Kapitel 2 Euklidische Geometrie

1. Kapitel 2 Euklidische Geometrie

2. Inhalt 2.1 Was ist Geometrie? 2.2 Axiome 2.3 Kongruenzsätze 2.4 Besondere Geraden im Dreieck und ihre Schnittpunkte 2.5 Der Kreis 2.6 Der Satz des Pythagoras 2.7 Die Strahlensätze 2.8 Beweisarten

3. 2.1 Was ist Geometrie? • Geometrie ist die Wissenschaft von dem uns umgebenden Raum. • Geometrie ist das älteste mathematische Teilgebiet. Viele Jahrhunderte lang war Mathematik im wesentlichen Geometrie. Es gab keine Analysis, keine Algebra, keine Stochastik ... • Ägyptern und die Babylonier (ab 3000 v. Chr.): Geometrie ist eine Naturwissenschaft. Man fragte nicht nach logischer Ableitbarkeit, sondern nach Übereinstimmung mit der Realität. Man „wusste” zum Beispiel, wie man rechte Winkel konstruieren konnte, und das reichte.

4. Pythagoras von Samos (ca. 580 v. Chr. - 500 v. Chr.) • Die alten Griechen entdeckten die Macht des Denkens:Man kann durch reines Denken Erkenntnisse erzielen! • Das Denken folgt gewissen Regeln, den Gesetzen der Logik: Wenn die Voraussetzungen eines logischen Schlusses gegeben sind, dann gilt automatisch auch die Folgerung. Die Griechen entdeckten die Logik und damit auch die Möglichkeit der Mathematik. • Im Mittelalter gab es den Ausdruck „more geometrico” („nach geometrischer Art”). Damit wurden Argumentationsketten bezeichnet, die streng logisch aufgebaut waren.

5. Geometrie und Wirklichkeit • Platon (427 v. Chr. - 347 v. Chr.): Es gibt zwei Welten: die Welt der Ideen (die eigentliche Welt) und die Welt der Erscheinungen (die nur ein Abbild (Schatten) der Idealen Welt ist). • Immanuel Kant (1724 - 1804): Geometrie ist ein Produkt unseres Verstandes: „synthetische Urteile a priori”. • David Hilbert (1862 - 1943): Wir definieren nicht, was ein “Punkt” ist; wir legen nur die Spielregeln fest. (Analog zum Schachspiel). “Man muss jederzeit an Stelle von ‘Punkte, Geraden, Ebenen’ ‘Tische, Stühle, Bierseidel’ sagen können.”

6. 2.2. Axiome • Die axiomatische Methode • Die Axiome • Winkel • Kongruenz • Kongruenzsätze • Winkelsummensatz

7. Euklid (ca. 300 v. Chr.) • Die „Elemente“: Eines der Bücher, die die Welt veränderten.Es hat einen kaum vorstellbaren Einfluß auf die Entwicklung der Wissenschaft gehabt.Die Geschichte der Mathematik wäre ohne dieses Buch völlig anders verlaufen. Es ist das mit Abstand wichtigste Mathematikbuch aller Zeiten. • Ziel war es, das damalige mathematische Wissen systematisch zusammenzufassen.

8. Thema der Woche: Euklid • Wer war das? • Wann und wo hat er gelebt? • Was hat er gemacht? • Worin liegt seine Bedeutung? • …?

9. Die axiomatische Methode • Euklid präsentiert sein Material nicht wie eine Datenbank, aus der man die Informationen beliebig abrufen kann, • Es gibt Axiome (über Punkte und Geraden), die allem zugrunde liegen, es gibt Sätze; jeder Satz hat Voraussetzung und Behauptungund muss rein logisch bewiesen werden. Euklid hat einen de-facto Standard geschaffen, der nun fast 2300 Jahre lang die Mathematik definiert hat, und dies tun wird, solange es Mathematik geben wird. • Man nennt dies einen axiomatischen Aufbau der Geometrie.

