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Grundgleichungen der Wellenfunktion

Grundgleichungen der Wellenfunktion. Laplace-Operator. Schrödingergleichung. Energie- operator. Impuls- operator. Hamilton- operator. Der quantenmechanische harmonische Oszillator. Gesucht: Eigenzustände des Hamiltonoperators. Teilchen im harmonischen

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Presentation Transcript

  1. Grundgleichungen der Wellenfunktion Laplace-Operator Schrödingergleichung Energie- operator Impuls- operator Hamilton- operator

  2. Der quantenmechanische harmonische Oszillator Gesucht: Eigenzustände des Hamiltonoperators Teilchen im harmonischen Potential (U = k∙x2/2): Gesamte Wellenfunktion:

  3. Grundzustand des harmonischen Oszillators • = 100 mm • m = 12 D E (J) x (nm)

  4. 1. angeregter Zustand des harmonischen Oszillators Was ergibt ? ist neue Eigenfunktion von ĥ mit Eigenwert 3e!

  5. 1. angeregter Zustand des harmonischen Oszillators Normie- rung partielle Integration

  6. Höhere Zustände des harmonischen Oszillators Â+ und  sind sogenannte Leiteroperatoren: Â+ transformiert Zustand in energetisch nächsthöheren,  transformiert Zustand in energetisch nächsttieferen Zustand

  7. Alle Zustände des harmonischen Oszillators Hermitesche Polynome

  8. Die untersten Zustände des harmonischen Oszillators

  9. Die untersten Zustände des harmonischen Oszillators m = 12 D l = 100 mm y |y|2 Energie (J) Zahl der Null- stellen von y (nodes) = k x (nm) x (nm)

  10. Wasserstoffatom Potentielle Energie eines Elektrons im elektrischen Feld eines positiv geladenen Protons: Klassische Bewegungs- gleichungen reduzierte Masse:

  11. Wasserstoffatom Potentielle Energie Reduzierte Masse Zeitunabhängige Wellenfunktion Laplace-Operator in Kugelkoordinaten:

  12. Intermezzo: Kugelkoordinaten z q f y x

  13. Drehimpuls Wellenfunktion bei Bewegung um eine fixe Achse (z.B. z): Beschränkung: m muß ganze Zahl sein! Drehimpuls: Impuls mal Radius Quantisierung des Drehimpulses: Quantisierung des Drehimpulses gilt für jede Achse!!

  14. Drehimpuls um verschiedene Achsen 90° 90°

  15. Wasserstoffatom: Trennung der Variablenabhängigkeiten Quadrat des gesamten Drehimpulses

  16. Wasserstoffatom: q-Abhängigkeit Ansatz: Gesamtdrehimpuls ~ Drehimpuls um z Generelle Lösung: Assoziierte Legendre-Polynome

  17. Assoziierte Legendre-Polynome m = 0 m = 1 m = 2 ℓ = 0 ℓ = 1 ℓ = 2

  18. Wasserstoffatom: qf-Abhängigkeit m = -2 m = -1 m = 0 m = 1 m = 2 ℓ = 0 s ℓ = 1 p ℓ = 2 d

  19. Wasserstoffatom: r-Abhängigkeit Im Limes großer Werte von r: Im Limes r→ 0

  20. Wasserstoffatom: r-Abhängigkeit Ansatz:

  21. Wasserstoffatom: Grundzustand Bohr-Radius: a0 = 0.529 Å Elektronenvolt: Energie, die ein Elektron bei Durchlaufen einer Spannungsdifferenz von einem Volt erhält

  22. Wasserstoffatom: Allgemeine Lösung Assoziierte Laguerre-Polynome ℓ = 0 ℓ = 1 ℓ = 2 n = 1 n = 2 n = 3

  23. Wasserstoffatom: Radialfunktion n = 1 f | f |2 ℓ = 0 n = 2 normalisierte Funktionen ℓ = 0,1 n = 3 ℓ = 0,1,2 r (a0) r (a0)

  24. Wasserstoffatom: Energieschema - 0.14 eV - 0.17 eV - 0.21 eV - 0.28 eV - 0.38 eV - 0.54 eV - 0.85 eV - log |E| - 1.5 eV Entartung des nten Energieniveaus: - 3.4 eV - 13.6 eV 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 s p d f ℓ Orbital

  25. Spin Wie ändert sich die Wellenfunktion eines Teilchens, wenn es um eine Achse rotiert wird? Volle Rotation: Beide Vorzeichen sind möglich, da nur gelten muß Fermionen Bosonen Spin-Quantenzahl s

  26. Pauli-Prinzip Angenommen, zwei Teilchen befinden sich im identischen Zustand. Dann ist die Wellenfunktion, bei der beide Teilchen vertauscht sind, identisch mit der ursprünglichen Wellenfunktion. Vertauschung kann aber auch durch Drehung um ein Achse erreicht werden. Für Fermionen haben wir demnach: Zwei Fermionen können niemals im gleichen Zustand sein!

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