Delaunay – Voronoil

1. Geometría Computacional Delaunay – Voronoil Gina Ostos Edwin Peña Diego Cardozo Gabriel Aristizabal

2. Introducción La Geometría Computacional se define como el estudio de problemas algorítmicos que involucran geometría. Una parte esencial es el diseño y análisis de algoritmos para la solución eficiente de problemas geométricos. Como consecuencia, una tarea fundamental es identificar conceptos, propiedades y técnicas, las cuales ayudan al desarrollo de algoritmos eficientes.

3. Historia Los primeros resultados constructivos de la Geometría Computacional (G.C.) datan de la época de Euclides, existió un nacimiento separado de la Geometría y de los algoritmos. En 1978 se inicia el estudio de problemas geométricos usando algoritmos con la prestigiosa tesis de Doctorado de. Shamos (1978), aunque antes, con el trabajo de Graham en 1972, se presenta uno de los algoritmos más conocidos para el cálculo de la envolvente convexa en el plano en tiempo óptimo. La Geometría Computacional es una disciplina joven, ya cuenta con más de 8000 publicaciones relevantes.

4. Definición La Geometría Computacional resuelve algorítmicamente problemas de naturaleza geométrica y se ha centrado en problemas dentro del plano y otros espacios euclídeos.

5. Mallas Geométricas La generación de mallas en dos dimensiones consiste en aproximar el dominio de simulación por un polígono el cual se divide en elementos geométricos sencillos (cuadriláteros o triángulos) lo cual quiere decir que la interacción de dichos elementos, sea una arista un vértice o un conjunto vacio. En el cual se tiene un dominio rectangular. • Método frontal o del • frente de avance. • Triangulación Delaunay • de un conjunto de • puntos. • Subdivisiones sucesivas.

6. Método frontal o frente de avance • Consiste en la modificación del dominio original por la remoción sucesiva de triángulos a partir de su borde. La frontera del dominio evoluciona durante la generación de triángulos.

7. Triangulación Consiste en la generación de puntos sobre el dominio y luego conectarlos para formar una triangulación que satisfaga alguna propiedad de optimalidad. Por ejemplo, puede hallarse la triangulación que maximice el mínimo de los ángulos de cada par de triángulos adyacentes. La condición del ángulo mínimo es equivalente a la del círculo circunscrito. El círculo que pasa por los tres vértices de cada triángulo no contiene a otros puntos de la triangulación. Esta propiedad se utiliza para la construcción de la triangulación Delaunay. La utilización de triangulaciones Delaunay en la generación de mallas se remonta a los trabajos de Cavedish y puede extenderse al caso tridimensional.

8. Subdivisiones sucesivas Se basa en la utilización de la cuadrícula que se superpone al dominio. Las celdas exteriores se descartan, mientras que el resto se puede subdividir sucesivamente de acuerdo al grado de discretización deseado en cada región del dominio. Finalmente se dividen las celdas interiores en triángulos, de modo de mantener la compatibilidad con las celdas vecinas. Las celdas que interceptan a la frontera requieren un tratamiento especial (pueden triangularse por ejemplo utilizando el método frontal). Esta técnica es conocida como “método de árboles cuaternarios” (en tres dimensiones: árboles octales), debido a la estructura de datos implícita en la subdivisión sucesiva de cada celda, y ha sido utilizada en generación de mallas de elementos finitos tanto en dos como en tres dimensiones.

10. Triangulo de una nube de puntos Sea P = {p1, p2, ... ,pn} un conjunto de puntos en el plano. Definiremos una subdivisión maximal en el plano como una subdivisión S, tal que ningún lado conectado a dos vértices pueda ser añadido a S sin perder su estado plano, es decir, ningún lado de S intersecta con otro lado existente. Así, una triangulación se define como una subdivisión maximal planar cuyo conjunto de vértices es P.

11. Diagrama de Voronoi Es una estructura fundamental dentro de la Geometría Computacional, que almacena toda la información referente a la proximidad entre puntos.