10. Unsere Axiome • Inzidenzaxiom • Linealaxiom • Axiom von Pasch • Geodreieckaxiom • Kongruenzaxiom • Parallelenaxiom

11. Das Inzidenzaxiom • Es gibtPunkteundGeraden; jede Gerade ist eine Teilmenge der Punktmenge. Durch je zwei verschiedene Punkten P und Q gibt es genau eine Gerade; diese Gerade bezeichnen wir mitPQ. Es gibt drei Punkte, die nicht auf einer gemeinsamen Geraden liegen. • Bemerkung: „Inzidenz“ bezeichnet die Situation, dass ein Punkt auf einer Geraden liegt. Man sagt auch, der Punkt „inzidiert“ mit der Geraden.

12. Folgerungen 1 aus dem Inzidenzaxiom 2.2.1 Folgerung.Es gibt mindestens drei Geraden. Beweis.Nach dem Inzidenzaxiom gibt es drei Punkte, die nicht auf einer gemeinsamen Geraden liegen. Wir nennen sie P, Q und R. Je zwei dieser Punkte bestimmen – ebenfalls nach dem Inzidenz-axiom – eine Gerade. Also gibt es die Geraden PQ, QR und PR. Diese Geraden sind verschieden! Wenn zum Beispiel PQ = QR wäre, so würden auf dieser Geraden sowohl die Punkte P, Q als auch die Punkte Q, R liegen. Also enthielte diese Gerade die Punkte P, Q, R; diese Punkte waren aber genau so gewählt, dass sie nicht auf einer gemeinsamen Geraden liegen. 

13. Folgerung 2 aus dem Inzidenzaxiom 2.2.2 Folgerung.Je zwei verschiedene Geraden schneiden sich in höchstens einem Punkt. Beweis.Angenommen, es gäbe zwei verschiedene Geraden g und h, die (mind.) zwei verschiedene Punkte P und Q gemeinsam haben. Dann wären P und Q zwei verschiedene Punkte, durch die zwei verschiedene Geraden (nämlich g und h) gehen. Dies widerspricht aber dem Inzidenzaxiom; denn durch je zwei verschiedene Punkte geht genau eine Gerade (also insbesondere keine zwei Geraden). 

14. Das Linealaxiom • Je zwei Punkten P, Q ist ihrAbstandPQ zugeordnet; PQ ist eine reelle Zahl mit folgenden Eigenschaften: PQ 0, PQ = 0 genau dann, wenn P = Q ist;PQ = QP,PQPR + RQ(Dreiecksungleichung); Gleichheit gilt genau dann, wenn P, Q, R auf einer gemein-samen Geraden liegen und R „zwischen” P und Q liegt. Jede nichtnegative reelle Zahl kommt als Abstand vor. Bemerkung: Der Name kommt von einem „Lineal mit Skala“.

15. Strecken und Strahlen • Seien A und B zwei verschiedene Punkte. Die Strecke zwischen A und B besteht aus allen Punkten zwischen A und B und den Punkten A und B. Bezeichnung: AB • Bemerkung: Unterscheiden Sie Strecken und Geraden: Eine Strecke hat eine Länge, eine Gerade hat keine Länge. • Seien A und B zwei verschiedene Punkte. Der Strahl mit Anfangspunkt A in Richtung B besteht (1) aus allen Punkten zwischen A und B (2) allen Punkten C, so dass B zwischen A und C liegt und (3) den Punkten A und B. Bezeichnung: AB

16. Dreiecke • Seien A, B, C drei Punkte, die nicht auf einer gemeinsamen Geraden liegen. Dann bezeichnen wir mit DABC das Dreieck mit den Ecken A, B, C und den Seiten AB, BC, CA. • Bemerkung: Die Seiten eines Dreiecks sind Strecken und keine Geraden.

