LYÙ THUYEÁT

1. LYÙ THUYEÁT ÖÔÙC LÖÔÏNG GV: TS. TRAÀN ÑÌNH THANH

2. Muïc tieâu baøi giaûng Naém vöõng:  Phöông phaùp öôùc löôïng Trung bình  Phöông phaùp öôùc löôïng Phöông sai  Phöông phaùp öôùc löôïng Hieäu hai trung bình  Phöông phaùp öôùc löôïng Tæ soá hai phöông sai

3. ÖÔÙC LÖÔÏNG LAØ GÌ? Öôùc löôïng laø phoûng ñoaùn moät giaù trò chöa bieát baèng caùch döïa vaøo quan saùt maãu. Thoâng thöôøng ta caàn öôùc löôïng giaù trò trung bình, tæ leä, phöông sai, heä soá töông quan… Coù hai hình thöùc öôùc löôïng: Öôùc löôïng ñieåm vaø Öôùc löôïng khoaûng

4. a. Öôùc löôïng ñieåm: Keát quaû cuûa giaù trò caàn öôùc löôïng cho bôûi 1 trò soá. Thí duï: Ta laáy maãu vaø öôùc löôïng ñöôïc chieàu cao trung bình cuûa ngöôøi VN laø: µ = 160 cm • b. Öôùc löôïng khoaûng: Keát quaû cuûa giaù trò caàn ñöôïc öôùc löôïng cho bôûi 1 khoaûng. Thí duï: Ta laáy maãu vaø öôùc löôïng ñöôïc chieàu cao trung bình cuûa ngöôøi VN laø: 158cm  µ  162cm.

5. Öôùc löôïng ñieåm coù öu ñieåm laø cho chuùng ta moät giaù trò cuï theå, coù theå duøng ñeå tính caùc keát quaû khaùc, nhöng khoâng cho bieát ñöôïc sai soá öôùc löôïng nhieàu hay ít. Öôùc löôïng khoaûng cho ta hình dung ñöôïc sai soá nhieàu hay ít, nhöng khoâng cho ta ñöôïc giaù trò cuï theå cuûa ñaïi löôïng caàn öôùc löôïng.

6. A. ÖÔÙC LÖÔÏNG ÑIEÅM. I. TIEÂU CHUAÅN ÖÔÙC LÖÔÏNG Coi laø maãu ñoäc laäp, coù haøm maät ñoä f(x,) phuï thuoäc vaøo moät tham soá  chöa bieát vaø caàn öôùc löôïng Goïi laø thoáng keâ duøng ñeå öôùc löôïng tham soá . 1. Öôùc löôïng ñuùng: Ta noùi T laø öôùc löôïng ñuùng cuûa  neáu: E(T) = 

7. 2. Ít phaân taùn (phöông sai beù): Coi T1 , T2 laø caùc öôùc löôïng ñuùng cuûa . Ta noùi T1toát hôn T2 neáu T1 ít phaân taùn hôn T2 nghóa laø: 3. Öôùc löôïng toát nhaát: Thoáng keâ T ñöôïc goïi laø öôùc löôïng toát nhaát cuûa  neáu T laø öôùc löôïng ñuùng vaø ít phaân taùn nhaát, nghóa laø: (1) E(T) = 

8. Thí duï: Giaû söû chieàu cao Quan saùt maãu X1, X2, …, Xnduøng ñeå öôùc löôïng chieàu cao trung bình  Ta coù theå ñaët ra nhieàu thoáng keâ duøng ñeå öôùc löôïng  nhö sau:

9. Ta ñaùnh giaù moãi caùc öôùc löôïng T1, T2, T3, T4. Ta coù: Vaäy: T1,T2,T3,T4laø caùc öôùc löôïng ñuùng cuûa .

10. Ta tính phöông sai: Vaäy trong 4 thoáng keâ: T1, T2, T3, T4 thì T4 laø öôùc löôïng toát nhaát

11. T2 laø öôùc löôïng toát thöù hai. T3 laø öôùc löôïng toát thöù ba. T1 laø öôùc löôïng toát thöù tö. Ngoaøi caùc thoáng keâ T1, T2, T3, T4, chuùng ta coù theå ñaët ra nhieàu thoáng keâ khaùc nöõa, nhö: Vaäy laøm theá naøo ñeå bieát ñöôïc moät öôùc löôïng T toát nhaát? Vaán ñeà naøy ñöôïc giaûi quyeát bôûi baát ñaúng thöùc Rao – Cramer.

