Proseminar – Geometrie

1. Proseminar – Geometrie Schwerpunkte von Dreiecken, Vierecken und Tetraedern © by Johannes Weckend und Tim Schweisgut Sommersemester 2003

2. © by Johannes Weckend und Tim Schweisgut, 2003 Schwerpunkte… • …im Dreieck • Eckenschwerpunkt • Flächenschwerpunkt • Kantenschwerpunkt • …von zwei Massepunkten • …einer mit Masse belegten Strecke • Schwerlinien • …im Viereck • Eckenschwerpunkt • Flächenschwerpunkt • Kantenschwerpunkt • …eines Zweibeins • …im Dreieck • …im Viereck • …im Tetraeder • Eckenschwerpunkt • Flächenschwerpunkt • Kantenschwerpunkt • Raumschwerpunkt • …im Tetraeder

3. 2 1 A S B 1 2 © by Johannes Weckend und Tim Schweisgut, 2003 1. Schwerpunkt von zwei Massepunkten Mit |S| bezeichnen wir die in dem Punkt S punktförmig konzentrierte Masse.  a : b = |B| : |A| Satz 1: Der Schwerpunkt S von zwei Punkten A und B teilt die Strecke [AB] im umgekehrten Verhältnis der Massen ihrer Endpunkte. A und B können durch S mit der Masse |S| = |A|+|B| ersetzt werden. Spezialfall: Für |A| = |B| ist S der Mittelpunkt von [AB].

4. A B Der Schwerpunkt einer homogen mit Masse belegten Strecken [AB] ist auf Grund der Symmetrie immer der Mittelpunkt der Strecke. |S| = AB. Satz 2: Der Schwerpunkt S einer homogenen mit Masse belegten Strecke [AB] ist ihr Mittelpunkt mit der Ersatzmasse |S| = AB. © by Johannes Weckend und Tim Schweisgut, 2003 2. Schwerpunkt einer homogen mit Masse belegten Strecke M=S

5. © by Johannes Weckend und Tim Schweisgut, 2003 3. Schwerlinien Definition (Schwerlinie): Eine Gerade durch den Schwerpunkt eines geometrischen Gebildes heißt Schwerlinie. Satz 3: Zwei verschiedene Schwerlinien eines Gebildes schneiden sich stets in seinem Schwerpunkt.

6. Weiterhin gilt für den Schnittpunkt S‘ der Strecke [SASB] mit der Winkelhalbierende wM: S‘SB : S‘SA = MSB : MSA = OA : OB. Satz 4: Der Schwerpunkt S eines homogen mit Masse belegten Zweibeins [OA][OB] ist der Schnittpunkt der Mittelparallelen [SASB] mit der Winkelhalbierenden wM des Winkels SAMSB durch den Mittelpunkt M der Strecke [AB]. Es gilt: |S| = OA + OB © by Johannes Weckend und Tim Schweisgut, 2003 4. Schwerpunkt eines Zweibeins Nach Satz 1 und 3 ist [SASB] eine Schwerlinie und es gilt: |SA|SSA = |SB|SSB also OA : OB = SSB : SSA  S‘ = S

7. © by Johannes Weckend und Tim Schweisgut, 2003 Schwerpunkte in Dreiecken und Vierecken • Bei Dreiecken und Vierecken unterscheidet man zwischen einem • Eckenschwerpunkt E, bei nur die Ecken mit Masse belegt sind • Flächenschwerpunkt F, bei dem die ganze Fläche homogen mit Masse belegt ist • einem Kantenschwerpunkt K, bei dem die Kanten homogen mit Masse belegt sind.

8. © by Johannes Weckend und Tim Schweisgut, 2003 5.1 Schwerpunkt eines Dreiecks Eckenschwerpunkt E Gegeben sei ein Dreieck, bei dem alle Ecken A, B, C mit der Masse 1 belegt sind. Es gilt also, dass |A|+|B|=2 ist, und man so A und B in C1 zusammenfassen kann. Nun haben wir eine Schwerlinie [CC1], und ebenfalls nach Satz 1 folgt, das E die Strecke in einem Verhältnis von 2:1 teilt. Den Eckenschwerpunkt kann man allerdings auch finden, indem man zwei oder alle drei Seitenhalbierenden einzeichnet, denn diese sind alle Schwerlinien  Die Seitenhalbierenden schneiden sich in E. Satz 5: Die drei Seitenhalbierenden eines Dreiecks schneiden sich in seinem Eckenschwerpunkt E. Dieser teilt jeweils die Strecke von der Ecke zum Mittelpunkt der Gegenseite im Verhältnis 2:1.