17. Axiom von Pasch • Moritz Pasch (1843-1930, Professor in Gießen) • Ziel: Einteilung der Ebene in zwei „Halbebenen“ (rechts - links, oben - unten usw.). • Axiom von Pasch: Sei DABC ein Dreieck, und sei g eine Gerade, die keine Ecke des Dreiecks enthält. Dann gilt: Wenn g eine Seite des Dreiecks DABC trifft, dann trifft g genau eine weitere Seite von DABC.

18. Wozu dient das Axiom von Pasch? Mit dem Axiom von Pasch kann man vernünftig definieren, wie eine Gerade g die gesamte Ebene in „Halbebenen“ aufteilt: Sei P ein Punkt außerhalb der Geraden g. Man bestimmt zwei Punktmengen H und H‘ auf folgende Weise: H besteht aus allen Punkten Q, so dass die Strecke PQ die Gerade g nicht schneidet. H‘ besteht demgegenüber aus allen Punkten R, so dass die Strecke PR die Gerade g schneidet. Mit Hilfe des Axioms von Pasch kann man beweisen, dass die Mengen H und H‘ unabhängig von der Auswahl des Punktes P sind und alle Eigenschaften von Halbebenen haben.

19. Winkel • Seien R, S und T drei Punkte nicht auf einer Geraden. WinkelRST ist die Vereinigung der Strahlen SR und ST; das heißt: RST = SR  ST. Man nennt S denScheitelund SR und ST dieSchenkeldes Winkels RST. • Inneres eines Winkels: Punkte auf den Strecken, die Punkte auf verschiedenen Schenkeln verbinden. • Bemerkung: Die Punkte R und T, die die Schenkel des Winkels RST andeuten, sind nicht eindeutig bestimmt: Für R kann man jeden Punkt auf dem Schenkel SR wählen.

20. Das Geodreicksaxiom Jedem Winkel RST wird ein Winkelmaß m(RST) zugeordnet. Dies ist eine Zahl zwischen 0° (“Grad”) und 180° (jeweils ausschließlich). Diese Zuordnung hat die folgenden beiden Eigenschaften: (1) Sei g eine Gerade, R und S zwei Punkte auf g, sei H eine Halbebene von g und sei a eine reelle Zahl zwischen 0 und 180. Dann gibt es einen Punkt T in H, so dass der Winkel RST genau das Maß a hat. (2) Sei U ein Punkt im Innern des Winkels RST. Dann ist m(RST) = m(TSU) + m(USR).

21. Winkel < 180° Bemerkung: Der Begriff „Inneres eines Winkels“ ist – so wie wir ihn definiert haben – nur für Winkel vom Maß < 180° sinnvoll. Deshalb bezieht sich das Geodreiecksaxiom auch nur auf Winkel, deren Maß größer als 0° und kleiner als 180° ist. Alles, was wir über größere Winkel wissen müssen, ergibt sich später automatisch.

22. Kongruenz von Strecken und Winkeln Zwei Strecken heißenkongruent, wenn sie gleich lang sind. Zwei Winkel heißenkongruent, wenn sie das gleiche Maß haben. Zum Beispiel sind alle Winkel vom Maß 30° kongruent. Definition. Zwei Dreiecke DABC und DA’B’C’ heißenkongruent, (Schreibweise DABC DA’B’C’), falls folgende Aussagen gelten: AB = A’B’, BC = B’C’, CA = C’A’ und m(A) = m(A’), m(B) = m(B’), m(C) = m(C’).

23. Was ist ein Kongruenzsatz? • In einem Kongruenzsatz versucht man, aus drei der obigen Gleichungen die anderen drei zu erschließen. Kongruenzsätze werden abgekürzt: SWS, WSW, SSS, ... • Beispiel: SWS: SeienDABC undDA’B’C’ Dreiecke. WennAB = A’B’und m(B) = m(B’) undBC = B’C’gilt, so sind die beiden Dreiecke kongruent. Das bedeutet, dass dann auch m(A) = m(A’) undAC = A’C’ und m(C) = m(C’) gilt. Kurz: Wenn zwei Dreiecke in zwei Seiten und dem eingeschlos-senen Winkel „übereinstimmen”, dann sind sie kongruent.

