Dicas de Matemática 1: Interpretando gráficos

1. Dicas de Matemática 1: Interpretando gráficos Além de interpretar os gráficos, o mais importante é dominar a manipulação de dados deles. É preciso ainda dominar a maneira como os gráficos se compartam.

2. Questão sobre Funções no Enem de 2011 Uma empresa de telefonia fixa oferece dois planos aos seus clientes: no plano K, o cliente paga R$ 29,90 por 200 minutos mensais e R$ 0,20 por cada minuto excedente; no plano Z, paga R$ 49,90 por 300 minutos mensais e R$ 0,10 por cada minuto excedente. O gráfico que representa o valor pago, em reais, nos dois planos em função dos minutos utilizados é:

4. Resolução: Para compreender os dois planos oferecidos pela empresa de telefonia, vamos verificar qual é a lei da função que rege cada oferta. Considere x como o tempo em minutos. Plano K:  R$ 29,90 por 200 minutos mensais e R$ 0,20 por cada minuto excedente; Plano Z: R$ 49,90 por 300 minutos mensais e R$ 0,10 por cada minuto excedente. Podemos afirmar que, para x ≤ 200, o gráfico da função k(x) é uma constante, tal que k(x) = 29,90. O mesmo ocorre para a função z(x): para  x ≤ 300, o gráfico da função é uma constante, tal que z(x) = 49,90. A partir dessas duas situações, ambas as funções  tornam-se crescentes.  Por exemplo, se o consumidor do plano K utilizar 201 minutos, o valor de sua conta aumentará, pois ele excedeu em 1 minuto o tempo permitido, portanto, ele pagará k(201) = 29,90 + 0,20·(201 – 200) = 29,90 + 0,20 · 1 = 30,10.  Agora que compreendemos o funcionamento de k(x) e de z(x), vamos verificar se em algum momento as funções interceptam-se, isto é, se existe algum valor de x tal que k(x) = z(x): k(x) = z(x)29,90 + 0,20·(x – 200) = 49,90 + 0,10·(x – 300)29,90 + 0,20·x – 40 = 49,90 + 0,10·x – 300,20·x – 10,10 = 19,90 + 0,10·x0,20·x – 0,10·x = 19,90 + 10,100,10·x = 30,00x =  30,00       0,10x = 300 Os gráficos de k(x) e de z(x) interceptam-se quando x = 300 e k(x) = z(x) = 49,90.  Esse é o único ponto em que ambas as funções possuem os mesmos valores. Para todos os demais valores de x, as funções são distintas. Observando as alternativas, o único gráfico que corresponde à análise feita é o que está representado na letra d, portanto, essa é a alternativa correta. 

5. Dicas de Matemática 2:  Grandezas proporcionais Estude conteúdo referente ás grandezas direta e inversamente proporcionais, pois trata-se de questões frequentes no Enem. Para isso, revise regras de três compostas e simples; porcentagem; regras de três inversa e direta; cálculos de juros compostos e simples; descontos; prejuízos e lucros.

6. Questão com Proporção no Enem de 2011 Nos últimos cinco anos, 32 mil mulheres de 20 a 24 anos foram internadas nos hospitais do SUS por causa de AVC. Entre os homens da mesma faixa etária, houve 28 mil internações pelo mesmo motivo. Suponha que, nos próximos cinco anos, haja um acréscimo de 8 mil internações de mulheres e que o acréscimo de internações de homens por AVC ocorra na mesma proporção. De acordo com as informações dadas, o número de homens que seriam internados por AVC, nos próximos cinco anos, corresponderia a: a) 4 mil.b) 9 mil.c) 21 mil.d) 35 mil.e) 39 mil.

7. Resolução: De acordo com o enunciado, em cinco anos, houve um total de 32.000 mulheres internadas. Se aumentarem 8.000 mulheres nos próximos cinco anos, teremos a seguinte proporção:   8000   =   8   =  1  32000      32      4 A proporção de ¼ corresponde a 0,25, também equivalente a 25%. Se a quantidade de homens internados, que foi de 28.000, aumentar nessa mesma proporção, teremos:  1 . 28000 =  28000 = 7000 4                   4     Aumentando 7.000 homens aos 28.000 registrados anteriormente, teremos um total de 35.000 homens internados por AVC nos próximos cinco anos. Logo, a alternativa que indica a resposta correta é a letra d.