12. II. BAÁT ÑAÚNG THÖÙC RAO – CRAMER 1. Tin löôïng Fisher: Xeùt bieán soá ngaãu nhieân X coù haøm maät ñoä f(x,) phuï thuoäc tham số . Tin löôïng Fisher cuûa X laø ñaïi löôïng: Ta duøng tin löôïng Fisher trong vieäc ñaùnh giaù öôùc löôïng.

13. Thí duï: X ~ B(1, ), haøm maät ñoä cuûa X laø:

14. 2. Baát ñaúng thöùc Rao – Cramer: Neáu T laø öôùc löôïng ñuùng cuûa , thì: YÙ nghóa cuûa baát ñaúng thöùc Rao – Cramer Baát ñaúng thöùc Rao – Cramer cho ta moät chaën döôùi (giaù trò nhoû nhaát coù theå coù ñöôïc) cuûa 2(T), vaäy neáu ta tìm ñöôïc moät thoáng keâ T laø öôùc löôïng ñuùng cuûa  sao cho thì ñoù laø öôùc löôïng toát nhaát, vì khoâng coøn öôùc löôïng naøo coù ñoä phaân taùn thaáp hôn ñöôïc

15. III. CAÙCH TÌM ÖÔÙC LÖÔÏNG: Coù nhieàu phöông phaùp ñeå tìm öôùc löôïng, trong soá ñoù, phöông phaùp öôùc löôïng cô hoäi cöïc ñaïi ñöôïc thöôøng duøng nhieàu hôn caû. 1. Nguyeân lyù cô hoäi cöïc ñaïi: Thí duï: Giaû söû coù 1 hoäp chöùa 3 bi ñoû + 7 bi traéng + 5 bi xanh = 15 bi, coù cuøng kích thöôùc, laáy ngaãu nhieân 1 bi. Haõy phaùn ñoaùn xem bi ñoù maøu gì?

16. Haún nhieân moãi chuùng ta ñeàu phaùn ñoaùn raèng bi ñoù maøu traéng, vì soá löôïng nhieàu hôn, taát nhieân cô hoäi ñeå ñoaùn truùng seõ cao hôn, thaät vaäy neáu tính xaùc suaát ta thaáy: Ta ñaõ maëc nhieân söû duïng nguyeân lyù cô hoäi cöïc ñaïi trong luùc phaùn ñoaùn maøu cuûa vieân bi laáy ra.

17. 2. Aùp duïng vaøo öôùc löôïng: Haøm cô hoäi ñöôïc ñònh nghóa laø: Trong ñoù laø haøm maät ñoä cuûa Xi. Ta choïn giaù trò sao cho haøm cô hoäi taïi ñoù lôùn nhaát.

18. Khi ñaõ quan saùt ñöôïc maãu, ta bieát ñöôïc giaù trò ; do ñoù bieåu thöùc chæ coøn phuï thuoäc moät ñaïi löôïng chöa bieát . Haøm ñaït cöïc ñaïi choã naøo thì laáy giaù trò ñoù laøm öôùc löôïng cho . Ñeå yù raèng coù cuøng vaø chieàu bieán thieân, neân cöïc ñaïi thì cuõng cöïc ñaïi.

19. Thí duï: Ta muoán öôùc löôïng tæ leä saûn phaåm  hoûng trong moät loâ haøng thaät nhieàu. Tröôùc heát ta quan saùt maãu. Haøm maät ñoä xaùc suaát cuûa X1:

20. Töông töï, sau n laàn quan saùt ta ñöôïc maãu: X1, X2, …, Xn. Haøm cô hoäi:

21. ñaït cöïc ñaïi khi  = f, do ñoù cuõng ñaït cöïc ñaïi khi  = f. Do ñoù coâng thöùc öôùc löôïng laø:  = f Ta coù:

22. Tin löôïng Fisher Do chaën döôùi Rao – Cramer Vaäy do ñoù  = f laø öôùc löôïng toát nhaát.

23. B.ÖÔÙC LÖÔÏNG KHOAÛNG I. ÖÔÙC LÖÔÏNGTRONG PHAÂN PHOÁI Giaû söû ta muoán öôùc löôïng trung bình trong phaân phoái bình thöôøng coù phöông sai ñaõ bieát Goïi X1, X2, X3, …, Xn laø maãu ñoäc laäp, Ta duøng maãu naøy ñeå öôùc löôïng .