24. Das Kongruenzaxiom • Es gilt der Kongruenzsatz SWS. • Bemerkung. Wenn man Geometrie nur aufgrund der bisherigen fünf Axiome betreibt, kommt man zur „absoluten” Geometrie; darin ist sowohl die euklidische als auch die nichteuklidische Geometrie enthalten. Wir kommen zur euklidischen Geometrie, wenn wir noch das Parallelenaxiom fordern.

25. Das Parallelenaxiom • Definition. Wir nennen zwei Geraden parallel, wenn sie keinen Punkt gemeinsam haben oder gleich sind. • Zu jedem Punkt P und jeder Geraden g mit P g gibt es genau eine Gerade h durch P, die parallel zu g ist. • Bemerkung. Man kann alle Aussagen der euklidischen Geometrie der Ebene aus diesen sechs Axiomen logisch ableiten! Für einige werden wir das im folgenden tun.

26. Nebenwinkel, Scheitelwinkel, Wechselwinkel • Seien g und h Geraden, die sich in einem Punkt S schneiden. Seien R, R’ Punkte auf g und T, T’ Punkte auf h, so dass S sowohl zwischen R und R’ also auch zwischen T und T’ liegt.Dann heißen die Winkel RST und RST’Nebenwinkel. Die Winkel RST und R’ST’ werdenScheitelwinkelgenannt. • Seien g und g’ parallele Geraden, die von einer Geraden h in den Punkten S bzw. S’ geschnitten werden. Sei T ein Punkt auf g und T’, T“ Punkte auf g’, so dass T und T’ auf verschiedenen Seiten, aber T und T“ auf der gleichen Seite von h liegen.Dann heißen die Winkel TSS’ und SS’T‘ Wechselwinkel und die Winkel TSS‘ und T“S‘S“ Stufenwinkel. (Dabei ist S“ …).

27. Satz über Nebenwinkel, Scheitelwinkel, Wechselwinkel 2.2.3 Satz.(a) Die Summe der Maße von Nebenwinkeln ist 180°. Kurz: Nebenwinkel ergänzen sich zu 180°. (b) Scheitelwinkel sind gleich groß. (c) Wechselwinkel und Stufenwinkel sind jeweils gleich groß. Beweis.(a)Seien die Bezeichnungen wie in der Definition. Sei x = m(RST) und y = m(RST’). Zu zeigen: x + y = 180°. Angenommen, x + y < 180°. Dann wäre TST’ ein Winkel mit Maß < 180°: Widerspruch, da T, S, T‘ auf einer Geraden liegen. Angenommen, x + y > 180°: Man erhält auf ähnliche Weise einen Widerspruch.

28. Beweis (b), (c) (b) Wir verwenden wieder die Bezeichnungen aus der Definition. Die Paare RST und RST’, sowie RST‘ und T‘SR’ sind Nebenwinkel. Also gilt m(T‘SR’) = 180° – m(RST‘) = 180° – (180° – m(RST)) = m(RST). (c) (etwas schwieriger …). 

29. Winkelsummensatz 2.2.4 Satz.Die Summe der Maße der (Innen-) Winkel eines Dreiecks ist gleich 180°. Kurz: Die Winkelsumme im Dreieck ist 180°. Beweis.Sei DABC ein Dreieck. Sei g die Parallele durch C zu AB. Seien D und E Punkte  C auf g, wobei D „links” und E „rechts” liegt.

30. Winkelsummensatz: Beweisdetails A und ACD, B und BCE sind Wechselwinkel; daher haben sie nach 2.2.3 das gleiche Maß. Mit dem Geodreicksaxiom folgt: m(DCB) = m(DCA) + m(C) DCB und BCE Nebenwinkel, also m(DCB) + m(BCE) = 180°. Zusammen folgt 180° = m(DCB) + m(BCE) = m(DCA) + m(C) + m(BCE) = m(A) + m(C) + m(B). Somit ist m(A) + m(C) + m(B) = 180°. 

