广义相对论课堂 21 Schwarzschild 时空轨道

1. 广义相对论课堂21Schwarzschild时空轨道 2011.11.25

2. 课程安排 复习内容： 讨论内容：惯性系斜交坐标测量意义 新内容：Schwarzschild时空应用 下次课：经典检验 测验 发草稿纸——助教 课后发调查表

3. 测验目的 • 了解大家的学习困难、不足、效果 • 确保掌握重点和难点

4. 改进

5. ‘动钟变慢’误导吗？ • ‘动’=速度不为零=钟尺测量速度=相对于坐标钟 • 加速钟dτ2=γ-2dt2 • 双生子佯谬=为什么反过来不可以？ • 钟尺网格 • Marzke-Wheeler坐标 • 实验不需理论引入钟尺网格

6. 试图在球面上构造全局性惯性系skew坐标 • Φ——测地线 • θ——非测地线，除赤道圈 • θ换成Φ' • 也用测地线，赤道圈上某一点P=第二极点O' • 相对于北极点O • OO'大圆上坐标失效，无能区分不同点——非全局！ • 对比极点（θ，Φ）坐标简并 • θ、Φ类似匀加速系直线+曲线网格

7. 三种理论4种钟尺网格

8. 无非是将平直时空（事件集合）用网格划分网格点标记无非是将平直时空（事件集合）用网格划分网格点标记 • 数学的威力——Einstein求助 • 重要的是数学表达了什么物理

9. 第一个活动惯性斜交坐标系

10. 写在纸上 • 不要太潦草——上交我查看 • 多留空白、隔行写——方便批改 • 尽量文字说明你的推理要点、步骤

11. 测量钟与尺相对运动平直时空坐标网格 • 三位一体 • 惯性系skew坐标 • 钟的世界线 • 尺子原点刻度的世界线 • 和钟的世界线重合吗？ • 类时、切矢量 • 类空=尺子延展方向、分量表达 • 与坐标网格的关系 • 线元和度规

12. 线元存在时空交叉项基准钟尺相对运动？ • i方向的基准尺子相对基准钟运动 • 不是j方向 • 另选尺子相对不动的总能做到吗？ • Cook没讲到：钟尺相对运动

13. 应用 • 转盘系 • Schwarzschild时空Eddington-Finkelstein坐标 • Kerr时空Boyer-Lindquist坐标 • 未解之谜：Kerr环奇点 • 转动宇宙Godel度规

14. 进一步可探讨 • 对比习题7.21 • Cook雷达回波、t',x坐标下

15. 第二个活动匀加速正交坐标系

16. 匀加速正交坐标系完美类比平面几何及坐标系

17. 第四点：测地线方程（组） 径向方程

18. 测试粒子和光线的测地运动三个初积分／运动常数／守恒量测试粒子和光线的测地运动三个初积分／运动常数／守恒量 • 单位质量粒子能量e(因为在远处)， 无量纲, 物理意义! • 单位质量粒子角动量L(因为L=rv) • 所有的轨道都是在某一个过球心平面上运动：1。直观地看，任何偏离平面的运动都受到非向心力，破坏了球对称 • 2。教材9.22，L=0，初始dφ/dτ=0，则以后沿测地线处处为dφ/dτ=0， φ=Const.在一个平面上 • 3. 解测地线方程，附录B，LightmanP404 • 可以证明平面运动是稳定的,小扰动后回 • 坐标轴重新取向，约定在赤道面上讨论θ=π/2 • 第三个初积分，四速度归一/0化，即线元 • 四速度只有三个非零分量，利用三个初积分方程，可用e,L表达

19. 第五点：有效势

20. 机械能=径向动能+有效势能（势能+角向动能=离心势能）牛顿情况机械能=径向动能+有效势能（势能+角向动能=离心势能）牛顿情况

21. 给定M，首先按照角动量分类 • 牛顿L=0径向可到达r=0,实际情况星体表面阻挡－－外力，不再有机械能守恒分析；径向远离，E≥0可逃逸到无穷远（势能为0)，E<0会回落 • L≠0不可到达r=0， • 1。E≥0散射，双曲线(E>0)或抛物线(E=0) • 2。E<0椭圆束缚轨道 • 3。特别地，势能曲线最低点E=V_min=-1/2L^2(与熟知结果一致)圆周，且稳定

22. 微分应用：分析曲线形状 • 1.R->0,V->-L^2/R^3->-∞;R->∞,V->-1/R->0;中间V->L^2/2R^2 • 2.0=V,R01,02=;L≥4；随L分别为减函2<R01<4、增函数>4 • 3.0=dV/dR,Rmin,max=;Vmin,max=下标指的是V最小最大Rmin>Rmax;L≥3.46;Vmax给出给定e粒子的俘获截面 • 4. d^2V/dR^2><=0 • 按单位质量角动量分类L=l/M • 1.L<3.46,两种轨道:向外ε>0逃逸，其余投入或回落 • 2.L=3.46,同上＋拐点R=L^2/2处ε=V不稳定圆周轨道 • 3.3.46<L≤4,最高点不稳定+最低点稳定圆周＋束缚(Vmin<ε<0) • 4.L>4,+散射轨道0<ε<Vmax

