Técnicas de conteo

1. Principio fundamental del conteo. Si un evento puede realizarse de n1 maneras diferentes y si después de efectuarlas, un segundo evento puede realizarse de n2 maneras diferentes y si después de efectuarlas un tercer evento puede realizarse de n3 maneras diferentes y así sucesivamente, entonces el número de maneras en que los eventos pueden realizarse en orden indicado es el producto Técnicas de conteo n1 • n2 • n3

2. Notación factorial: El producto de los enteros positivos desde 1 hasta n, se emplea con mucha frecuencia en matemáticas y lo denotamos por el símbolo n! (que se lee n factorial) n! = 1 ∙ 2 ∙ 3 ∙ … (n-2)(n-1)n Se define 0! = 1 1!= 1 Ejemplos: 2! = 1 ∙ 2 = 2 3! = 1 ∙ 2 ∙ 3 = 6 4! = 1 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 4 = 24 5! = 1 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 4 ∙ 5 = 120 6! = 1 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 4 ∙ 5 ∙ 6 = 720 7! = 1 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 4 ∙ 5 ∙ 6 ∙7 = 5 040 8! = 1 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 4 ∙ 5 ∙ 6 ∙7 ∙ 8 = 40 320 9! = 1 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 4 ∙ 5 ∙ 6 ∙7 ∙ 8 ∙ 9 = 362 880 10! = 1 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 4 ∙ 5 ∙ 6 ∙7 ∙ 8 ∙ 9 ∙ 10 = 3 628 800

3. Combinaciones y Permutaciones Normalmente usamos la palabra "combinación" descuidadamente, sin pensar en si el orden de las cosas es importante. "Mi ensalada de frutas es una combinación de manzanas, uvas y bananas": no importa en qué orden pusimos las frutas, podría ser "bananas, uvas y manzanas" o "uvas, manzanas y bananas", es la misma ensalada.

4. "La combinación de la cerradura es 472": ahora sí importa el orden. "724" no funcionaría, ni "247". Tiene que ser exactamente 4-7-2. Si el orden no importa, es una combinación. Si el orden sí importa es una permutación. En permutaciones hay 2 tipos: Se permite repetir: como la cerradura de arriba, podría ser "333". Sin repetición: por ejemplo los tres primeros en una carrera. No puedes quedar primero y segundo a la vez.

5. Permutaciones Una ordenación de un conjunto de n objetos en un orden dado se llama una permutación de los objetos (tomados todos a la vez). Ejemplo: Consideremos el conjunto de letras { a, b, c, d } a) abcd, bacd, cbad, dcba son permutaciones de las 4 letras tomadas todas a la vez b) abc, bac, cab, cbd son permutaciones de las 4 letras tomadas 3 a la vez c) ab, ba, bc, bd son permutaciones de las 4 letras tomadas 2 a la vez

6. El número de permutaciones de n objetos tomados r a la vez se denota por: P(n,r) Antes de deducir la formula general, consideremos un caso especial. Ejemplo: Hallar el número de permutaciones de 6 objetos a, b, c, d, e, f tomados 3 a la vez En otras palabras , hallar el número de palabras de tres letras diferentes que pueden formarse con 6 letras.

7. Representamos las palabras de 3 letras por tres cajas 6 La primera letra puede escogerse de 6 formas diferentes, la segunda letra se puede escoger de 5 formas diferentes, la tercera letra se puede escoger de 4 formas diferentes 5 4 6 Por el principio fundamental del conteo hay 6∙5∙4 = 120 posibles palabras de tres letras sin repetición , o hay 120 permutaciones de 6 objetos tomados 3 a la vez al mismo tiempo, esto es:

8. En el caso de r = n tenemos P(n,n) = n(n-1)(n-2) … 3∙2∙1 = n!