31. Konstruktion von Parallelen I 2.2.5 Satz (Konstruktion von Parallelen). Seien g und g‘ Geraden, die eine dritte Gerade so schneiden, dass die Innenwinkel zusammen genau 180° ergeben. Dann sind g und g‘ parallel. Beweis.Sei h die Gerade, die von g und g‘ geschnitten wird; seien die Schnittpunkte A und A‘. Angenommen, g und g‘ würden sich in einem Punkt schneiden B schneiden. Dann wäre DAA‘B ein Dreieck, dessen Winkelsumme größer als 180° ist: ein Widerspruch. 

32. Eindeutigkeit von Parallelen 2.2.6 Satz (Eindeutigkeit von Parallelen). Seien g und g‘ Gera-den, die eine dritte Gerade so schneiden. Wenn g und g‘ parallel sind, so ist die Summe der Innenwinkel zusammen genau 180°. Beweis.Sei h die Gerade, die von g und g‘ geschnitten wird; seien die Schnittpunkte A und A‘. Angenommen die Summe der Innenwinkel wäre verschieden von 180°. Dann gäbe es ein von g‘ verschiedene Gerade g‘‘ durch A‘, so dass die Summe der Innenwinkel von g und g‘‘ gleich 180° ist. Nach 2.2.5 wäre auch g‘‘ eine Parallele zu g durch A‘. Also gäbe es zwei Parallelen zu g durch A‘: ein Widerspruch! 

33. Konstruktion von Parallelen II Wir nennen zwei Geradensenkrecht, wenn sie sich schneiden und einen Winkel von 90° einschließen. Wenn g senkrecht auf h steht, nennt man h auch ein Lot auf g. 2.2.7 Satz.(a) Wenn zwei Geraden senkrecht auf einer dritten stehen, dann sind sie parallel.(b) Sei P ein Punkt außerhalb einer Geraden g. Man kann die Parallele h zu g durch P wie folgt konstruieren: Fälle das Lot l von P auf g und errichtet dann das Lot h in P auf l. Beweis.(a) Spezialfall von 2.2.4.(b) Dies ist nur eine explizite Form von (a). 

34. 2.3 Kongruenzsätze • Basiswinkelsatz • Außenwinkelsatz • WSW • SWW • SSS • SsW • Mittellotsatz

35. Basiswinkelsatz 2.3.1 Basiswinkelsatz. SeiDABC ein Dreieck. Wenn die Seiten AC und BC kongruent sind, dann sind auch die WinkelA undB kongruent.Kurz: Ein gleichschenkliges Dreieck hat gleich große Basiswinkel. Beweis.(Achtung: kurz und trickreich!) Wegen CA = CB, ACB BCA und CB = CAfolgt mit SWS, dass DACB DBCA gilt. Aus der Kongruenz von DACB und DBCA folgt: CAB CBA. 

36. Außenwinkelsatz Sei DABC ein Dreieck, und sei D ein Punkt, so dass B zwischen A und D liegt. Dann heißt der Winkel CBD ein Außenwinkel des Dreiecks DABC; die Winkel A und C heißen die gegenüberliegenden Innenwinkel des Dreiecks DACB 2.3.2 Außenwinkelsatz.Das Maß eines Außenwinkel eines Dreiecks ist gleich der Summe der Maße seiner gegenüber-liegenden Innenwinkel.Insbesondere ist jeder Außenwinkel größer als jeder gegenüber-liegende Innenwinkel

37. Beweis des Außenwinkelsatzes Beweis.Sei DABC ein Dreieck, und sei D ein Punkt mit A - B - D. Wir müssen zeigen, dass m(CBD) = m(A) + m(C) ist. Da CBD und ABC Nebenwinkel sind, gilt m(CBD) + m(B) = 180°. Aus dem Winkelsummensatz folgt m(A) + m(B) + m(C) = 180°. Zusammen ergibt sich: m(CBD) = 180° – m(B) = 180° – (180° – m(A) – m(C)) = m(A) + m(C). 