12. Triangulación Delaunay • La triangulación Delaunay es un método de • triangulación ampliamente usada en la generación de • mallas no estructuradas. Este es uno de los métodos de • Triangulación más rápidos y relativamente fáciles de • implementar, dando excelentes resultados para la • mayoría de las aplicaciones. Al igual que los diagramas • de Voronoi, este tipo de estructura es usada para • fragmentar el espacio. • La Triangulación de Delaunay es utilizada para la • generación de mallas, definiendo un método para • conectar un conjunto arbitrario de puntos de manera • que forman un conjunto topológicamente válido de • triángulos que no se interceptan.

13. Voronoi vs. Delaunay Una vez conocido el Diagrama de Voronoi, existen una serie de propiedades que permiten calcular a partir de él la Triangulación de Delaunay de forma directa e inequívoca y viceversa, pudiendo realizarse este proceso en tiempo lineal. Habitualmente se resuelve la Triangulación de Delaunay para luego llegar al Diagrama de Voronoi, aunque en realidad el primero es el dual del segundo. Para realizar la conversión de Diagrama de Voronoi a Triangulación de Delaunay, es necesario aplicar las propiedades de ambos diagramas. La Triangulación de Delaunay es un grafo de líneas rectas dual al Diagrama de Voronoi. Cada triángulo de la Triangulación se corresponde con un vértice del diagrama, que además se corresponde con el circuncentro del triángulo. Cada arista de la triangulación puede calcularse a partir de una arista de Voronoi, ya que son perpendiculares entre sí y viceversa, ya que, si en cada circuncentro de cada triángulo de la Triangulación de Delaunay se coloca un vértice entre cada par de nuevos vértices que estuvieran entre triángulos vecinos, se trazan aristas coincidentes con la mediatriz, entonces tendríamos el diagrama de Voronoi del conjunto inicial de puntos.

14. Característica Triangulación Delaunay Podría definirse una triangulación de Delaunay como aquella que posee el vector de ángulos mayor de entre todas las posibles triangulaciones, la palabra vector se refiere para esta propiedad como los ángulos formados por las aristas de la triangulación (ordenados de menor a mayor). En una triangulación de Delaunay serían aquellos ángulos mayores o iguales que los de cualquier otra triangulación.

15. La Triangulación de Delaunay y el Diagrama de Voronoi tienen el mismo número de aristas y se corresponden entre sí. Cada nodo de la Triangulación se corresponde con una única región del diagrama. El contorno de la triangulación es equivalente al cierre convexo de la nube de punto. No es posible encontrar ningún punto de la nube en el interior de los triángulos formados por la triangulación. Como se puede apreciar en la figura, el Diagrama de Voronoi es bastante fácil de encontrar a través de la Triangulación de Delaunay, en tiempo lineal. Diagrama Dual Voronoi / Delaunay

16. Algoritmo FlippingIncremental Este algoritmo se basa en la comprobación de una de las propiedades de la triangulación de Delaunay, la propiedad del círculo vacío, la que dice que una circunferencia circunscrita a un triángulo no contiene en su interior a ningún otro punto de la nube. Comienza con una triangulación arbitraria y la convierte en una triangulación de Delaunay por cambio de la diagonal de dos triángulos vecinos. Estos triángulos comparten una arista llamada ilegal, al no cumplir con la propiedad anteriormente mencionada, sobre ella se realiza una operación denominada flip o legalizado de arista o intercambio de arista, la cual consiste en hacer de esta arista ilegal, una arista legal, es decir que cumpla con la propiedad de la circunferencia circunscrita.

17. Algoritmo FlippingIncremental Si se observa la figura anterior, en el ejemplo (a), al dibujar el círculo sobre los vértices de uno de los triángulos, existe un punto interior al círculo y que no pertenece al triángulo, por lo que en este caso tendríamos una arista ilegal. Entonces, para corregir este problema bastará con cambiar dicha arista, de modo que cumpla con la propiedad convirtiéndose en una arista legal, tal como lo muestra el ejemplo (b) de la figura.

