The creation of the calculus

1. تاریخ علم ریاضی دکتر مجتبی آقایی ساخت حساب دیفرانسیل و انتگرال The creation of the calculus کیوان شیخان – علی فاطمی – محمدرضا رستگاری

3. در پی تلاشهایی که برای پیدا کردن مفهوم تابع انجام گرفت حساب دیفرانسیل و انتگرال به وجود آمد. این بزرگترین یافته بشر در تمام طول تاریخ بوده است. تا حدی به مسائلی که توسط یونانیان مطرح شده بود پاسخ داد. حساب دیفرانسیل و انتگرال مقدماتی برای مسائل بزرگ قرن 17 طراحی شد. ساخت حساب دیفرانسیل و انتگرال

4. در آن زمان (قرن 17) چهار مسئله مهم وجود داشت:

5. پیدا کردن فرمولی برای جابه‌جایی یک جسم به عنوان تابعی از زمان • یافتن سرعت و شتاب لحظه‌ای • از فرمول شتاب یک جسم به عنوان تابعی از زمان بتوان سرعت و جابه‌جایی آن جسم را به دست آورد. • این مسئله مستقیماً به مطالعه حرکت برمی‌گردد و وقتی دشوار می‌شود که سرعت و شتاب هر دو متغیر با زمان باشند. • در محاسبه سرعت لحظه‌ای در یک لحظه مشخص هم جابه‌جایی و هم زمان صفر هستند و 0/0 بی معناست در حالی که واضح است که هر جسم متحرک دارای سرعت است. • یافتن جابه‌جایی وقتی که سرعت لحظه‌ای را داشته‌ باشیم. مسئله اول:

6. اگرچه مفهوم مماس به عنوان خطی که منحنی را تنها در یک نقطه قطع کند و در یک سمت منحنی قرار می‌گیرد توسط یونانیها مطرح شده بود اما این تعریف در منحنی‌های پیچیده‌تری که در قرن 17 استفاده می‌شد قابل استفاده نبود. • یافتن مماس بر منحنی از دو نظر اهمیت دارد: • از مسائل هندسه محض است. • از نظر عملی کاربرد فراوان دارد. مسئله دوم (یافتن مماس بر منحنی):

7. کاربرد اول (طراحی لنز): • اپتیک از مسائل مهم قرن 17 بود. طراحی لنز از علایق فرما، دکارت، هویگینز و نیوتن بود. مسئله دوم: با یافتن مماس برمنحنی عمود هم پیدا می شود.

8. کاربرد دوم (مطالعه مسیر حرکت): • جهت حرکت در طول مسیر در هر لحظه بر مسیر مماس است. مسئله دوم:

9. پیدا کردن حداکثر برد پرتابه • برد به زاویه پرتابه بستگی دارد. • در ابتدای قرن 17 گالیله دریافت که ماکزیمم برد پرتابه در خلأ در زاویه 45 درجه رخ می‌دهد. • پیدا کردن حداکثر و حداقل فاصله سیاره‌ها از خورشید مسئله سوم :

10. مسافت طی شده توسط سیاره در یک محدوده زمانی مشخص مساحت محصور توسط چند منحنی حجم محصور توسط چند سطح یافتن مرکز ثقل اجسام یافتن نیروی گرانش بین اجسام مسئله چهارم :

11. حساب دیفرانسیل و انتگرال در اوایل قرن 17

12. در اوایل قرن 17 دانشمندان زیادی روی حساب دیفرانسیل و انتگرال کار کردند. حد نهایی موفقیت این دانشمندان در کارهای نیوتن و لایبنیز خلاصه می شود. • روبروال (Roberval) در کتاب Traite des indivisiblesروش ارشمیدس را در پیدا کردن منحنی مارپیچ ارشمیدس تعمیم داد. همانند ارشمیدس روبروال یک منحنی را به عنوان مکان هندسی یک نقطه متحرک که تحت تاثیر دو سرعت یکی در راستای افقی و دیگری در راستای قائم است در نظر گرفت. حساب دیفرانسیل و انتگرال در اوایل قرن 17

13. روبروال راستای PMرا به عنوان مماس بر منحنی در نقطه Pدر نظرگرفت. حساب دیفرانسیل و انتگرال در اوایل قرن 17

14. تریسلی (Torricelli) از روش روبروال برای به دست آوردن مماس بر منحنی‌هایی که معادلات آنها به فرم است استفاده کرد. هنگامی که تریسلی روش روبروال را ادامه می داد از این قانون استفاده کرد که سرعتهای افقی و عمودی مستقل از یکدیگر عمل می کنند. این قانون توسط گالیله اثبات شده است. حساب دیفرانسیل و انتگرال در اوایل قرن 17