9. © by Johannes Weckend und Tim Schweisgut, 2003 5.2 Schwerpunkt eines Dreiecks Flächenschwerpunkt F Die Strecke [A1B1], die parallel ist zur Strecke [AB], wird von der Seitenhalbierenden [CC1] in der Mitte geteilt. Unterteilt man das Dreieck in viele kleine Streifen, parallel zu [AB], so liegt von jedem Streifen der Schwerpunkt (nach Satz 2) in der Mitte, also auf [CC1]  [CC1] ist eine Schwerlinie. Wenn man diese Überlegung analog auf die anderen Seitenhalbierenden überträgt, stellt man fest, dass alle drei Seitenhalbierenden Schwerlinien sind.  E = F Satz 6: Im Dreieck fallen Eckenschwerpunkt E und Flächenschwerpunkt F zusammen; sie sind der Gemeinsame Schnittpunkt der Seitenhalbierenden. Dieser Punkt heißt wegen E=F kurz Der Schwerpunkt S des Dreiecks.

10. © by Johannes Weckend und Tim Schweisgut, 2003 5.3 Schwerpunkt eines Dreiecks Kantenschwerpunkt K Gegeben ist ein Dreieck ABC, dessen Kanten homogen mit Masse belegt sind. Um den Kantenschwerpunkt zu finden zerlegen wir das Dreieck in das Zweibein [CA][CB] und die Seite [AB]. Nach Satz 4 ist C2 der Schwerpunkt des Zweibeins und nach Satz 1 ist C1 der Schwerpunkt der Strecke [AB]. Folglich muss der Kantenschwerpunkt K des Dreiecks auf der Schwerlinie [C1C2] liegen. Wenn man das Dreieck anders in ein Zweibein und eine Strecke Aufteilt (analog zu oben), erhält man nun drei Schwerlinien, dessen Schnittpunkt der Kantenschwerpunkt K des Dreieck ist.

11. © by Johannes Weckend und Tim Schweisgut, 2003 5.3 Schwerpunkt eines Dreiecks Kantenschwerpunkt K Der Kantenschwerpunkt K ist der Mittelpunk des dem Dreiecks A1B1C1 einbeschriebenen Kreises, der sogenannte Innkreismittelpunkt. Satz 7: Der Kantenmittelpunkt K eines Dreiecks ABC ist der Innkreismittelpunkt seines Seitenmittelpunktdreiecks A1B1C1.

12. © by Johannes Weckend und Tim Schweisgut, 2003 Wann ist im Dreieck K = S? Wir wissen schon, dass im Dreieck der Eckenschwerpunkt E gleich dem Flächenschwerpunkt F ist. Wann aber sind Kantenschwerpunkt K und Schwerpunkt S gleich? Wir stellen uns hierzu ein Dreieck vor, welches eine ganz kleine Basislänge hat, gegenüber der Schenkel. Wenn [AB] nun sehr klein ist, trägt die Kante fast nichts mehr zum Kantenschwerpunkt bei, und somit liegt K etwa in der Mitte der Höhe durch C. E hingegen befindet sich bei einem Drittel der Höhe durch C.

13. © by Johannes Weckend und Tim Schweisgut, 2003 Wann ist im Dreieck K = S? Der Kantenschwerpunkt ist gleich dem Schwerpunkt, wenn die Seitenhalbierenden gleich den Winkelhalbierenden sind (nach Satz 5 und 7). Dies ist der Fall, wenn das Dreieck A1B1C1 gleichseitig ist. Also ist ABC auch gleichseitig. Satz 8: Der Schwerpunkt S und der Kantenschwerpunkt K fallen genau dann zusammen, wenn das Dreieck gleichseitig ist.

14. © by Johannes Weckend und Tim Schweisgut, 2003 6.1 Schwerpunkt eines Vierecks Eckenschwerpunkt E Nach Satz 1 lässt sich die Masse von A und B in MAB, die Massen von C und D in MCD zusammenfassen. E ist also der Mittelpunkt der Strecke [MABMCD ] mit |E|=4. Ebenso ist E der Mittelpunkt der Strecke [MBCMDA] Diese Strecken halbieren sich also gegenseitig Das schwarz umrandete Viereck ist daher nach einem bekannten Satz in der Geometrie ein Parallelogramm Satz 9: Die Seitenmitten eines Vierecks bilden ein Parallelogramm. Sein Diagonalenschnittpunkt ist der Eckenschwerpunkt E des Vierecks.