23. 第六点：有效势曲线分析原理

24. 势能曲线的分析原理 • d/dτ径向方程后，得到dr/dτ=0或d^2r/dτ^2=-V’=有效力，所以碰到势垒会反弹；散射和束缚由d^2r/dτ^2连续性仍然有d^2r/dτ^2=-V’=有效力；问题：在ε=V， dr/dτ=0是否可以保持圆周运动？答：不会－－ • 1。仍然有效力不为0,V’≠0;牛顿情况，某个高度上，速度大（小）于圆周速度，离心力大（小）于引力，双曲（抛物）（椭圆）；测地线方程d^2r/dτ^2＝-Γ^r_tt(u^t)^2-Γ^r_φφ(u^φ)^2-Γ^r_rr(u^r)^2

25. 势能曲线的分析原理：续 • 2.Cauchy定解，运动方程总是二阶微分方程（例如从变分原理看L(v,x)，所有力学都是从牛顿力学比拟而来），初始位置确定（静态时空）则时空点确定，初始三个速度确定，则定解。即L, ε决定了一条且仅仅一条测地线（当然，不一定遍历，如一开始就在V最高点则只有从R<R_min或R>R_max过来的圆周运动部分） • 所以，任意力学中势能曲线可以看成地面上起伏山坡（无磨擦无空气阻力）上粒子运动，地面支承力＋重力＝有效力，即所谓势能曲线分析

26. 反省3问题 • 1、这部分你是否学到了什么？或者你认为最有用的是什么？ • 如果不是，请问哪些你没学到？ • 如果不确定，请解释原因。 • 2、课中哪点你觉得最不清楚？或有最大问题？ • 3、不清楚的原因是 • 讲课不够清楚？ • 缺少提问的机会？ • 你事先没有准备？ • 缺乏课堂讨论？ • 其他？

27. 回补+进一步 • 牛顿力学练习题 • 链条滑落光滑球面时速度 • 常引力场中光滑锥面上运动最低点 • Zeldovich《相对论天体物理》库仑力场

28. 第六点：轨道类型

29. 六个量 • 四个变量τ,t,r,φ,两两组合数6种，5个速度（三个固有速度＋两个坐标速度）＋1个形状量（写成杨辉三角4层4321） • 仅取决于三个方程：e,L,径向方程

30. 径向运动 • dφ／dτ＝0，φ＝Const. ，无角动量L=0,V=-1/R仅牛顿势，dτ=±dr/√2(ε+1/r)，ε≥1/2 • 径向自由下落，取负号，ε=0, e=1,无穷远e=dt/dτ=γ=1静止，解得 • 教材用r=0定标，到黑洞讲；从某个r到2M，粒子固有时有限；从无穷远当然无限 • 坐标时间，从某个r到2M无限，r->2M，9.40最后一项->+∞，这是史瓦西坐标在近2M出错的一个迹象 • 例子9.1，径向逃逸（到无穷远0渐近静止,e=1）速度，在施瓦希坐标半径R处静止观者（只有u^t不为零）测量V,E=γmV(LIF中消除引力影响，观者自身标架为LIF中随动标架），g_tt*u^t=e=1

31. 圆周轨道 • 不稳定圆周轨道3M<r_max<6M随L增大而减 • 稳定圆周轨道r_min>6M随L增大而增，L=3.46最小，三个施瓦西半径 • 定义坐标角速度，实测设计：遥远一圈静止钟(同步化），接受圆周运动粒子径向光脉冲，因为圆对称，不同φ光线受的引力时间膨胀一样，测出Δt；Δφ＝圆弧长/圆周长 • V’=0+ε=V=>9.45，也适用于非稳定圆周轨道 • 得到与Kepler第三定律（圆周轨道）相同形式，不是固有时角速度，在无穷远回到Kepler

32. 束缚轨道的形状 • 方程，椭圆函数，u=1/R后，补齐量纲，常数项为牛顿能量＋高阶小量 • 从内转折点r_1（近星点）到外转折点r_2 （远星点），再回到内转折点＝1圈turn • 一般1圈后Δφ≠2π不闭合，顺着轨道转动方向进动（相对论修正项为正），每圈进动角相同（因为球对称）δφ＝Δφ－2π，不闭合的主轴进动椭圆；但对一组E(L)，m圈后Δφ=n(2π)闭合，m≠n，习题13

33. 近日点进动 • 图9.5不同L（勘误）和E，参数取值边界为稳定和不稳定圆周轨道之间，大角动量离星体远、相对论效应小－－太阳系行星近日点进动 • 类似Binet方程, 微扰方法求解，D’inverno 15.3节 • 习题15方法，反比于L^2 （L越小，越接近引力体越大）,用天文测量数据表达，半主轴a越小、偏心率，小行星Icarus、水星依次为最. Einstein: 不但牛顿理论从GR中作为一级近似导出，水星进动作为二级近似