15. روش فرما (Fermat) در سال 1629 ساخته و در سال 1637 در دست نوشته ای با عنوان Methodus ad Disquiredam Maximam et Minimam(روشهای پیدا کردن مقدار ماکزیمم و مینیمم) پیدا شد. حساب دیفرانسیل و انتگرال در اوایل قرن 17

16. TPرا به عنوان مماس بر منحنی در نقطه Pدر نظر می گیریم. طول TQرا Subtangentمی نامیم. روش فرما راهی برای پیدا کردن طول TQاست. در صورتی که مکان Tرا بدانیم می‌توان مماس TPرا رسم کرد. حساب دیفرانسیل و انتگرال در اوایل قرن 17

17. اگر QQ1را نمو TQبه اندازه Eدر نظر بگیریم مثلثهای TQPو PRT1متشابه اند. لذا : اما فرما RT1را تقریباً مساوی RP1 در نظر گرفت: حساب دیفرانسیل و انتگرال در اوایل قرن 17

18. PQدر نامگذاری مدرن F(x) نامیده می شود: • به سادگی واضح است که می توان صورت و مخرج را بر E تقسیم کرد. فرما در ادامه با حذف E توانست TQ را بدست آورد. حساب دیفرانسیل و انتگرال در اوایل قرن 17

19. با اضافه کردن تئوری حد به روش فرما به فرم استاندارد محاسبه مشتق در حال حاضر می رسیم. • پیدا کردن مماس بر منحنی برای دکارت هم مهم بود زیرا او را قادر می ساخت خصوصیات منحنی (به عنوان مثال زاویه تقاطع دو منحنی) را بدست آورد. • دکارت روش خود را در جلد دوم کتاب La Géométrie بیان کرد. این کتاب جبر خالص بود و شامل هیچ مفهومی از حد نبود. حساب دیفرانسیل و انتگرال در اوایل قرن 17

20. مقایسه روش فرما و دکارت : • در حقیقت روش دکارت مشابه روش فرما است با این تفاوت که روش دکارت به شدت فرمول بندی شده است. • روش دکارت تنها برای معادلات به فرم y=f(x)که f(x)یک چندجمله‌ای ساده است مفید بود. • هرچند روش فرما عمومیت داشت اما دکارت تصور می کرد روش او بهتر است. • دکارت مدعی بود حذف کردن پارامتر E در روش فرما توجیه ریاضی ندارد. • فرما هم مدعی بود روش او بهتر است و حذف نمو کوچک E مزایای زیادی دارد. حساب دیفرانسیل و انتگرال در اوایل قرن 17

21. ایزاک بارو (Isaac Barrow): • استاد ریاضی دانشگاه کمبریج بود. • برخی کارهای اقلیدس را ترجمه کرده است. • چندی از ترجمه های کارهای اقلیدس، آپولونیوس و تئودوسیوس را بهبود داده است. • در محاسبه مماس بر منحنی یک روش هندسی دارد که او را مجبور به استفاده از منحنیهای کمکی کرد. حساب دیفرانسیل و انتگرال در اوایل قرن 17

22. او با مثلث PRQشروع کرد که در نتیجه نمو PRاست. با استفاده از این حقیقت که: • بارو در ادامه بیان می کند که کمان PP‘خیلی کوچک است و می توان آن را با پاره خط PQمعادل دانست. حساب دیفرانسیل و انتگرال در اوایل قرن 17

23. او از معادله استفاده کرد. • xرا با x+eو y را با y+a جایگزین کرد. • سپس از توانهای بالاتر a و eصرفه نظر کرد. حساب دیفرانسیل و انتگرال در اوایل قرن 17

24. از شکل داریم : از آنجایی که PMبرابر y است او توانست NM (subtangent) را محاسبه و مکان N را پیدا کند. حساب دیفرانسیل و انتگرال در اوایل قرن 17

25. پیدا کردن ماکزیمم و می نیمم توابع

26. گفته می شود پیدا کردن ماکزیمم و مینیمم توابع با مشاهدات کپلر آغاز شد. • او در کتاب StereometriaDoliorumدر سال 1615 نشان داد که از بین همه متوازی السطوحها با پایه مربع که در یک کره محاط هستند مکعب بزرگترین است. • روش او محاسبه حجم برای انتخاب خاصی از ابعاد بود. • این روش به خودی خود مهم نیست اما او به حجم ماکزیمم دست یافت و بیان کرد تغییر حجم برای میزان ثابت تغییر در ابعاد به مرور کوچکتر و کوچکتر می‌شود. پیدا کردن ماکزیمم و می نیمم توابع