15. © by Johannes Weckend und Tim Schweisgut, 2003 6.2 Schwerpunkt eines Vierecks Flächenschwerpunkt F Unterteilung des Vierecks durch die Diagonale [AC] in die zwei Dreiecke ABC und ADC. Nach Satz 6 werden die Schwerpunkte S1 und S2 der Dreiecke bestimmt. Nach Satz 1 liegt F auf der Schwerlinie [S1S2] Zerlegt man das Viereck in die Dreiecke BAD und BCD, berechnet ebenfalls deren Schwerpunkte S, so erhält man die Schwerlinie [S3S4]. • F ist Schnittpunkt der beiden Schwerlinien [S1S2] und [S3S4] Satz 10: Zerlegt man das Viereck ABCD durch die beiden Diagonalen [AC] und [BC] in jeweils zwei Dreiecke mit den Schwerpunkten S1, S2 bzw. S3, S4, so sind die Geraden S1S2 und S3S4 Schwerlinien des flächenhaft homogen mit Masse belegten Vierecks. Der Schnittpunkt von S1S2 und S3S4 ist der Gesuchte Flächenschwerpunkt F.

16. © by Johannes Weckend und Tim Schweisgut, 2003 6.3 Schwerpunkt eines Vierecks Kantenschwerpunkt K Zerlegung des Vierecks in die beiden Zweibeine [AB][AD] und [CB][CD]! Nach Satz 4 werden die Schwerpunkte K1 und K2 der Zweibeine bestimmt. Nach Satz 1 liegt K auf der Schwerlinie [K1K2] Zerlegt man das Viereck in die Zweibeine [BA][BC] und [DA][DC] mit ihren Schwerpunkten K3 und K4, so erhält man die zweite Schwerlinie [K3K4]. • K ist Schnittpunkt der beiden Schwerlinien [K1K2] und [K3K4] Satz 11: Zerlegt man das Viereck ABCD, dessen Kanten homogen mit Masse belegt seien, einmal in die beiden Zweibeine [AB][AD] und [CB][CD] mit den Schwerpunkten K1 und K2, dann in die Zweibeine [BA][BC] und [DA][DC] mit den Schwerpunkten K3 und K4, so sind K1K2 bzw. K3K4 Schwerlinien, ihr Schnittpunkt K ist der gesuchte Kantenschwerpunkt.

17. © by Johannes Weckend und Tim Schweisgut, 2003 Zusatz zu Vierecksschwerpunkten: E=F? Satz 12: Bei einem Viereck fallen Eckenschwerpunkt und Flächenschwerpunkt genau dann zusammen, wenn das Viereck ein Parallelogramm ist.

18. Somit ist MAC und MBD Der Mittelpunkt E hat somit die Koordinaten: © by Johannes Weckend und Tim Schweisgut, 2003 Zusatz zu Vierecksschwerpunkten: E=F? Direkter Beweis des Satzes mit Koordinatenrechnung: Gegeben: Koordinatensystem mit Diagonalen als Ursprung.

19. MAC hat die Koordinate und die Masse von A und C ist in MAC konzentriert (also z.B. 2). Wobei B nur die Masse 1 hat. Nach Satz 1 folgt nun, dass der Flächenschwerpunkt FABC die Strecke [BMAC] im Verhältnis 2:1 teilt, und so kann man dann ausrechnen, dass FABC die Koordinate hat. Analog findet man die Koordinate von FACD: © by Johannes Weckend und Tim Schweisgut, 2003 Zusatz zu Vierecksschwerpunkten: E=F? Jetzt teilen wir das Viereck in die Dreiecke ABC und ACD auf und berechnen davon die Schwerpunkte.

20. Wir wissen: FACD= FABC= E = SABCD liegt auf der Strecke [FABCFACD]. SABCD hat als x-Koordinate: F1= F2= © by Johannes Weckend und Tim Schweisgut, 2003 Zusatz zu Vierecksschwerpunkten: E=F? Wir suchen: y-Koordinate von SABCD.

21. Nach dem Lemma gilt: l1 ~ F1 ~ (-b) l2 ~ F2 ~ d ? l ~ Fges ~ (-b)+d Nun folgt: und da stellt man fest, dass Ecken- und  Flächenschwerpunkt aufeinander fallen, wenn: a=-c und b=-d ist. © by Johannes Weckend und Tim Schweisgut, 2003 Zusatz zu Vierecksschwerpunkten: E=F? Wir betrachten nur noch die y-Koordinaten, und haben also folgende Situation:  E=F, wenn das Viereck ein Parallelogramm ist.