18. Algoritmo FlippingIncremental Este algoritmo se basa en la comprobación de una de las propiedades de la triangulación de Delaunay, la propiedad del círculo vacío, la que dice que una circunferencia circunscrita a un triángulo no contiene en su interior a ningún otro punto de la nube. Comienza con una triangulación arbitraria y la convierte en una triangulación de Delaunay por cambio de la diagonal de dos triángulos vecinos. Estos triángulos comparten una arista llamada ilegal, al no cumplir con la propiedad anteriormente mencionada, sobre ella se realiza una operación denominada flip o legalizado de arista o intercambio de arista, la cual consiste en hacer de esta arista ilegal, una arista legal, es decir que cumpla con la propiedad de la circunferencia circunscrita.

19. Pasos del algoritmo: Paso 1: Sean p-1 p-2 p-3 tres puntos, tales que la nube de puntos P que representan las antenas de telefonía, está contenida en el triángulo que forman. Inicializamos T como una triangulación de un único triángulo p-1 p-2 p-3

20. Pasos del algoritmo: Paso 2: Los puntos de la nube P serán insertados en el mismo orden en el que han sido introducidos por el usuario, como el Triangulo inicial de T engloba toda la nube de puntos, solo pueden dar dos casos. Caso 1: El punto introducido cae dentro de un triangulo ya existente. En este caso se añaden tres aristas desde pr a los tres vértices de pi pjpk, partiendo el antiguo triángulo en tres. Solo nos queda legalizar las nuevas aristas. LEGALIZA_LADO (pr, pi pj,T) LEGALIZA_LADO (pr, pjpk,T) LEGALIZA_LADO (pr, pkpi,T)

21. Pasos del algoritmo: Caso 2: • El nuevo punto cae encima de una de las aristas que forma uno de los lados de un triángulo ya existente. • En este caso dividiremos en dos cada uno de los triángulos que comparten la arista sobre la que ha caído el punto, añadiremos las aristas desde pr a pk  al tercer vértice pl del otro triángulo que comparte la arista pi pj. En este caso como en el anterior tendremos que legalizar las nuevas aristas creadas, • LEGALIZA_LADO (pr, pi pl,T) • LEGALIZA_LADO (pr, plpj,T) • LEGALIZA_LADO (pr, pjpk,T) • LEGALIZA_LADO (pr, pkpi,T)

22. Pasos del algoritmo: Paso 3: Cuando no nos queden mas puntos por insertar, Descartaremos p-1, p-2 y p-3 y todas las aristas que parten de ellos. Veamos ahora el procedimiento LEGALIZA_LADO: LEGALIZA_LADO (pr, pi pj, T) 1. El punto que se está insertando es pr, y pi pj es la arista de T a la que puede ser necesario hacer un flip2. Se comprueba por las propiedades de las Triangulaciones de Delaunay anteriormente vista si pi pj es ilegal 3.  Si es ilegal Sea pi pjpk el triángulo adyacente a pr pi pj compartiendo la arista pi pj4.  Se reemplaza pi pj por prpk5.  LEGALIZA_LADO (pr,pipk, T) 6.  LEGALIZA_LADO (pr,pkpj, T)

23. Pasos del algoritmo: Caso 2: • El nuevo punto cae encima de una de las aristas que forma uno de los lados de un triángulo ya existente. • En este caso dividiremos en dos cada uno de los triángulos que comparten la arista sobre la que ha caído el punto, añadiremos las aristas desde pr a pk  al tercer vértice pl del otro triángulo que comparte la arista pi pj. En este caso como en el anterior tendremos que legalizar las nuevas aristas creadas, • LEGALIZA_LADO (pr, pi pl,T) • LEGALIZA_LADO (pr, plpj,T) • LEGALIZA_LADO (pr, pjpk,T) • LEGALIZA_LADO (pr, pkpi,T)