24. neân Do ñoù: ta tìm ñöôïc giaù Cho saün giaù trò trò C sao cho: Giaù trò C ñöôïc ñoïc trong baûng phaân phoái chuaån N(0,1).

25. Ta coù: Do ñoù: Khoaûng öôùc löôïng cuûa laø: Thoâng thöôøng ta vieát:

26. Chuù yù: 1.ñöôïc goïi laø ñoä tin caäy (hay heä soá tin caäy) cuûa öôùc löôïng. Caùc trò soá thöôøng ñöôïc söû duïng cho ñoä tin caäy laø:  = 0.90 thì C = 1,64  = 0.95 thì C = 1.96  = 0.99 thì C = 2.58 2. Neáu duøng ñoä tin caäy caøng lôùn thì C caøng lôùn, do ñoù khoaûng öôùc löôïng caøng roäng, vaø do ñoù sai soá öôùc löôïng seõ lôùn. Neáu muoán giaûm bôùt sai soá öôùc löôïng ta coù theå taêng n, nghóa laø phaûi quan saùt nhieàu hôn.

27. Do ñoù ta thaáy giöõa caùc ñaïi löôïng:  Ñoä tin caäy:   Sai soá öôùc löôïng:  Côõ maãu quan saùt: n Coù lieân heä maät thieát vôùi nhau, Thoâng thöôøng, ñöùng tröôùc baøi toaùn öôùc löôïng, ta xaùc ñònh tröôùc ñoä tin caäy caàn thieát laø bao nhieâu, vaø sai soá toái ña coù theå chaáp nhaän ñöôïc, töø ñoù tính ra côõ maãu caàn thieát phaûi quan saùt ñeå ñaùp öùng yeâu caàu cuûa baøi toaùn.

28. Giaû söû ta aán ñònh tröôùc ñoä tin caäy (do ñoù bieát C), xaùc ñònh sai soá toái ña , vaø ta tính côõ maãu nhö sau: Ta muoán: Ta choïn:

29. Thí duï: Bieát chieàu cao cuûa con ngöôøi Ta muoán öôùc löôïng chieàu cao trung bình cuûa daân soá  vôùi sai soá khoâng quaù 1 cm, ôû ñoä tin caäy 0,95 thì quan saùt ít nhaát maáy ngöôøi? Giaûi: Ta coù: Vaäy quan saùt ít nhaát 385 ngöôøi.

30. II. ÖÔÙC LÖÔÏNGTRONG PHAÂN PHOÁI Goïi X1, X2, …, Xn laø maãu ñoäc laäp; : chöa bieát. Ta duøng maãu naøy ñeå öôùc löôïng . Ta coù: Do ñoù: Ta khoâng theå duøng bieán soá naøy ñeå öôùc löôïng  vì bieåu thöùc naøy coøn chöùa tham soá chöa bieát.

31. Ta coù: Vì Z, Y ñoäc laäp, do ñoù, ñaët: Thì T phaân phoái theo luaät Student(n-1). Ta coù:

32. Cho saün giaù trò , (0<<1), ta tìm ñöôïc C sao cho: Trong thöïc haønh, giaù trò C ñöôïc ñoïc trong baûng phaân phoái Student.

33. Ta coù: Do ñoù, khoaûng öôùc löôïng cuûa  laø: Thoâng thöôøng ta vieát:

34. Thí duï: Quan saùt ngaãu nhieân chieàu cao cuûa 20ngöôøi, ta tính ñöôïc: cm; S = 14cm. Haõy öôùc löôïng chieàu cao trung bình cuûa daân soá ôû ñoä tin caäy  = 0.95 Giaûi: Ta coù:

35. Vaán ñeà côõ maãu Giaû söû muoán öôùc löôïng  ôû ñoä tin caäy , vaø sai soá khoâng quaù  thì ta phaûi quan saùt maáy tröôøng hôïp? Ta muoán: Ta choïn: ,C ñoïc trong PP chuaån

36. Vaäy: Chuù yù: Trong caùc baûng thieát laäp cho phaân phoái Student, thoâng thöôøng ngöôøi ta chæ thieát laäp ñeán 30 ñoä töï do. Vaäy, neáu gaëp tröôøng hôïp maãu lôùn (ñoä töï do lôùn hôn 30), ta duøng caùc trò soá ôû baûng N(0, 1) thay theá baûng Student.