27. فرما در کتاب Methodus ad Disquirendamروشش را ارائه داد. روش او نشان دهنده مثال زیر است: • یک پاره خط در نظر می گیریم. می خواهیم نقطه او روی آن انتخاب کنیم که مستطیلی که از دو قطعه خط بدست می آید حداکثر شود. پیدا کردن ماکزیمم و می نیمم توابع

28. سپس او A را با A+E جایگزین کرد. بنابراین قسمت دوم B-A+E خواهد شد: • او دلیل آورد که در ماکزیمم مقدار دو تابع (دو مساحت) باید برابر باشند. لذا با مساوی قرار دادن دو مساحت داریم: • او E را مساوی صفر قرار داد. بنابراین مستطیل ماکزیمم یک مربع است. پیدا کردن ماکزیمم و می نیمم توابع

29. روشی که فرما بیان کرد کاملاً عمومی بود. وی آن را به صورت زیر شرح داد: • اگر A یک متغیر مستقل باشد. اگرA به A+E افزایش یابد و مقدارE بینهایت کوچک باشد، وقتی تابع از ماکزیمم یا مینیمم می گذرد، مقادیر دو تابع برابرند. بنابراین این دو مقدار را مساوی قرار می دهیم و معادله را برE تقسیم می کنیم. در نهایت E را حذف می کنیم. • فرما لازم ندید در نظر گرفتن مقدار ناصفرE، تقسیم کردن بر آن و درنهایت صفر قرار دادن آن را توجیه کند. پیدا کردن ماکزیمم و می نیمم توابع

30. پیدا کردن مساحت ، حجم ، مرکز جرم و طول منحنی

31. پیدا کردن مساحت ، حجم ، مرکز جرم ، طول منحنی در قرن 17 با کپلر شروع شد . • او به مسئله حجم بسیار علاقه نشان می داد زیرا معتقد بود که روش هایی که دلالان شراب برای پیدا کردن بطری ها بکار می بردند بی دقت است. • از کارهای او میتوان به پیدا کردن مساحت دایره و حجم کره اشاره کرد . • برای محاسبه مساحت دایره او ابتدا دایره را به بی نهایت مثلث افراز کرد که راس همگی آنها در مرکز و قاعده آنها روی محیط قرار داشت سپس با استفاده از مساحت چند ضلعی های محاط شده نشان داد که مساحت دایره برابر نصف شعاع ضرب در محیط است پیدا کردن مساحت ، حجم ، مرکز جرم و طول منحنی

32. او بیان کرد که حجم کره برابر مجموع حجم های مخروط های کوچکی است که رأس آنها در مرکز کره و قاعده آنها روی سطح کره قرار داد با این روند او نشان داد که حجم کره برابر 1/3 شعاع ضرب در مساحت آن است . ماهیت روش کپلر را در تشخیص مساحت و حجم جمع تعداد نامحدودی از المان ها با بعد مشابه تشکیل می دهد . در کتاب Two new sciences گالیله در مبحث حرکت شتاب ثابت مساحت را به روش کپلر بدست آورد او با استدلال نشان داد که مساحت زیر منحنی سرعت زمان برابر جابه جایی است . پیدا کردن مساحت ، حجم ، مرکز جرم و طول منحنی

33. فرض کنیم یک جسم با سرعت متغیر v=32tحرکت کند . • جابجایی جسم در زمان OA برابر مساحت مثلث OAD است .گالیله A'B' را به عنوان یک جابجایی بی نهایت کوچک در نظر گرفت . سپس اثبات کرد که مساحت OAB از خط های A'B' ساخته می شود . بنابراین مساحت OABبرابر کل جابجایی است . پیدا کردن مساحت ، حجم ، مرکز جرم و طول منحنی

34. دلیل گالیله برای اینکه مثلث OABاز بی نهایت واحد غیر قابل تقسیم مانند A’B’ ساخته شده است واضح نبود. این موضوع در ذهن گالیله توسط ملاحظات فلسفی توجیه می شد . • گالیله مدت زیادی برای حل موضوع صرف کرد اما نتوانست آن را حل کند. پیدا کردن مساحت ، حجم ، مرکز جرم و طول منحنی