22. © by Johannes Weckend und Tim Schweisgut, 2003 7.1 Schwerpunkt eines Tetraeders Eckenschwerpunkt E Nach Satz 5 lassen sich die drei Massen A,B,C in dem Punkt SABC zusammenfassen! Daraus folgt, dass E auf der Strecke [SABCD] liegt Nach Satz 1 wird die Strecke im Verhältnis [SABCE]:[ED] = 1:3 geteilt Da man diese Überlegungen für jedes mögliche Dreieck machen kann, ergibt sich Satz 13: Die vier Schwerlinien eines Tetraeders schneiden sich in dem Eckenschwerpunkt E, dieser teilt die Strecke von einer Ecke zum Schwerpunkt der gegenüberliegenden Dreiecksfläche von innen im Verhältnis 3:1

23. © by Johannes Weckend und Tim Schweisgut, 2003 7.1 Schwerpunkt eines Tetraeders Eckenschwerpunkt E Man kann den Eckenschwerpunkt E auch durch eine andere Konstruktion bekommen Man fasst die Punkte A und D, sowie B und C durch MAD bzw. MBC zusammen. |MAD|=|MBC|=2 E ist der Mittelpunkt der Strecke [MADMBC]. Da man diese Überlegungen für jedes Paar der drei Paare von Gegenseiten anstellen kann, erhält man Satz 14: Die drei Verbindungsstrecken der Mittelpunkte je zweier Gegenseiten eines Tetraeders schneiden sich im Eckenschwerpunkt E und werden durch E halbiert.

24. © by Johannes Weckend und Tim Schweisgut, 2003 7.2 Schwerpunkt eines Tetraeders Raumschwerpunkt R Wir betrachten zunächst ein Querschnitt des Tetraeders, das Dreieck A‘B‘C‘, parallel zur Grundfläche. Da das Dreieck A‘B‘C‘ durch zentrische Streckung aus dem Dreieck ABC hervorgeht, liegt SA‘B‘C‘ auf der Strecke [SABCD] Teilt man das Tetraeder in dünne Schichten parallel zur Grundfläche, folgt für den Grenzfall: Schichtdicke -> 0, dass die Gerade DSABC eine Schwerlinie ist! • Nach 7.1 folgt, dass R=E ist Satz 15: Beim Tetraeder fällt der Eckenschwerpunkt E mit dem Raumschwerpunkt R zusammen. Man bezeichnet diesen Punkt daher kurz als den Schwerpunkt S des Tetraeders. Er ist der Schnittpunkt der vier Schwerlinien.

25. © by Johannes Weckend und Tim Schweisgut, 2003 7.3 Schwerpunkt eines Tetraeders Kantenschwerpunkt K Das Tetraeder wird in das Dreibein [DA][DB][DC] und in das Dreieck ABC zerlegt! Nach Satz 7 wird der Kantenschwerpunkt KABC des Dreiecks ABC bestimmt! Das Dreibein teilt man wiederum in das Zweibein [DA][DB] und die Kante [DC] auf und bestimmt deren Schwerpunkte KAB bzw. C1 Daraus folgt die erste Schwerlinie des Dreibeins, [KABC1] Die beiden anderen Möglichkeiten liefern zwei weitere Schwerlinien, der Schnittpunkt ist der Schwerpunkt KD des Dreibeins! So erhält man eine Schwerlinie des Tetraeders, durch die anderen Aufteilungen erhält man drei weitere Kantenschwerlinien und somit den erwünschten Kantenschwerpunkt K des Tetraeders!

26. © by Johannes Weckend und Tim Schweisgut, 2003 7.4 Schwerpunkt eines Tetraeders Flächenschwerpunkt F Zunächst wird das räumliche Dreibein [DA][DB][DC] betrachtet! Es gibt eine Gerade m, die von den drei Ebenen DAB, DBC, DCA den gleichen Abstand hat, sie wird die Mediane des Raumwinkels bei D genannt! Wie man bei der nebenstehenden Figur sieht, gilt: AMBD =1/3 H AMB =1/3 h ABD BMCD=1/3 H BMC=1/3 h BCD CMAD=1/3 H CMA=1/3 h CAD Daraus folgt der nächste Satz: Satz 16: Die Mediane m von einer Ecke eines Tetraeders ABCD treffe die gegenüberliegende Seitenfläche ABC in einem Punkt M. Dieser Punkt M zerlegt das Dreieck ABC in drei Teildreiecke AMB, BMC, CMA, deren Flächen sich wie die anliegenden Seitenflächen des Tetraeders verhalten.