24. Pasos del algoritmo: Paso 3: Cuando no nos queden mas puntos por insertar, Descartaremos p-1, p-2 y p-3 y todas las aristas que parten de ellos. Veamos ahora el procedimiento LEGALIZA_LADO: LEGALIZA_LADO (pr, pi pj, T) 1. El punto que se está insertando es pr, y pi pj es la arista de T a la que puede ser necesario hacer un flip2. Se comprueba por las propiedades de las Triangulaciones de Delaunay anteriormente vista si pi pj es ilegal 3.     Si es ilegal            Sea pi pjpk el triángulo adyacente a pr pi pj compartiendo la arista pi pj4.        Se reemplaza pi pj por prpk5.        LEGALIZA_LADO (pr,pipk, T) 6.        LEGALIZA_LADO (pr,pkpj, T) Es decir, comprobamos la legalidad de la nueva arista, si es ilegal se hace el flip correspondiente y se chequea de nuevo la legalidad de las nuevas aristas.

25. Pasos del algoritmo:

26. Complejidad del algoritmo: Se puede obtener basado en los siguientes antecedentes: - Tomar un punto de la nube aún no triangulada. Los puntos serán elegidos en el mismo orden en el que han sido introducidos por el usuario, por lo que para una nube de puntos de n elementos esto demoraría un tiempo O(n). - Una vez elegido el punto hay que averiguar el triangulo o la arista sobre la que cae el punto introducido, por lo que habrá que recorrer toda la lista de triángulos existentes. Esto supone un tiempo de O(n log n). - Trazar una arista desde el punto a triangular a cada uno de los tres vértices del triángulo que lo contiene. Trazar una arista requiere un tiempo de O(1), para n puntos el tiempo sería de O(n). - Averiguar si las nuevas aristas son legales. Hay que comprobar a la propiedad del círculo vacío, por lo que el tiempo en realizar esta comprobación para n puntos es de O(n). - Si alguna de las nuevas aristas es ilegal hay que hacer un flip. Esto requiere borrar la arista ilegal y se crear una legal, esta operación se puede hacer en un tiempo constante de O(1), pero quien definirá el tiempo será el número de flips que se deberán realizar. Por ello, aplicar esta operación a todos los puntos de la nube equivaldría a una complejidad de O(n). Por lo tanto T(n) = O(n) + O(n log n) + O(n) + O(n) + O(n)                    T(n) = O(n log n)

27. Algoritmo de Fuerza Bruta Es la forma más fácil de calcular la Triangulación de Delaunay de una nube de puntos. Paso 1: El núcleo del algoritmo, consiste en un bucle que va calculando todas las posibles triangulaciones, descartando las que no cumplen los criterios de la triangulación de Delaunay y quedándose con los que la cumplen. for (i=0;i<numero_puntos;i++) for (j=0;j<numero_puntos;j++) for (z=0;z<numero_puntos;z++)                            si triangulo(i,j,z) cumple Delaunay y no repetido                                insertar (triangulo(i,j,z)) en lista_triangulos

28. Algoritmo de Fuerza Bruta Paso 2: Se ordenan los triángulos resultantes en el sentido de las agujas del reloj para facilitar el cálculo de las regiones de Voronoi. Al terminar tendremos una lista que contendrá todos los triángulos que componen la triangulación de Delaunay, mediante estos triángulos calcularemos las áreas de Voronoi.  Sucomplejidadsería: T(n) = O(n) * O(n) * O(n) * O(n) T(n) = O(n ^ 4)

29. Algoritmo de Fuerza Bruta Mejorado Este algoritmo es una mejora del anterior usando Computación Científica para la optimización de los bucles y el filtrado de posibles soluciones. Paso 1: Se ordenan los puntos en un array, el criterio de ordenación es de izquierda a derecha y de arriba a abajo, esta ordenación facilita enormemente el posterior cálculo de la triangulación.