37. III. ÖÔÙC LÖÔÏNG2 TRONG PHAÂN PHOÁI (0: ñaõ bieát) Quan saùt maãu X1, X2, …, Xn, ñoäc laäp; Ta duøng maãu naøy ñeå öôùc löôïng phöông sai 2. Ta coù:

38. ta tìm 2 soá a, Cho saün giaù trò b sao cho: vôùi qui öôùc: Caùc giaù trò a, b ñöôïc cho bôûi baûng nhö sau:

39. Ta coù: Vaäy khoaûng öôùc löôïng cuûa 2 ôû ñoä tin caäy  laø:

40. IV. ÖÔÙC LÖÔÏNG2 TRONG PHAÂN PHOÁI Quan saùt maãu X1, X2, … ,Xn ñoäc laäp; ta duøng maãu naøy ñeå öôùc löôïng 2 Ta coù:

41. tìm 2 soá a, b Cho saün giaù trò sao cho: Vôùi quy öôùc: Caùc giaù trò a, b ñöôïc cho bôûi baûng nhö sau:

42. Ta coù: Vaäy khoaûng öôùc löôïng cuûa 2ôû ñoä tin caäy  laø:

43. V. ÖÔÙC LÖÔÏNG TÆ LEÄ p TRONG PHAÂN PHOÁI B(1, p) ta duøng Goïi X1, X2, …, Xn ñoäc laäp; maãu naøy ñeå öôùc löôïng p. Ñaët: Cho saün giaù trò ta tìm ñöôïc C sao cho:

44. Ta coù:

45. Bieåu thöùc naøy chöa söû duïng ñöôïc, vì caùc ñaàu muùt cuûa khoaûng öôùc löôïng coøn phuï thuïoâc p (chöa bieát vaø caàn öôùc löôïng). Trong tröôøng hôïp naøy, ta duøng öôùc löôïng ñieåm cuûa p ñeå thay theá vaøo caùc giaù trò ôû ñaàu muùt khoaûng öôùc löôïng. Do ñoù: Vaäy khoaûng öôùc löôïng cuûa p laø:

46. Thí duï: Quan saùt ngaãu nhieân 200 loï thuoác trong moät loâ haøng raát nhieàu, ta thaáy coù 27 loï khoâng ñaït tieâu chuaån. Haõy öôùc löôïng tæ leä thuoác khoâng ñaït tieâu chuaån p ôû ñoä tin caäy 95%. Giaûi: Ta coù: Vaäy:

47. Vaán Ñeà Côõ Maãu Giaû söû ta muoán öôùc löôïng p ôû ñoä tin caäy , vôùi sai soá khoâng quaù , thì quan saùt maãu ít nhaát maáy tröôøng hôïp? Ta muoán: Ta choïn:

48. ( neáu bieát f ) Trong tröôøng hôïp khoâng bieát f Ta coù: khi 0  f  1 Vaäy neáu choïn: Do ñoù ta cuõng coù coâng thöùc tính n:

49. Thí duï: Ta muoán öôùc löôïng tæ leä beänh soát reùt (p) ôû vuøng ÑB soâng Cöûu Long. • 1. Neáu muoán sai soá öôùc löôïng khoâng quaù 0.02 ôû ñoä tin caäy 95% thì quan saùt ít nhaát maáy ngöôøi? • 2. Ta quan saùt ngaãu nhieân 200 ngöôøi, thaáy coù 24 ngöôøi maéc beänh soát reùt. • a. Tìm khoaûng öôùc löôïng cuûa p ôû ñoä tin caäy 95%. • b. Muoán sai soá öôùc löôïng khoâng quaù 0.02 ôû ñoä tin caäy 95% thì quan saùt ít nhaát maáy ngöôøi?

50. Giaûi: 1. n  2401 ngöôøi 2. a.