Wir haben gemogelt !

1. Wir haben gemogelt !

2. Untersuchung der Flächeninhalte unter dem Graphen im Intervall [0;b] für folgende Funktionen:

3. Untersumme der Rechtecksflächen Lässt man die Anzahl der Rechtecke, also die Zahl n immer größer werden, so gilt:

4. Untersumme der Rechtecksflächen Lässt man die Anzahl der Rechtecke, also die Zahl n immer größer werden, so gilt:

5. Untersumme der Rechtecksflächen Lässt man die Anzahl der Rechtecke, also die Zahl n immer größer werden, so gilt:

6. Wie bestimmt man bei einer beliebigen Potenzfunktion den Flächeninhalt der Fläche zwischen der x-Achse und dem Graphen der Funktion im Intervall von [0; b] ? Wir wissen: Wir vermuten: Funktionsterm Flächeninhalt unter dem Graphen im Intervall [0; b]

7. Der Flächeninhalt zwischen der x-Achse und dem Graphen der Funktion f mit f = xn im Intervall [0; b] beträgt: Wir „leiten auf“ !

8. Wir betrachten jetzt zusammengesetzte Funktionen: Summen von Potenzfunktionen

9. Wir betrachten jetzt zusammengesetzte Funktionen: Summen von Potenzfunktionen

10. Wir betrachten jetzt zusammengesetzte Funktionen: Summen von Potenzfunktionen

11. Wir betrachten jetzt zusammengesetzte Funktionen: Summen von Potenzfunktionen

12. Beobachtung zur Summe von Potenzfunktionen Wenn man zwei Potenzfunktionen addiert, addieren sich die Flächeninhalte zwischen den Graphen und der x-Achse.

13. Wir betrachten jetztFaktoren vor einer Potenzfunktion

14. Wir betrachten jetztFaktoren vor einer Potenzfunktion

15. Beobachtung zum Faktor bei Potenzfunktionen Wenn man eine Potenzfunktion mit einem Faktor multipliziert, wird auch der Flächeninhalt zwischen Graph und x-Achse mit dem Faktor multipliziert.

16. Aufgabe:Bestimme den Flächeninhalt der Fläche zwischen der x-Achse und dem Graphen der Funktion f mit im Intervall [0; 6] .

17. Null? - Oups! Was ist hier passiert? Wir betrachten den Graphen der Funktion.

18. Das Integral Man versteht unter dem Integral von a bis b der Funktion f die Summe der orientierten Flächeninhalte . Beim orientierten Flächeninhalt sind die Flächeninhalte ober-halb der x-Achse mit einem positiven und unterhalb der x-Achse mit einem negativen Vorzeichen versehen. +A1 +A3 -A2 -A4

19. Mit dem Rechteck-Verfahren wird also das Integral berechnet!Das Integral stimmt genau dann mit dem Flächeninhalt zwischen dem Graph und der x-Achse überein, wenn der Graph auf dem Intervall nicht unterhalb derx-Achse verläuft.

20. Potenzfunktion Es gilt: a b

21. Wollen wir nun den Flächeninhalt der Fläche zwischen x-Achse und dem Graphen der Funktion f mit im Intervall [0; 6] bestimmen, so müssen wir die Teilflächen bis zu den Nullstellen bestimmen.

22. Drei Fragen/Aufgaben:1. Was versteht man unter einem Integral?2. Formuliere eine „Summen- und Faktorregel“ für die Intergralrechnung.3. Wann stimmt der Flächeninhalt zwischen dem Graphen und der x-Achse mit dem Integral überein?

23. Hausaufgabe:BASICS:S. 181 – 183 durcharbeiten, ggf. Fragen notierenS. 185 Nr. 6 a - d Berechne den Inhalt der Fläche, die der Graph der Funktion f mit f(x) = -x²+3x mit der x-Achse einschließt.(Tipp: Mach eine Skizze!)TOPS:Erläutere bzw. begründe den Begriff des „orientierten Flächeninhalts“