8. Questão com regra de três no Enem de 2011 Você pode adaptar as atividades do seu dia a dia de uma forma que possa queimar mais calorias do que as gastas normalmente, conforme a relação seguinte:- Enquanto você fala ao telefone, faça agachamentos: 100 calorias gastas em 20 minutos.- Meia hora de supermercado: 100 calorias.- Cuidar do jardim por 30 minutos: 200 calorias.- Passear com o cachorro: 200 calorias em 30 minutos.- Tirar o pó dos móveis: 150 calorias em 30 minutos.- Lavar roupas por 30 minutos: 200 calorias. Uma pessoa deseja executar essas atividades, porém, ajustando o tempo para que, em cada uma, gaste igualmente 200 calorias.A partir dos ajustes, quanto tempo a mais será necessário para realizar todas as atividades?  a) 50 minutos.b) 60 minutos.c) 80 minutos.d) 120 minutos.e) 170 minutos.

9. Resolução Para resolver essa questão, é preciso verificar em que situações será necessário o cálculo da regra de três, visto que em alguns casos já estão sendo gastas 200 calorias.  Vamos começar pela primeira informação: “agachamentos: 100 calorias são gastas em 20 minutos”. Queremos saber em quanto tempo serão gastas 200 calorias, logo: 100 calorias = 20 minutos200 calorias =     x           100.x = 200 . 20 100 x = 4000x =  4000      100x = 40 minutos

10. Segunda informação: “Meia hora de supermercado: 100 calorias”. Façamos a multiplicação cruzada: 100 calorias = 30 minutos200 calorias =        x        100.x = 200 .30 100 x = 6000x =  6000      100x = 60 minutos Portanto, no supermercado, é necessário gastar 30 minutos a mais.

11. Terceira e quarta informação: “Cuidar do jardim por 30 minutos: 200 calorias” e “Passear com o cachorro: 200 calorias em 30 minutos”. Como já estão sendo gastas 200 calorias, não é preciso aumentar o tempo. Quinta informação: “Tirar o pó dos móveis: 150 calorias em 30 minutos”. Então: 150 calorias = 30 minutos200 calorias = x        150.x = 200 .30 150 x = 6000x =  6000      150x = 40 minutos Portanto, para tirar o pó dos móveis, é necessário gastar 10 minutos a mais. Sexta informação: “Lavar roupas por 30 minutos: 200 calorias”. Aqui também não é necessário fazer nenhum cálculo, visto que já estão sendo gastas 200 calorias.  Portanto, o tempo gasto a mais será de 20 + 30 + 10 = 60 minutos. A alternativa correta é a letra b.

12. Questão com porcentagem no Enem de 2011 Para aumentar as vendas no início do ano, uma loja de departamentos remarcou os preços de seus produtos 20% abaixo do preço original. Quando chegam ao caixa, os clientes que possuem o cartão fidelidade da loja têm direito a um desconto adicional de 10% sobre o valor total de suas compras.  Um cliente deseja comprar um produto que custava R$ 50,00 antes da remarcação de preços. Ele não possui o cartão fidelidade da loja.  Caso esse cliente possuísse o cartão fidelidade da loja, a economia adicional que obteria ao efetuar a compra, em reais, seria de a) 15,00.b) 14,00.c) 10,00.d) 5,00.e) 4,00.

13. Resolução:  Como o cliente não possui o cartão fidelidade da loja, o produto que ele comprará receberá apenas o desconto promocional de 20%. Para descobrir qual será o novo preço do produto que, originalmente, custava R$ 50, utilizaremos uma regra de três: 100% = R$ 50,00    20% =     x           100.x = 20 . 50 100 x = 1000x =  1000      100x = 10 reais O produto recebeu um desconto de R$ 10. Se antes ele custava R$ 50, na promoção, custará R$ 40. Se o cliente possuísse o cartão fidelidade da loja, o preço promocional de R$ 40 receberia ainda um abatimento de 10%. Vamos utilizar uma regra de três novamente para verificar o valor do novo desconto: 100% = R$ 40,00    10% =     x           100.x = 10 . 40 100 x = 400x =  400      100x = 4 reais Se o cliente obtivesse o cartão fidelidade, poderia alcançar um novo desconto de R$ 4. Portanto, a alternativa correta é a letra e.