27. © by Johannes Weckend und Tim Schweisgut, 2003 7.4 Schwerpunkt eines Tetraeders Flächenschwerpunkt F Im Tetraeder seien A1, B1, C1, D1 die Schwerpunkte der den Punkten A,B,C,D gegenüberliegenden Seitenflächen. Das Tetraeder A1B1C1D1 geht durch zentrische Streckung s an S mit dem Streckungsfaktor -1/3 hervor. Deshalb gilt: A1D1B1:B1D1C1:C1D1A1=ADB:BDC:CDA (1) Sei nun m die Mediane durch den Punkt D1 und D0, so gilt nach Satz 16: A1D0B1:B1D0C1:C1D0A1=A1D1B1:B1D1C1:C1D1A1 (2) Nach (1) und (2) folgt: ADB:BDC:CDA= A1D0B1:B1D0C1:C1D0A1 (3) Wir fassen die Massen der Tetraederdreiecke zusammen: |C1|=ADB; |A1|=BDC; |B1|=CDA (4)  |C1|:|A1|:|B1|= A1D0B1:B1D0C1:C1D0A1 Der Flächenschwerpunkt FD des homogen mit Masse belegten „Dreiflachs“ [DAB][DBC][DCA] liegt also in der Ebene des Dreiecks A1B1C1 und ist dessen Eckenschwerpunkt, wenn man sich die Eckpunkte A1,B1,C1 jeweils mit den Massen B1D0C1, C1D0A1, A1D0B1 belegt denkt

28. © by Johannes Weckend und Tim Schweisgut, 2003 7.4 Schwerpunkt eines Tetraeders Flächenschwerpunkt F Nun hilft uns die analytische Geometrie weiter, wir benutzten ein kartesisches Koordinatensystem in der Ebene des Dreiecks A1B1C1 mit dem Ursprung D0. Die Koordinaten der einzelnen Punkte sind: A1(a1|a2); B1(b1|b2); C1(c1|c2); D0(0|0); FD(f1|f2) Für die Teilflächen des Dreiecks erhält man: 2D0B1C1=b1c2-b2c1; 2D0C1A1=c1a2-c2a1; 2D0A1B1=a1b2-a2b1 Und somit folgt für FD: 2 A1B1C1 f1=(b1c2-b2c1) a1+(c1a2-c2a1) b1+(a1b2-a2b1) c1=0 2 A1B1C1 f2=(b1c2-b2c1) a2+(c1a2-c2a1) b2+(a1b2-a2b1) c2=0  f1=f2=0 und somit FD=D0 Satz 17: Seien A1,B1,C1, D1 die Schwerpunkte der den Ecken A, B, C, D gegenüberliegenden Seitenflächen eines Tetraeders ABCD. Der Flächenschwerpunkt FD der Dreiflachs [DAB][DBC][DCA] liegt im Inneren des Dreiecks A1B1C1 und ist der Durchstoßpunkt der Mediane m durch die Ecke D1.

29. © by Johannes Weckend und Tim Schweisgut, 2003 7.4 Schwerpunkt eines Tetraeders Flächenschwerpunkt F Zuerst zerlegt man das Tetraeder in das Dreiflach [DAB][DBC][DCA] und das Dreieck ABC, man erhält deren Schwerpunkte FD bzw. D1. So ergibt sich die erste Schwerlinie [FDD1] des Tetraeders Aus Symmetriegründen müssen auch die anderen drei Medianen durch die Ecken A1, B1, C1 des Schwerpunkttetraeders Schwerlinien sein  Alle vier Medianen schneiden sich im gesuchten Flächenschwerpunkt F Dieser Schnittpunkt der Medianen ist der Mittelpunkt der dem Schwerpunkttetraeder A1B1C1D1 einbeschrieben Kugel. Satz 18: In einem Tetraeder ABCD seien die Seitenflächen homogen mit Masse belegt. Der Flächenschwerpunkt F des Tetraeders ABCD ist der Mittelpunkt der seinem Schwerpunkttetraeder A1,B1,C1, D1 einbeschriebenen Kugel.