30. Algoritmo de Fuerza Bruta Mejorado Paso 2: El núcleo del algoritmo, consiste en un bucle que va calculando todas las posibles triangulaciones, descartando las que no cumplen los criterios de la triangulación de Delaunay y quedándose con los que la cumplen. Al tener los puntos ordenados, el algoritmo calculará de forma más eficiente las aristas de la Triangulación de Delaunay ya que filtrará muchas de las repetidas. for (i=0;i<numero_puntos;i++) for (j=i;j<numero_puntos;j++) for (z=j;z<numero_puntos;z++)                            si triangulo(i,j,z) cumple Delaunay                                 insertar (triangulo(i,j,z)) en lista_triangulos

31. Algoritmo de Fuerza Bruta Mejorado Paso 3: Se ordenan los triángulos resultantes en el sentido de las agujas del reloj para facilitar el cálculo de las regiones de Voronoi. Al terminar tendremos una lista que contendrá todos los triángulos que componen la triangulación de Delaunay, mediante estos triángulos calcularemos las áreas de Voronoi. 

32. Aristas de Voronoi infinitas Para resolver esto, se debe calcular los puntos de corte de las aristas del Diagrama de Voronoi con el área dibujable.

33. Aristas de Voronoi infinitas Pasos para el cálculo: Paso 1: for(i=0;i<numero_alistas_voronoi;i++)      si la arista(i) se extiende al infinito nueva_arista = calcular el punto de corte con el área dibujable de la arista(i) arista(i) = nueva_arista Al final de este bucle tendremos una lista de las aristas de Voronoi limitadas dentro del área dibujable.

34. Cálculo del tamaño área. El siguiente paso para el cálculo del área de las regiones de Voronoi, será su triangulación y el posterior cálculo del área de cada uno de estos triángulos. El cálculo del área de las regiones de Voronoi cuyos lados son adyacentes a otra región de Voronoi es relativamente sencillo, solo hay que generar tantos triángulos como aristas de Voronoi tenga el área, tomando como uno de los lados la arista de Voronoi y como vértice el punto al que corresponde esa área.

35. Cálculo del tamaño área. Una vez triangulada, su área será la suma del área de todos los triángulos que la forman.

36. Cálculo del tamaño área. En este punto se encuentra otro problema, como calcular el área de las regiones que tienen lados que no son adyacentes con otra región de Voronoi.

37. Cálculo del tamaño área. Lo primero que vamos a hacer va a ser asignar las cuatro esquinas de la zona dibujable, a las regiones de Voronoi en las que se encuentren, para ello lo más sencillo es calcular la distancia de los puntos a las esquinas de la zona dibujable. Las esquinas pertenecerán a la región cuya distancia al punto al que pertenece sea menor.

38. Cálculo del tamaño área. Por lo que la esquina superior izquierda pertenecería a ese punto.

39. Cálculo del tamaño área. Repitiendo el paso para el resto de las esquinas.

40. Cálculo del tamaño área. Con esta información el cálculo se resuelve normalmente, generando tantos triángulos como aristas de Voronoi tenga el área, tomando como uno de los lados la arista de Voronoi y como vértice el punto al que corresponde esa área y añadiendo las esquinas.

41. Cálculo del tamaño área. El siguiente paso para el cálculo del área de las regiones de Voronoi, será su triangulación y el posterior cálculo del área de cada uno de estos triángulos. El cálculo del área de las regiones de Voronoi cuyos lados son adyacentes a otra región de Voronoi es relativamente sencillo, solo hay que generar tantos triángulos como aristas de Voronoi tenga el área, tomando como uno de los lados la arista de Voronoi y como vértice el punto al que corresponde esa área.

42. Cálculo del tamaño área. El siguiente paso para el cálculo del área de las regiones de Voronoi, será su triangulación y el posterior cálculo del área de cada uno de estos triángulos. El cálculo del área de las regiones de Voronoi cuyos lados son adyacentes a otra región de Voronoi es relativamente sencillo, solo hay que generar tantos triángulos como aristas de Voronoi tenga el área, tomando como uno de los lados la arista de Voronoi y como vértice el punto al que corresponde esa área.