14. Dicas de Matemática 3: Probabilidade e Análise combinatória Foque a atenção para ferramentas de combinação e permutação, pois trata-se de elementos importantes para o desempenho da prova.

15. Questão com probabilidade no Enem de 2013 Uma loja acompanhou o número de compradores de dois produtos, A e B, durante os meses de janeiro, fevereiro e março de 2012. Com isso, obteve este gráfico: A loja sorteará um brinde entre os compradores do produto A e outro brinde entre os compradores do produto B. Qual a probabilidade de que os dois sorteados tenham feito suas compras em fevereiro de 2012? a)  1     20b)   3  .    242c)  5 .    22d)  6 .    25e) 7 .   15

16. Resolução:  Primeiramente, vamos determinar o espaço amostral desse problema. Considerando cada comprador registrado no gráfico, podemos dizer que nos meses de janeiro, fevereiro e março houve 220 compradores. Destes, 100 eram compradores do produto A, e 120, compradores do produto B.  Vamos calcular a probabilidade de o comprador do produto A ter feito suas compras em fevereiro. Esse cálculo será dado pelo quociente do número de vendas de A em fevereiro pelo número de vendas de A nos três meses: P(A) =        30                    10 + 30 + 60P(A) =  30             100P(A) =  3             10

17. Analogamente, vamos calcular a probabilidade de o comprador do produto B ter realizado sua compra em fevereiro: P(B) =        20                    20 + 20 + 80P(B) =  20             120P(B) =  1             6 Vamos agora calcular a probabilidade da ocorrência desses dois eventos simultaneamente: P(A U B) =  3 .  1                    10    6 P(A U B) =  3                   60P(A U B) =  1                  20 Portanto, a alternativa correta é a letra a. 

18. Dicas de Matemática 4: Estatísticas Este conteúdo é importante visto que o Enem elabora suas questões se baseando no cotidiano. Por isso, estude média aritmética e ponderada; conceitos de variância e desvio padrão; mediana e moda.

19. Questão com média, mediana e moda no Enem de 2011 Uma equipe de especialistas do centro meteorológico de uma cidade mediu a temperatura do ambiente, sempre no mesmo horário, durante 15 dias intercalados, a partir do primeiro dia de um mês. Esse tipo de procedimento é frequente, uma vez que os dados coletados servem de referência para estudos e verificação de tendências climáticas ao longo dos meses e anos. As medições ocorridas nesse período estão indicadas no quadro. Em relação à temperatura, os valores da média, mediana e moda são, respectivamente, iguais a a) 17 °C, 17 °C e 13,5 °C.b) 17 °C, 18 °C e 13,5 °C.c) 17 °C, 13,5 °C e 18 °C.d) 17 °C, 18 °C e 21,5 °C.e) 17 °C, 13,5 °C e 21,5 °C

20. Resolução Vamos procurar o valor da média aritmética somando todos os valores de temperatura encontrados e dividindo a soma pela quantidade de dias analisados: M.A. = 15,5+14+13,5+18+19,5+20+13,5+13,5+18+20+18,5+13,5+21,5+20+1615M.A. = 255            15M.A. = 17 A média das temperaturas é de 17° C. Para calcular a mediana, vamos organizar os valores em ordem crescente: 13,5; 13,5; 13,5; 13,5; 14; 15,5; 16; 18; 18; 18,5; 19,5; 20; 20; 21,5; 20 O valor central é o 18, então, sem que seja necessário fazer qualquer cálculo, podemos afirmar que a mediana é 18°C. A moda é o valor mais frequente entre as informações apontadas. A temperatura de 13,5°C aparece quatro vezes na tabela, sendo a mais frequente. Portanto, a moda é 13,5°C. Sendo assim, a alternativa correta é a letra b, que aponta que a média, a mediana e a moda são, respectivamente, 17°C, 18°C e 13,5°C. Alternativa correta é a letra e. 

21. Dicas de Matemática 5:  Álgebra Os assuntos que mais são encontrados no Enem trata-se de função afim ou conhecida como função do 1º Grau. Além disso, estude função quadrática e plano cartesiano.