38. WSW 2.3.3 Satz.Es gilt der Kongruenzsatz WSW. Zusatz: Seien a und b zwei Zahlen zwischen 0 und 180 mit a+b < 180, und sei c eine positive reelle Zahl. Dann gibt es ein Dreieck DABC mit m(A) = a, m(A) = b und AB = c. Alle solchen Dreiecke sind kongruent. Beweis.Seien DABC und DA'B'C' Dreiecke mit A A', AB = A'B' und B B'. Wir müssen zeigen: DABC DA‘B‘C‘. 1. Fall:BC = B'C'. Dann sind die Dreiecke kongruent nach SWS.

39. Beweis WSW (2. Fall) 2. Fall:BCB'C'. Wir müssen daraus einen Widerspruch ableiten. Wir können o.B.d.A. BC > B'C' annehmen. Dann gibt es auf BC einen Punkt C* mit BC* = B'C'. Also gilt nach SWS DABC* DA'B'C'. Insbesondere ist C*AB = C'A'B'. Da aber C* im Innern des Winkels A liegt, ist nach dem Geodreiecksaxiom C*AB < CAB.Zusammen folgt A' = C'A'B' = C*AB < CAB = A, ein Widerspruch! 

40. SWW 2.3.4 Satz.Es gilt der Kongruenzsatz SWW. Zusatz: Sei c eine positive reelle Zahl, und seien b und g zwei Zahlen zwischen 0 und 180 mit b+g < 180. Dann gibt es ein Dreieck DABC mit AB = c, m(B) = b und m(C) = g. Alle solchen Dreiecke sind kongruent. Beweis 1 (rechnerisch).Da b und g bekannt sind, kann man mit dem Winkelsummensatz auch a ausrechen. Dann wendet man WSW an.

41. SWW: Beweis Beweis 2 (geometrisch).Seien DABC und DA'B'C' Dreiecke mit AB = A'B', B B' und C C'. 1. Fall:BC = B'C'. Dann sind die Dreiecke kongruent (SWS). 2. Fall: BCB'C', o.B.d.A. BC > B'C'.Dann gibt es auf BC einen Punkt C* mit BC* = B'C'. Nach SWS gilt DABC* DA'B'C'.Insbesondere ist m(AC*B) = m(A'C'B‘) = m(ACB) (nach Vor.). Dann wäre der Außenwinkel AC*B von DAC*C so groß wie der gegenüberliegende Innenwinkel ACC* (= ACB): Widerspruch! 

42. SSS 2.3.5 Satz.Es gilt der Kongruenzsatz SSS. Zusatz: Seien a, b, c positive reelle Zahlen mit a + b > c, a + c > b, b + c > a. Dann gibt es ein Dreieck DABC mit BC = a, AC = b und AB = c. Alle solchen Dreiecke sind kongruent. Beweis.Seien DABC und DA'B'C' Dreiecke mit AB = A'B', BC = B'C' und CA = C'A'. Es gibt einen eindeutigen Punkt C* mit folgenden Eigenschaften: C und C* liegen auf verschiedenen Seiten von AB,ABC* A’B’C’, BC* = B’C’. Dann gilt DABC* DA’B’C’ nach SWS.

43. SSS: Beweis, Teil 2 Wir werden zeigen, dass DABC* DABC gilt. Dann folgt DABC DA’B’C’. Aus DABC* DA’B’C’ folgt aufgrund der Voraussetzung: AC = A‘C‘ = AC* und BC = B‘C‘ = BC‘. Wir betrachten wir den Schnittpunkt S von CC* mit AB. Also sind DCAC* und DCBC* gleichschenklig. Also folgt mit Basis-winkelsatz: m(ACS) = m(AC*S) und m(BCS) = m(BC*S). Also ist m(ACB) = m(ACS) + m(BCS) = m(AC*S) + m(BC*S) = m(AC*B). Damit ergibt sich DABC DABC* wegen SWS. 