35. کاوالیری (Bonaventura Cavalieri) ( 1647- 1598) شاگرد گالیله و استاد دانشگاه بلونیای ایتالیا بود .او توسط کپلر و گالیله تحت تأثیر قرار گرفت و آنها او را به بررسی مسائل حساب دیفرانسیل و انتگرال برانگیختند. • کاوالیری تفکرات گالیله و سایرین را در مورد غیر قابل تقسیم ها در روش های هندسی توسعه داد و کتابی در این مورد با نامGeometriaIndivisibilibusContinurum Nova quadamRotionePromotoنوشت . • او مساحت را تشکیل شده از تعداد نامتناهی پاره خط موازی دارای مسافت مساوی (بخش غیر قابل تقسیم مساحت) و حجم را تشکیل شده از تعداد نامتناهی صفحه موازی (بخش غیرقابل تقسیم حجم) در نظر گرفت. پیدا کردن مساحت ، حجم ، مرکز جرم و طول منحنی

36. کاوالیری تشخیص داد که تعداد بخش های غیر قابل تقسیم که مساحت یا حجم را شکل می دهند باید بی نهایت باشند اما تلاشی برای شرح دادن آن نکرد. او بیان کرد: یک خط مانند یه رشته از مهره از نقاط تشکیل شده، صفحه مانند نخهای یک پارچه از خطها تشکیل شده و جسم مانند ورق های یک کتاب از صفحه ها تشکیل شده است، با این تفاوت که تعداد المان ها در خط ،صفحه وجسم بی نهایت است. پیدا کردن مساحت ، حجم ، مرکز جرم و طول منحنی

37. اصل کاوالیری: • مساحت متوازی الاضلاع ABCDدو برابر مساحت هر یک از مثلث های ABDو BCDاست وی اثبات کرد که: GD = BE,GH= FE • بنابراین مثلث های BCD, ABDاز تعداد برابر خط هم اندازه همانند EF,GHتشکیل شده اند. لذا دارای مساحت های برابر می باشند. پیدا کردن مساحت ، حجم ، مرکز جرم و طول منحنی

38. اصل کاوالیری در مورد حجم: • کاوالیری اصل مشابهی در مورد حجم دارد که در کتابهای هندسی سه بعدی به قضیه کاوالیری شهرت دارد، این اصل بیان می کند که اگر دو جسم دارای ارتفاع برابر باشند و اگر مقطع ایجاد شده که بوسیله صفحات موازی با پایة و در فاصله مساوی از پایه دارای یک نسبت ثابت باشند آنگاه حجم آنها دارای همین نسبت است. • با استفاده از این اصل کاوالیری اثبات کرد که حجم مخروط محدود در یک استوانه یک سوم حجم استوانه است. • او همچنین مساخت زیر دو منحنی که در نمایش کنونی به صورت y=g(x) وy=f(x)نشان داده می شوند را در یک بازه مشابه از x مورد بررسی قرار داد. مساحت را جمع عرض ها در نظر گرفت. اگر عرض یکی از دو منحنی نسبتی از دیگری باشد، مساحت آن دو نیز دارای همین نسبت است. پیدا کردن مساحت ، حجم ، مرکز جرم و طول منحنی

39. او با این روش در Centrio di varii problemiنشان داد: غیر قابل تقسیم های کاوالیری توسط معاصرانش مورد انتقاد قرار می گرفت کاوالیری تلاش می کرد که به آنها پاسخ دهد اما نتوانست به طور دقیق دلیل آورد. او بارها ادعا کرد که روش او یک وسیله عملی در برابر روش های قدیمی است. با این وجود عده زیادی از ریاضی دانان از روش او ایراد می گرفتند. پیدا کردن مساحت ، حجم ، مرکز جرم و طول منحنی

40. سایر ریاضی دانان همانند فرما،پاسکال و روبروال از این روش استفاده می‌کردند با این تفاوت که آنها مساحت را جمع بی نهایت مستطیل کوچک در نظر می گرفتند، نه جمع خطوط در سال 1634 روبروال بیان کرد که با استفاده از ماهیت روش غیر قابل تقسیم ها توانسته است مساحت زیر قوس سیکلوئید (شبه دایره) را بدست آورد. او برخی اوقات ادغان می کرد که مستقل از روش غیر قابل تقسیم ها مساحت را بدست آورده است، ما در واقع او به بی نهایت خطوط، سطوح و حجم های غیر قابل دیدن که به بخش های جزئی تر تقسیم نمی شوند اعتقاد داشت. پیدا کردن مساحت ، حجم ، مرکز جرم و طول منحنی

