼ぶ • 数理計画では、非負象限における凸多面体を考えることが多い

13. f(x) x 凸関数 定義　凸関数(convex function) 　 凸集合S⊆Rnに対して、関数ｆ ：S→R1はS上の2点x, y∈Sに対して ｆ (λx＋(1－λ)y)≦ λｆ (x)＋(1－λ)ｆ (y) λ∈R1，0≦λ≦1のときS上の凸関数という 凸関数の和は凸関数

14. ｆ (x) ｆ (y) ｆ (x) λｆ (x)＋(1－λ)ｆ (y) ｆ (λx＋(1－λ)y) x y x ｆ (λx＋(1－λ)y)　≦ λｆ (x)＋(1－λ)ｆ (y) λ 1-λ λx＋(1-λ）y

15. ｆ (x) x 凹関数 定義　凹関数(concave function) 　 凸集合S⊆Rn上の関数ｆ は、－ｆ が S上の凸関数であるとき、凹関数という 凹関数の和も凹関数 ｆ (λx＋(1－λ)y)　≧ λｆ (x)＋(1－λ)ｆ (y)

16. 凸多面体と頂点（端点） • 有界な凸多面体に属するすべての点は、その頂点（端点）の凸結合として表現できる • 有界な凸多面体S∈Rnの頂点をx1, x2 , ．．．, xp ∈Rnとすると、凸多面体Sに属する任意の点zはz＝ Σi =1,…,pλi x i，Σi =1,…,pλi ＝1， 0≦λi≦1， λi∈R1と表わせる

17. pt（xt） xt 凹関数の凸多面体上での最小化端点の中に最適解あり • WWモデルの目的関数は凹関数 • 可能解の集合は有界な凸多面体 定理4.1　凹関数を有界な凸多面体上で最小化するとき、凸多面体の端点の中に最適解となるものがある LPはどうか？

18. 凹関数最小化：考え方 定理4.1　凹関数を有界な凸多面体上で最小化するとき、凸多面体の端点の中に最適解となるものがある 証明は各自　（解答は最後のスライド、ppt29を参照のこと）

19. WWモデルの端点解の性質(1) 定理4.2WWモデルの可能解集合の端点解は、 It－1 xt＝0という性質を満足する．すなわち、tー1期末在庫It－1、または、t期生産量 xtの少なくともいずれか一方が0． x x＝(1/2)x++ (1/2) x－よって、 xは端点解ではない

20. xt xt It-1 It It-1 It t t dt 端点解の図示 • It－1 xt＝0： 2通りの場合がある • 第t-1期末においてIt－1=0かつxt＞0 • 第t-1期末においてIt－1＞0かつxt＝0 dt It－1=0かつxt＞0 It－1=0かつxt＞0

21. WWモデルの端点解の性質(2) Zero－Inventory Property • 性質１t期に生産する（xt＞0）ということは、t ー1期末在庫が0 （It－1＝0）である． • 性質２t期に生産する場合、t期の生産量xtはt期に始まり、向こう何期分かの需要に見合う量である． • t期の生産量xtはdt ，dt +dt+1， dt +dt+1+dt+2，．．．， dt +dt+1+dt+2 +･･･ +dTのいずれか（ただし、Tは計画期間の長さ）

22. WWモデルの動的計画法（DP）による解法 • t期の生産量xtはdt ，dt +dt+1， dt +dt+1+dt+2，．．．， dt +dt+1+dt+2 +･･･ +dTのいずれか • ctk＝t期からk-1期の需要に見合う量をt期の生産量xt ＝ dt +dt+1+dt+2 +･･･ +dk-1としたときのt期からk-1期の総費用（ctkはあらかじめ計算可能） • ｆt＝ tー1期末在庫It－1が0のときに、 t期以降（T期末まで）を最適に計画したときのt期以降の最小費用 • ｆt＝mink=t+1,…,T+1｛ctk＋ｆk｝（DPの漸化式）ただし、ｆT+1 ＝0 （境界条件）

23. 動的計画法（DP）の漸化式 • ctk＝t 期からk-1期の需要に見合う量を t 期の生産量xt としたときの t 期から k-1 期の総費用 • ｆt＝mink=t+1,…,T+1｛ctk＋ｆk｝　（DPの漸化式）　ただし、ｆT+1 ＝0 （境界条件） k t T

24. 動的計画法（DP）の漸化式授業とは異なるバージョン動的計画法（DP）の漸化式授業とは異なるバージョン • ｆｔ（Iｔ-1）： ｔ －１期末の在庫がIｔ-1のときの、ｔ 期からT 期末までの最小費用 • ｆｔ（Iｔ-1 ）＝ｍｉｎｘ｛100＋2*（Iｔ-1 ＋ｘ－dt）＋ｆt+1（ It-1 ＋ｘ－dt）, x>0； 2*（It-1 －dt）＋ｆt+1（ It-1 －dt）, x＝0｝

26. 最適解 1620 710 450 1 2 3 4 5 6 7 700 430 920 980

27. 動的ロットサイズ決定問題の拡張 • １品種問題から多品種問題への拡張 • 多品種になった場合には、品種間の競合（どの品種をどういう順番で生産するかの順序づけ）を考慮するか否か • 品種間のスケジューリングを考慮しないモデル多品種ロットサイズ決定問題 • 品種間のスケジューリングを考慮するモデルロットスケジューリング決定問題（段取り時間を考慮しない／するモデル）

28. 宿題１３ １３．１　スライド18の定理4.1（凹関数の凸多面体上での最小化は、凸多面体の端点で達成）を証明せよ。 １３．２　スライド4のWagner-Whitinモデルを動的計画法によって解け。ただし、製造費として、製造固定費のみを考慮し、製造変動費は考慮しないものとする。

29. 凹関数最小化：考え方 定理4.1　凹関数を有界な凸多面体上で最小化するとき、凸多面体の端点の中に最適解となるものがある あるn点x1,...,xn の凸結合で表される x*= ∑i=1nλi xi, ∑i=1nλi =1 を考える。このとき、f(x)が凹関数であるから、 f(x*)=f(∑i=1nλi xi)≧ ∑i=1nλi f(xi) となる。min f(xi)= f(xk) とすると、 f(x*)=f(∑i=1nλi xi)≧ ∑i=1nλi f(xi) ≧ ∑i=1nλi f(xk) = f(xk) となる。これより、 f(x*) ≧f(xk)