22. Questão com Equações no Enem de 2010 Desde 2005, o Banco Central não fabrica mais a nota de R$ 1,00 e, desde então, só produz dinheiro nesse valor em moedas. Apesar de ser mais caro produzir uma moeda, a durabilidade do metal é 30 vezes maior que a do papel. Fabricar uma moeda de R$ 1,00 custa R$ 0,26, enquanto uma nota custa R$ 0,17, entretanto, a cédula dura de oito a onze meses. Com R$ 1 000,00 destinados a fabricar moedas, o Banco Central conseguiria fabricar, aproximadamente, quantas cédulas a mais?a) 1 667.b) 2 036.c) 3 846.d) 4 300.e) 5 882.

23. Resolução: De acordo com o texto, gasta-se R$ 0, 26 para produzir uma moeda de um real e apenas R$ 0,17 para produzir uma nota de mesmo valor. Para saber quantas moedas ou cédulas podem ser produzidas com determinado valor, basta fazer o quociente entre o valor empregado e o custo da moeda ou da cédula. Claramente podemos ver que, com um mesmo investimento, podem ser produzidas mais cédulas do que moedas.  Para determinar quantas cédulas seriam produzidas a mais (x), vamos determinar a diferença entre o quociente das cédulas e das moedas. De forma simplificada, temos a seguinte equação: x =  valor empregado  –  valor empregado        custo por cédula      custo por moeda  O enunciado informa que o valor empregado é de R$ 1 000,00. Já sabemos que o custo por moeda é de R$ 0,26 e por cédula é de R$ 0,17. Sendo assim, temos: x =  1 000  –  1 000         0,17        0,26 x ≈ 5 882,34 – 3 846,14x ≈ 2 036,2 Portanto, com R$ 1 000,00, podem ser produzidas cerca de 2 036 cédulas a mais do que moedas de um real. A alternativa que indica a resposta correta é a letra b.

24. Dicas de Matemática 6: Trigonometria É comum cair conceitos como cosseno, seno e tangente. Mas, há outros temas importantes como progressões geométricas e aritméticas, análise estatística e combinatória e probabilidade.

25. Questão sobre progressão aritmética no Enem de 2012 Jogar baralho é uma atividade que estimula o raciocínio. Um jogo tradicional é a Paciência, que utiliza 52 cartas. Inicialmente são formadas sete colunas com as cartas. A primeira coluna tem uma carta, a segunda tem duas cartas, a terceira tem três cartas, a quarta tem quatro cartas, e assim sucessivamente até a sétima coluna, a qual tem sete cartas, e o que sobra forma o monte, que são as cartas não utilizadas nas colunas. A quantidade de cartas que forma o monte é: a) 21.b) 24.c) 26.d) 28.e) 31.

26. Resolução: Para resolver essa questão, vamos identificar a progressão aritmética que nos é dada no problema. Podemos considerar que cada coluna corresponde a um termo da sequência numérica, portanto, o primeiro termo é 1 (a1 = 1), o segundo é 2 (a2 = 2), o terceiro termo é 3 (a3 = 3) e assim sucessivamente até  o sétimo e último termo da sequência numérica (a7 = 7). Sabemos que a progressão possui sete elementos (n = 7) e temos conhecidos o primeiro e o último termo, logo, podemos usar a fórmula da soma dos elementos de uma PA: Sn = (a1 + an). n      2S7 = (a1 + a7). 7      2S7 = (1 + 7). 7      2S7 = (1 + 7). 7      2S7 = 8 . 7      2S7 = 56      2S7 = 28 Então há 28 cartas distribuídas nas fileiras. Como no baralho há 52 cartas, fazendo 52 – 28 = 24, descobrimos que há 24 cartas no monte. A alternativa correta é a letra b. 

27. Dicas de Matemática 7: Sistemas Lineares Estude as equações que possuem variáveis; coeficientes reais; sistema linear com várias equações e variáveis; sistema possível e determinado; sistema impossível; sistema possível e indeterminado.

28. Dicas de Matemática 8: Aplicação de logaritmo Aqui é importante focar a atenção para logaritmos e exponenciais. A teoria também cobra a propriedade os logaritmos, calcanhar de Aquiles.

29. Dicas de Matemática 9: Geometria Estude cilindros, cones, prismas, semelhança entre sólidos para geometria espacial. Em geometria plana, estude figuras planas e circunferências; trigonometria e funções no triangulo retângulo e soma de arcos.

30. FIM