41. او روش خود را « روش بی نهایت ها» نامید. روش روبروال در به دست آوردن مساحت زیر سیکلوئید آموزنده است. پیدا کردن مساحت ، حجم ، مرکز جرم و طول منحنی

42. در نظر بگیریم که OABPمساحت زیر نصف قوس سیکلوئید باشد، OCقطر دایره مولد و Pیک نقطه روی قوس باشد و نیزPQ=DFدر نظر بگیریم. اگر مبدأ مختصات را وسط منحنی OQBو محور xها را بموازاتOAدر نظر بگیریم، منحنی OQB ، است که a شعاع دایره مولد است. پیدا کردن مساحت ، حجم ، مرکز جرم و طول منحنی

43. روبروال اظهار کرد که منحنی OQBمستطیل DABCرا به دو قسمت مساوی تقسیم می کند زیرا هر خط مانند DQدر OQBCمتناظر با خط RSدر OABQاست لذا با استفاده از اصل کاوالیری دو مساحت فوق مساوی اند. • ارتفاع مستطیل OABCبرابر قطر دایره مولد و طول آن برابر نصف محیط دایره مولد است بنابراین مساحت آن برابر مساحت دایره مولد است، لذا مساحت OABCبرابر مساحت دایره مولد است. پیدا کردن مساحت ، حجم ، مرکز جرم و طول منحنی

44. چون DF = PQبا استفاده از اصل کاوالیری نشان داده میشود که مساحت بینOQBو OPBبرابر مساحت نیم دایره OFCاست. پس مساحت زیر نیم قوس برابر نصف مساحت دایره مولد است. پیدا کردن مساحت ، حجم ، مرکز جرم و طول منحنی

45. روش های مهم و جدید محاسبه سطح، حجم و ... با تغییراتی که در روش های قدیمی یونانی داده می شد شروع می شد. به عنوان مثال در نظر داریم مساحت زیر منحنی را از تا بدست آوریم. پیدا کردن مساحت ، حجم ، مرکز جرم و طول منحنی

46. از Oتا Bرا به nقسمت مساوی به طول dتقسیم می کنیم. • جمع توان mاز nعدد طبیعی متوالی که از یک شروع شود بوسیله پاسکال و فرما بدست آمده بود لذا: • پس دلیل آوردند که می توان از دو ترم آخر وقتی کهn بی نهایت باشد، صرفه نظر کرد. از آنجایی که مفهوم حد هنوز معرفی نشده بود یا تنها یک درک خام از آن داشتند صرفه نظر کردن از دو ترم آخر توجیهی نداشت. پیدا کردن مساحت ، حجم ، مرکز جرم و طول منحنی

47. قبل از نیوتن ولاینیز کسی که بیشترین تلاش را در معرفی روش های تحلیلی در حساب دیفرانسیل وانتگرال داشت جان والیز (John wallis 1616 – 1703) بود . وی در حدود بیست سالگی شروع به یادگیری ریاضی کرد .( رشته تحصیلی و در دانشگاه کمبریج الهیات بود ) او استاد هندسه در آکسفورد شد . والیز بعد از نیوتن با استعداد ترین ریاضی دان بریتانیایی قرن خود بود . پیدا کردن مساحت ، حجم ، مرکز جرم و طول منحنی

48. یکی از نتایج برجسته والیز که در حین کوشش برای محاسبه تحلیلی مساحت دایره بدست آمد یک عبارت جدید برای π بود او مساحت محدود به محور x ها ومنحنی با توابع زیر را بین 0 تا x محاسبه کرد . و به ترتیب به مساحتهای زیر رسید: پیدا کردن مساحت ، حجم ، مرکز جرم و طول منحنی

49. وقتی x=1 باشد این مساحتها عبارت اند از : حال اگر دایره با معادله داده شده باشد با استفاده از استقرار و دروی یابی والیز مساحت آن را محاسبه کرد .او با استدلالی پیچیده تر به عبارت زیر دست یافت : پیدا کردن مساحت ، حجم ، مرکز جرم و طول منحنی

50. کار روی حساب دیفرانسیل و انتگرال در دو سوم اول قرن 17 خودش را در جزئیات گم کرد . در تلاش هایشان برای بدست آوردن روابط دقیق از طریق هندسه باعث شد که بساری از بکار کردو و کاوش در مفاهیم جدید جبر و هندسه مختصاتی قصور ورزند. پیدا کردن مساحت ، حجم ، مرکز جرم و طول منحنی