44. SsW 2.3.6 Satz.Es gilt der Kongruenzsatz SsW. Das bedeutet: Seien DABC und DA'B'C' Dreiecke mit AB = A'B', BC = B‘C' und C C'. Wenn AB > BC ist, dann gilt DABC DA'B'C‘. Zusatz: Seien c und a positive reelle Zahlen mit c > a, und sei g eine Zahl zwischen 0 und 180. Dann gibt es ein Dreieck DABC mit AB = c, BC = a und m(C) = g. Alle solchen Dreiecke sind kongruent.

45. Ein Hilfssatz Hilfssatz zum Beweis von SsW. Im Dreieck liegt der längeren Seite der größere Winkel gegenüber und umgekehrt. Beweis. Hausaufgabe 2, Übungsblatt 7

46.  Beweis zu SsW, Teil 1 Beweis zu SsW. Seien DABC und DA‘B‘C‘ Dreiecke mit AB = A‘B‘, BC = B‘C‘ und  C  C‘. Sei außerdem AB > BC. Indirekter Beweis: Wir nehmen an, dass DABC nicht kongruent zu DA‘B‘C‘ ist und zeigen, dass dann AB < BC folgt. Annahme: DABC DA‘B‘C‘. Dann gilt AC A‘C‘ wegen SSS.

47. Beweis von SsW, Teil 2 • Fall: AC > A‘C‘. Dann gibt es einen Punkt A* auf der Geraden AC, für den A*C = A‘C‘ gilt. Nach SWS gilt DA*BC  DA‘B‘C‘ und damit ist A*B = A‘B‘ = AB. Daher ist DABA* gleichschenklig, und also ist m( AA*B) < 90°. Daher gilt m( BA*C) > 90°, und nach dem Hilfssatz zu SsW gilt BC > A*B = AB. Widerspruch! 2. Fall: AC < A‘C‘. Diesen Fall führt man wie in Fall1 zu einem Widerspruch, indem man AC und A‘C‘ vertauscht. 

48. Senkrechte Geraden. Lote Definitionen. Zwei Geraden stehen senkrecht aufeinander, wenn sie sich schneiden und einen Winkel vom Maß 90° einschließen. Wenn die Geraden g und h senkrecht aufeinander stehen, so nennt man h auch eine Senkrechte zu g. Wenn P ein Punkt von h ist, so heißt h auch das Lot von P auf g.Der Schnittpunkt von g und h heißtFußpunktdes Lots. 2.3.7 Satz.Sei P ein Punkt und g eine Gerade. Dann gibt es genau ein Lot von P auf g.

49. Beweis des Satzes über Lote Beweis. 1. Fall:P liegt auf g. Dann folgt die Aussage direkt aus dem Geodreiecksaxiom. 2. Fall: P liegt nicht auf g. Betrachte beliebige Punkte A und B auf g. Es gibt einen Punkt P’ mit folgenden EigenschaftenP und P’ liegen auf verschiedenen Seiten (Halbebenen) von g. m(BAP) = m(BAP’)AP = AP’. Sei S der Schnittpunkt von PP’ mit g. Falls S = A ist, so sind BSP und BSP’ kongruente Wechselwinkel, also sind beide rechte Winkel.

50. Beweis des Satzes über Lote – Fortsetzung Sei S  A. (a) Existenz eines Lotes:DSAP  DSAP’ (SWS). Also folgt m(PSA) = m(P’SA). Da sie Nebenwinkel sind, müssen beide rechte Winkel sein. Also steht PS senkrecht auf g.(b) Eindeutigkeit: Angenommen, es gäbe einen Punkt T  S auf g, so dass auch PT auf g senkrecht steht. Sei R ein Punkt, so dass T zwischen S und R liegt. Dann ist PTR Außenwinkel des Dreiecks DPST mit gegenüber-liegendem Innenwinkel PST. Also hätte der Außenwinkel das gleiche Maß wie ein gegenüberliegender Innenwinkel: Widerspruch.